第三十章 直线与圆的位置关系（单元自测）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．三角形内切圆的圆心是（ ） A．三角形的三条高的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】选项，三角形的三条高的交点是三角形的垂心，错误； 选项，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，错误； 选项，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三条角平分线的交点，同时三角形的内心到三边的距离相等，正确； 选项，三角形的三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心（外接圆圆心），错误．故选C． 2．已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【解析】∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选A． 3．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【解析】∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴．故选D． 4．如图所示的是以“仁”设计的艺术字．若将“仁”字每一笔画抽象为直线，背景抽象为圆，则图中直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】通过观察发现，“仁”字每一笔画所在直线与背景圆均有公共点，由直线与圆的位置关系直接判断即可得到答案． 【解析】通过观察发现，“仁”字每一笔画所在直线与背景圆均有公共点，则图中直线与圆的位置关系是相交．故选A． 5．已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径． 根据直线与圆相离的条件，结合已知的圆心到直线的距离，确定半径的取值范围，再判断选项． 【解析】∵直线l与相离， ∴圆心到直线的距离半径， 已知， ∴． 观察选项中只有A．，满足条件． 故选A． 6．下列说法正确的是（ ） A．掷一枚硬币时，反面朝上是必然事件 B．三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D．所有的矩形都相似 【答案】C 【解析】A、掷一枚硬币时，反面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是必然事件；错误； B、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心；错误； C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等；正确； D、相似多边形要求对应角相等且对应边成比例，所有矩形对应角都相等，但对应边不一定成比例，因此不是所有矩形都相似；错误．故选C． 7．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围． 【解析】当直线与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图： 在中， 令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形． 连接圆心和切点，则， 则．即； 同理，当直线与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，． 则若直线与相交时，的取值范围是． 故选． 【点睛】本题考查圆与一次函数图象相交的问题，关键是由直线与圆相切时求出的值． 8．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，设与、直线分别相切于点D、E、F、H，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【解析】设与、直线分别相切于点D、E、F、H， ∵的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴剪下的三角形的周长为， 故选C． 9．已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】是直线上一点与圆心的连线，不一定是圆心到直线的距离，需分垂直、不垂直两种情况讨论. 【解析】的半径，， 分两种情况讨论： 当时，圆心到直线的距离，直线与相切. 当不垂直于时， ∵垂线段最短， ∴圆心到直线的距离，直线与相交. 综上，直线与的位置关系为相交或相切.故选D． 10．中，，，，以点为圆心，为半径作圆．若与直线相切，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆与直线相切的性质，将求转化为求点到直线的垂线段长度，结合勾股定理与面积法求解. 【解析】根据题意作图：过点作，交于点. ∵中，，，， ∴由勾股定理得， ∴ ∵与直线相切， ∴ ∵， ∴， ∴.故选B． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查正六边形性质，正六边形中心角计算等．根据题意可知正六边形的六个中心角均相等，再利用除法算式计算即可． 【解析】∵正六边形， ∴， ∴， 故答案为． 12．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【解析】圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ．故答案为$9$． 13．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【解析】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故答案为经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 14．如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留）________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，勾股定理，利用三角形内切圆的性质求出内切圆的半径是解题关键． 先用勾股定理求出斜边的长度，根据三角形内切圆的性质，结合三角形的周长和面积求出内切圆的半径，再用直角三角形的面积减去内切圆的面积即可． 【解析】在中，，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴内切圆半径 ， ∴， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为． 15．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【解析】∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为． 16．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何．”此问题用数学语言描述如下：如图，为的内切圆，若，，则的半径为________． 【答案】3 【分析】连接圆心与各切点，利用切线性质判定正方形，设内切圆半径，借助切线长定理表示线段，结合勾股定理列方程求解半径． 【解析】如图，设与边，，的切点分别为，，，连接，，． ，，，， ∴四边形为正方形． 设． ，， ，， ，， ． 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ，即的半径为3．故答案为3． 17．如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【解析】∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为8． 18．的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是________；若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是________ 【答案】 圆外 相离 【分析】此题考查的是点、直线与圆的位置关系，根据点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断点与圆的位置关系．若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与半径的大小；根据直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径的大小． 【解析】对于点P：∵点P到圆心O的距离为，的半径为，且， ∴点P在外． 对于直线l：∵圆心O到直线l的距离为，的半径为，且， ∴直线l与相离． 故答案为圆外；相离． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）如图，内接于为的直径，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2） 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，即得，由平行线的性质可得，由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而得到，即得到，即可求证； （2）延长，交于点，可得四边形是矩形，即得，进而由等腰三角形的性质得，利用勾股定理得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理得，解方程即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 20．（8分）如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）    【答案】 如图，直线即为所求，    【分析】本题考查切线的定义和尺规作图；作法为：①连接，以为直径作；②与相交于点E，作直线．则直线即为所求． 【解析】∵是直径， ∴， ∴， ∴是的切线． 21．（8分）如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． （1）请判断的形状？说明理由； （2）当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 【答案】（1） 是等边三角形．理由如下： 在中，∵与是所对的圆周角，与是所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）当点P为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及圆内接四边形面积的最值问题，解题的关键是利用圆周角定理判定三角形形状，通过拆分四边形面积并结合圆的直径性质求面积最大值． （1）由同弧所对的圆周角相等，结合，得，判定为等边三角形； （2）将四边形面积拆分为与的面积和，转化为，当P为中点时，取最大值（等于直径），结合等边三角形边长计算最大面积． 【解析】（1）略 （2）解：当点P为的中点时，四边形的面积最大．理由如下： 如图，过点P作，垂足为E．过点C作，垂足为F． ∵••， ∴•， 当点P为的中点时，为的直径， ∴此时四边形的面积最大． 又∵的半径为1， ∴其内接正三角形的边长， ∴． 22．（8分）已知：为直径，弦交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，点和点在上，连接，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，交直径于点，点在弧上，，连接交于点，连接，，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，为直径， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （3） 【分析】（1）根据垂径定理的推论进行证明即可； （2）先推导出，得到，则，即可解答； （3）以O为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，延长交于K，与y轴交于点I，过M作于J，反向延长交x轴于L，连接，连接设与y轴交于P，先推导出，可得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可推导出四边形是矩形，证明出，得到，设半径，根据勾股定理，得到，求出（舍去），得到，继而推导出，得到，设，可求出，（舍去），进而推导出，求出的解析式为的解析式为，可求出，即可求出． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解：如图，以O为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，延长交于K， 与y轴交于点I，过M作于J，反向延长交x轴于L，连接，连接设与y轴交于P， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，，， ， ， 设半径， ， 解得：（舍去）， ，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ∴， 解得，（舍去）， ，， ， ， ， 设的解析式为，将代入，得 ， 解得， ∴的解析式为 同理可得的解析式为， 当时，，解得 ， ∴， ， ． 23．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于E，F，是的切线，为切点，连接． （1）求证：直线为的切线； （2）求证：； 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴ ∵于D， ∴，∵ ， ∴， 又∵，， ∴． ∴， ∵是半径， ∴直线为的切线． （2） 证明：由（1）可知，直线为的切线． 即， ， ， =90， ， ， ， 即， 是直径，是半径 ， ， ， 整理得； 【分析】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． （1）连接，由，利用垂径定理得到D为的中点，即垂直平分，可得出，，再由，，利用得出，由为圆的切线，得到，利用全等三角形的对应角相等得到，即为圆O的切线； （2）由一对直角相等，一对公共角，得出，由相似得比例，列出关系式，由为的一半，等量代换即可得证． 【解析】（1）证明：略； （2）证明：略． 24．（8分）如图，在中，是上一点，以为直径的经过点，且． （1）求证：所在直线是的切线； （2）若的直径为6，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 是圆的半径， 所在直线是的切线； （2）4 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理和勾股定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，可得，利用等腰三角形的性质和角之间的等量代换，易证，即可证明； （2）设，根据线段之间的关系，求出，再根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：设，则， 的直径为6， 半径， 则， 在中，， 则，解得， 答：的长为4． 25．（9分）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，交延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，即， ∴，即． 又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线； （2） 【分析】本题考查圆的切线判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，属于圆的综合几何题，需结合圆的性质与三角形的相关知识推导求解． （1）要证明是⊙的切线，需证．通过角平分线、等腰三角形性质、圆周角定理，推导得出，结合，即可推出，从而证明结论； （2）先利用直径所对圆周角为直角，结合勾股定理求出的长度；再利用切线性质与角的等量代换，证明，求出，再用勾股定理算出， 然后证明，得到．设，则，代入方程求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：∵是⊙的直径，⊙的半径为5， ∴，． 在中，由勾股定理得：． ∵是⊙的切线， ∴， ∴，即， ∴． ∴． ∴由，即，解得． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴， ∴，即． 设，则， 则，解得，即． 26．（9分）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，根据点是正八边形的中心，求得，然后根据等腰三角形的性质，得解答即可． 【解析】如图，连接． 点是正八边形的中心， ， 又是的中点， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．三角形内切圆的圆心是（ ） A．三角形的三条高的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三条边的垂直平分线的交点 2．已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（ ） A． B． C． D． 3．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （ ） A． B． C． D． 4．如图所示的是以“仁”设计的艺术字．若将“仁”字每一笔画抽象为直线，背景抽象为圆，则图中直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 5．已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．下列说法正确的是（ ） A．掷一枚硬币时，反面朝上是必然事件 B．三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D．所有的矩形都相似 7．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ） A． B． C． D． 9．已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 10．中，，，，以点为圆心，为半径作圆．若与直线相切，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为________． 12．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 13．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 14．如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留）________． 15．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为________． 16．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何．”此问题用数学语言描述如下：如图，为的内切圆，若，，则的半径为________． 17．如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 18．的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是________；若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是________ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）如图，内接于为的直径，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 20．（8分）如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）    21．（8分）如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． （1）请判断的形状？说明理由； （2）当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 22．（8分）已知：为直径，弦交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，点和点在上，连接，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，交直径于点，点在弧上，，连接交于点，连接，，若，，求的长． 23．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于E，F，是的切线，为切点，连接． （1）求证：直线为的切线； （2）求证：； 24．（8分）如图，在中，是上一点，以为直径的经过点，且． （1）求证：所在直线是的切线； （2）若的直径为6，，求的长． 25．（9分）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，交延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 26．（9分）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $