第三十章 直线与圆的位置关系 单元检测卷-2026-2027学年人教版九年级数学上册

第三十章直线与圆的位置关系单元检测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（     ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】是直线上一点与圆心的连线，不一定是圆心到直线的距离，需分垂直、不垂直两种情况讨论. 【详解】解：的半径，， 分两种情况讨论： 当时，圆心到直线的距离，直线与相切. 当不垂直于时， ∵垂线段最短， ∴圆心到直线的距离，直线与相交. 综上，直线与的位置关系为相交或相切. 2．已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 3．如图，，是的切线，，为切点，，是圆上异于点，且在上的动点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质和四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据圆周角定理即可得出结果. 【详解】解：连接，如图， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∵， ∴， ∵是圆上异于点，且在上的动点， ∴. 4．如图，是的内切圆，，，为切点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线长定理得出，，根据，，利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆，，，为切点， ∴，， ∵，， ∴． 5．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 6．如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，则．求出，即可得到，进而即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 7．如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由切线长定理可得，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， ∵的周长为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴剪下的的周长为． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接CE， ∴∠CED＝∠CEA＝90°， ∴点E在以AC为直径的⊙Q上， ∵AC＝10， ∴QC＝QE＝5， 当点Q、E、B共线时BE最小， ∵BC＝12， ∴QB＝＝13， ∴BE＝QB﹣QE＝8， 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题． 9．在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 【详解】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，，故选项A正确，不符合题意； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确，不符合题意； 若是的内心，即是内切圆的圆心， 如图， ∵， ， ∵是的内心， ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， 此时不存在，故选项D错误，符合题意． 10．如图，在矩形中，点E在边上，扇形与边相切于点F，点M，N分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为（     ） A．2 B．1 C．0.7 D．0.5 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质得到，进而得到四边形是矩形，则，再证明，得到，则，设，，则，，根据完全平方公式求出，再根据三角形的内切圆半径公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴， ∵扇形与边相切于点F， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴的半径． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 12．如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 13．如图，的内切圆和，，分别相切于点D，E，F．若，则______， ______， ______． 【答案】 11 6 9 【分析】根据切线长定理得出，，，即可求解. 【详解】解：∵的内切圆和，，分别相切于点D，E，F，， ∴，，， ∴，，. 14．如图，为的内切圆，若，则的度数为___________． 【答案】/123度 【分析】根据三角形的内心的性质求出，，再由三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵为的内切圆， ∴点O是的内心，即为三个内角的角平分线的交点， ∴， ， ∴． 15．如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则＝________cm． 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质以及勾股定理．解题的关键是掌握辅助线的作法． 首先连接由切线的性质，可得，由勾股定理可得的长． 【详解】 解：连接 ∵弦与小圆相切于点， ∴， ∴在中，, ∴． 16．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，的顶点、在上，圆心在边上，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：与相切． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切． 【分析】（1）先得出，再根据等边对等角求解即可； （2）先求出，则，再根据圆的切线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）略 18．如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵、是的切线，是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)5 【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据切线长定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，是的切线， ∴，， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故的长为5． 19．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句） (1)过外一点作的切线． (2)给定和长度为的线段，过圆外一点作一条直线交于，两点，使得弦长度为． 【答案】(1)解：如图所示， (2)解：如图所示， 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作直线，即为的切线； （2）以上任意一点为圆心，为半径画弧，交于，过点作于，以为圆心为半径画圆，过点作所画圆的切线，交原于、，弦即为所求． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作直线，即为所求． 如图所示：略， 证明：连接、， 由作图可知，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是的切线． （2）解：以上任意一点为圆心，为半径画弧，交于，过点作于，以为圆心，为半径画圆，过点作所画圆的切线，交原于、，弦即为所求． 如图所示，略 证明：由作图可知，，，， ∵为所作圆的切线， ∴， ∴． 20．如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连结，，可得是等边三角形，，即可求解． （2）连结，根据M是的中点，利用等边三角形三线合一，求出的长度，再根据，得出，进一步得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连结，． ∵六边形是正六边形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为； （2）解：如图，连结， ∵M是的中点，， ∴，， ∴．                     ∵， ∴． ∴， ∴． 21．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 22．如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2) (3)， 证明如下：连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3） 略 23．如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得． (1)当点E为中点时，求的长； (2)过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值． 【答案】(1) (2) 证明：连接，作，垂足为H，，交延长线于点I， ， ． 又，， ， ． 为直径， ． ，， ， ， ， 平分 ； 的最大值为 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的性质， 对于（1），设，则，可得，再根据勾股定理列出方程求出解即可； 对于（2），连接，作，，再根据“角角边”证明，可得，然后证明，可得，最后根据角平分线性质的逆定理得出答案； 过C作的平行线，可得，作，可得四边形为矩形，进而得出，再说明，然后根据圆心O到直线的距离半径，即，，可知当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5，此时的最大值为，最后根据等腰直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：设，则， ， 为直径， ， ， 即， 解得， ； （2）解：过C作的平行线，交延长线于M，则， 作于N，交于P， 则，四边形为矩形， ，为中点， ， ． ∵直线与必有交点C， ∴圆心O到直线的距离半径，即，， ∴当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5， 的最大值为． ， ∴在等腰直角三角形中，， 的最大值为． 24．已知，四边形内接于，连接，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：取弧的中点，则， ∴ ， ∴ ∴ ． (2)证明：过点作于点，连接, 四边形内接于， , ， ，解得, 所对的圆心角, ， 为等腰三角形，, 由等腰三角形三线合一得：, 在中，，， , 由勾股定理： (3) 【分析】（1）取弧的中点，则，再由圆周角定理证明即可． （2）已知，结合圆内接四边形对角互补：，先解出，再由圆周角定理：弧AC所对圆心角是圆周角的2倍，得到圆心角，是的等腰三角形，顶角，过圆心作弦的垂线，利用等腰三角形三线合一，分成两个含的直角三角形，借助勾股定理建立和半径之间的数量关系，完成证明； （3）承接前两小问结论：，，所以只要求出，就可以算出，由第(1)问结论，设，则，构造辅助点：在弧上取点，使，则弦；利用等弧对等圆周角倒角，证，得到，继续倒角推导：，推出，于是；继续倒角算出，作，得到含的，用设元，则，，，在中，用勾股定理列出关于的方程，解出方程即可解出此题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）知，，， 设，则，， 在弧上取一点，连接，，使，则， ， 在与中 ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 作于点， ∴， ， ， ， 在中， ， ， 解得 ， ， 由(2)得： 【点睛】本题是圆综合压轴，层层递进：第（1）问铺垫弧与圆周角的倍数关系；第（2）问铺垫角度、与半径的关系式；第(3)问依托前两问结论，采用构造等弧、全等转移线段、特殊角，勾股方程的思路，是初中圆综合典型的“倒角构造方程”解题模型． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章直线与圆的位置关系单元检测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（     ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，，是的切线，，为切点，，是圆上异于点，且在上的动点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的内切圆，，，为切点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 10．如图，在矩形中，点E在边上，扇形与边相切于点F，点M，N分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为（     ） A．2 B．1 C．0.7 D．0.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 12．如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 13．如图，的内切圆和，，分别相切于点D，E，F．若，则______， ______， ______． 14．如图，为的内切圆，若，则的度数为___________． 15．如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则＝________cm． 16．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，的顶点、在上，圆心在边上，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：与相切． 18．如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句） (1)过外一点作的切线． (2)给定和长度为的线段，过圆外一点作一条直线交于，两点，使得弦长度为． 20．如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 21．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 22．如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 23．如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得． (1)当点E为中点时，求的长； (2)过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值． 24．已知，四边形内接于，连接，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $