第三十章 直线与圆的位置关系 单元测试培优提升卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第三十章 直线与圆的位置关系 培优提升卷 建议用时：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 考查圆周角定理、切线的性质、四边形内角和。切线垂直过切点半径得到两个直角；圆周角等于圆心角一半，再用四边形内角求。 【详解】  ， ， ，分别与相切于，两点， ， ， ， 故选A． 2.根据各选项中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定内心的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 三角形内心是三条角平分线交点；尺规作角平分线的作图痕迹判断。 【详解】  三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，四个选项中只有选项的作图方法是角平分线的尺规作图．故选D． 3.如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，点与下列格点的连线中，与该圆弧相切的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 圆弧的圆心是弦垂直平分线交点；切线垂直于过切点的半径，过B作半径垂线，看哪个格点在该垂线上。 【详解】如图，连接，，分别作，的垂直平分线，可得过，，三点的圆弧的圆心为，连接，过点作的垂线，则与该圆弧相切，由图可知，各选项的点中，只有点在直线上．故选B． 4.如图，这是一枚年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为． A. B. C. D. 【答案】A  5.如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 切线长定理：从圆外一点引圆两条切线，切线长相等，对线段等量代换求周长。 【详解】如图，设的三边分别与相切于点，，，与相切于点， 由切线长定理可知，，，，， ，， ，， 三角形的周长 故选D． 6.如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  7.如图，，，是的切线，切点分别是，，若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  8.如图，是的内切圆，，，是切点，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  9.中，，，，以点为圆心，为半径作圆，此圆与直线只有一个公共点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】  ，，， ，设点到直线的距离是， 的面积， ， ， 以点为圆心，为半径的圆与直线只有一个公共点， 故选C． 10.如图，在四边形中，，，以点为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，，则阴影部分的面积是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】如图，连接，， ，是的半径， 是的切线， 是的切线， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，易知， ， 阴影部分的面积 故选C． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.圆的半径是，如果圆心与直线上某一点之间的距离是，那么该直线和圆的位置关系是          ． 【答案】相交或相切  【详解】圆的半径，圆心与直线上某一点之间的距离为， 圆心到直线的距离满足， ， 直线和圆的位置关系是相交或相切． 12.已知的半径为，圆心到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是          ． 【答案】相交  【详解】，，， ，即， 该直线与的位置关系是相交． 13.刘徽在九章算术注中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为，则这个圆内接正十二边形的面积为          ． 【答案】  【详解】如图，连接，，过点作于点， 圆的内接正十二边形的每条边所对的圆心角为，， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为． 14.如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点不与点重合，则的度数为          ． 【答案】  【详解】 如图，连接，， 五边形是正五边形，且内接于， ， ． 15.如图，，分别与相切于点，，，与相切于点，交，于，两点，则的周长是          ． 【答案】  16.如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧不包括端点，上任一点作的切线与，分别交于点，若的半径为，则的周长为          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． 求的度数． 求证：． 【答案】 (1) ∵BC与⊙O相切， ∴∠OCB＝90°， ∵∠ACB＝120°， ∴∠ACO＝∠ACB-∠OCB＝120°-90°＝30°．  (2)证明： ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO＝30°， ∵∠ACB＝120°，∠OAC+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠B＝30°， ∴∠OAC＝∠B， ∴AC＝BC．  18.本小题分 如图，在中，． 先作的平分线交边于点，再以点为圆心，为半径作；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 请你判断中与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)解：所作如答案图1所示. (2)与相切. 证明如下：过点作于点， 如答案图2所示. ∵平分，，， ∴. ∴与相切. 19.本小题分 【问题情境】在一次数学活动课上，同学们对一道例题进行了深入研讨． 【例题题目】如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为，求证：平分． 【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下：如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分，那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据． 【问题拓展】思进小组同学发现，例题中记与交于点，三条线段，，有特定的数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由． 【答案】 (1) 证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∵CD与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC// AD， ∴∠CAD＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠CAO， ∴AC平分∠DAB． (2) 这个命题是真命题． 理由如下：  如上图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CAD＝∠CAO， ∴∠CAD＝∠ACO， ∴OC// AD， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD为⊙O的切线．  (3)AE+2DE＝AB． 理由如下：  如图，在AB上截取AF＝AE，连接CF，CE，CB，过点C作CH⊥AB于点H， ∵∠CAD＝∠CAO， ∴， ∴CE＝CB， ∵CD⊥AD，CH⊥AB， ∴CD＝CH， ∴， ∴DE＝HB，∠CED＝∠B， ∵AE＝AF，∠EAC＝∠FAC，AC＝AC， ∴， ∴∠AEC＝∠AFC， ∵∠AEC+∠CED＝∠AFC+∠CFB＝180°， ∴∠CED＝∠CFB， ∴∠B＝∠CFB， ∴CF＝CB， ∵CH⊥AB， ∴FB＝2HF＝2HB＝2DE， ∴AE+2DE＝AF+FB＝AB． 20.本小题分 如图，点是中心对称图形的对称中心，与相切于点． 求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． 当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】 (1) 证明：如图1，连接BD，OE，延长EO交AD于点F， ∵点O是□ABCD的对称中心， ∴BD过点O，OB＝OD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD// BC， ∴∠ODF＝∠OBE，∠DFO＝∠BEO， ∴， ∴OF＝OE， ∵BC与⊙O相切， ∴OE⊥BC， ∴OF⊥AD， ∴直线AD是⊙O的切线．  (2) □ABCD是菱形． 理由如下：  如图2，设AB与⊙O相切于点H，连接OH，OE，BD，则OH⊥AB， ∵点O是□ABCD的对称中心， ∴BD过点O， ∵BC与⊙O相切， ∴OE⊥BC， ∵OH＝OE， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD// BC， ∴∠CBD＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴□ABCD是菱形． ​​​​​​​   21.本小题分 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时如图，木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点绳轮与地面之间的距离忽略不计，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点图中点，，，，，在同一平面内． 连接，求证：． 该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在到之间时，纺线较为舒适．若，，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．参考数据：，计算结果精确到个位 【答案】 (1) 证明：∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵∠OAC+∠OCA+∠AOC＝180°， ∴，∴．  (2)舒适．理由：如图，连接OD， ∵DE与⊙O相切于点E，CD与⊙O相切于点C， ∴∠OED＝90°，DE＝DC， ∴， 作OD的垂直平分线交DE于点F，连接OF，则OF＝DF， ∴∠DOF＝∠ODF＝22.5°， ∴∠OFE＝∠DOF+∠ODF＝45°， ∴△OEF为等腰直角三角形， ∴EF＝OE＝30 cm， ∴， ∴，70 cm＜72 cm＜120 cm， ∴使用该纺车纺线时舒适． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学单元自测（人教版专用） 第三十章直线与圆的位置关系培优提升卷 建议用时：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点.若∠C=65°，则∠P的度数为( R A.50° B.55 C.65 D.70° 2.根据各选项中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC内心的是( 3.如图，在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，与该 圆弧相切的是() 0 A.(0,3) B.(1,3) C.(6,0) D.(6,1) 4.如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为() 10元 A.30 B.40° C.50° D.60 1/7 5.如图所示的是周长为15cm的三角形纸片ABC,小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O,他先 沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE,已知AC=4cm,则三角形纸片BDE的 周长是( ap D B E A.10 cm B.9 cm C.8 cm D.7cm 6.如图，已知△ABC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若 ∠AOD=80°，则LC的度数为( ) B D 0 A.30° B.40° C.45° D.50° 7.如图，AB,AC,BD是⊙O的切线，切点分别是P,C,D.若AB=10,AC=6,则BD的 长是( B D A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图，⊙I是ABC的内切圆，D,E,F是切点，∠C=60°，∠DIF=140°，则∠B的度数为 E A.40° B.50° C.60° D.80° 217 9.Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=12,以点C为圆心，r为半径作圆，此圆与直线 AB只有一个公共点，则r() A.6 B.i C. D 10.如图，在四边形ABCD中，AB/ICD,AD1AB,以点D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC 相切，切点为E,若AB=1,BC=3,则阴影部分的面积是() A45-n B2v5-π C.2V5-3n D.3V5-Sn 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.圆的半径是6.5cm,如果圆心与直线上某一点之间的距离是6.5cm,那么该直线和圆的位 置关系是 12.已知⊙0的半径为3，圆心0到某直线的距离为V10,则该直线与⊙0的位置关系是 13.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了 中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所 示的圆内接正十二边形.若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为 14.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点P是劣弧CD上一点（不与点C重合），则∠BPC的 度数为 E 0 P 3/7 .如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,PA=1O,CD与⊙O相切于点E,交PA,PB于 C,D两点，则△PCD的周长是 16.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包 括端点D,E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N若⊙O的半径为2， 则Rt△MBN的周长为 80 BNE 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 如图，△ABC的顶点A,C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB=120°，BC与⊙O相切于 点C,连接OC (1)求LAC0的度数. (2)求证：AC=BC. 4/7 18.(本小题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°. B (1)先作LABC的平分线交AC边于点O,再以点O为圆心，OC为半径作⊙O:(要求：尺规 作图，保留作图痕迹，不写作法) (②)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论. 19.(本小题10分) 【问题情境】在一次数学活动课上，同学们对一道例题进行了深入研讨 (1)【例题题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直， 垂足为D,求证：AC平分∠DAB. D E B (②)【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下：如图，AB为⊙O的 直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D,AC平分LDAB,那么CD 为⊙O的切线.这个命题是真命题吗？说明你判断的依据 (3)【问题拓展】思进小组同学发现，例题中记AD与⊙O交于点E,三条线段AE,DE,AB 有特定的数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由. 517 20.(本小题10分) 如图，点O是口ABCD(中心对称图形)的对称中心，BC与⊙O相切于点E. (1)求证：直线AD是⊙O的切线， 可以过点0作 也可以连接O AD的垂线… 并延长… 选择其中一位同学的想法，完成证明 (2)当AB与⊙O相切时，口ABCD是菱形吗？说明理由 6/7 21.(本小题12分) 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳 轮⊙O与水平面DB相切于点E(绳轮与地面之间的距离忽略不计)，线绳绕过绳轮汇聚于点D 处放置的锭子上，即线绳CD与⊙O相切于点C,过切点E的直径与⊙O交于点A(图中点O, A,E,D,C,B在同一平面内) B E (I)连接AC,求证：∠ACD+∠A0C=180°. (2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径OE为30c,且圆心O与D处锭子之间的 水平距离DE在70cm到120cm之间时，纺线较为舒适.若∠CDE=45°，OE=30cn,请判 断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由.（参考数据：√2≈1.414，计算结果精确到个位） 7/72026-2027学年九年级上册数学单元自测（人教版专用） 第三十章直线与圆的位置关系培优提升卷 建议用时：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点.若LC=65°，则LP的度数为() A.50° B.55° C.650 D.70° 【答案】A 【分析】考查圆周角定理、切线的性质、四边形内角和。切线垂直过切点半径得到两个直角： 圆周角等于圆心角一半，再用四边形内角求P。 【详解】 ∠C=65, ∠AOB=2LC=2×65°=130°， PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点， .∠PBO=∠PAO=90°， :∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°， ÷∠P+90°+130°+90°=360°， ·∠P=50°.故选A. 2.根据各选项中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC内心的是() 【答案】D 【分析】三角形内心是三条角平分线交点：尺规作角平分线的作图痕迹判断。 1/15 【详解】三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，四个选项中只有D选项的作图方法是 角平分线的尺规作图.故选D 3.如图，在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，与该 圆弧相切的是（) 0 A.(0,3) B.(1,3) C.(6,0) D.(6,1) 【答案】B 【分析】圆弧的圆心是弦垂直平分线交点；切线垂直于过切点的半径，过B作半径垂线，看 哪个格点在该垂线上。 【详解】如图，连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线，可得过A,B,C三点的圆弧 的圆心为O'(2,O),连接OB,过点B作OB的垂线EF,则EF与该圆弧相切，由图可知，各 选项的点中，只有点(1,3)在直线EF上.故选B. 0T10 4.如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为() 0元 A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】A 2/15 5.如图所示的是周长为15cm的三角形纸片ABC,小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O,他先沿 着与OO相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE,己知AC=4cm,则三角形纸片BDE的周 长是() D E A.10 cm B.9cm C.8 cm D.7cm 【答案】D 【分析】 切线长定理：从圆外一点引圆两条切线，切线长相等，对线段等量代换求。BDE周 长。 【详解】如图，设△ABC的三边分别与⊙O相切于点M,N,F,DE与⊙O相切于点G, 由切线长定理可知AM=AF,CN=CF,BM=BN,DM=DG,EG=EN, .AB+AC+BC=15 cm,AC=4 cm, .AM+CN=AF+CF=AC=4 cm,AB+BC=15-4=11(cm), 三角形BDE的周长 =DB+DE+BE=BD+DG+GE+BE=BD+DM+EN+BE=BM+BN=AB+BC-(AM+ CN)=7cm.故选D. 00 G B 6.如图，已知△ABC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD= 80°，则∠C的度数为() B A.30° B.40° C.45° D.50° 3/15 【答案】D 7.如图，AB,AC,BD是⊙O的切线，切点分别是P,C,D.若AB=10,AC=6,则BD的 长是() C 0 B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 8.如图，⊙I是△ABC的内切圆，D,E,F是切点，∠C=60°，∠DIF=140°，则∠B的度数为() B E A.40° B.50° C.60° D.80° 【答案】D 9.Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=12,以点C为圆心，r为半径作圆，此圆与直线 AB只有一个公共点，则() A.6 B号 c D. 【答案】C 【详解】 ∠ACB=90°，AC=5,BC=12, .AB=√AC2+BC=13,设点C到直线AB的距离是d, :△ABC的面积=号AB:d=AC.BC, 13d=5×12, .d- 4/15 以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB只有一个公共点， r=d=号放选C, 10.如图，在四边形ABCD中，AB/CD,AD1AB,以点D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC 相切，切点为E,若AB=1,BC=3,则阴影部分的面积是() A4-π B.2V5-in C.2-π D.3V5-n 【答案】C 【详解】如图，连接DB,DE, AD LAB,AD是⊙D的半径， ·AB是⊙D的切线， BC是⊙D的切线， ·∠ABD=∠EBD,BE=AB=1, ∴EC=BC-BE=3-1=2, AB//CD, ·∠ABD=∠BDC, ∠EBD=∠BDC, ∴.DC=BC=3, 在Rt△DEC中，DE=√3？-22=√5， AD=DE=√5，易知AD L DC, ÷∠ADC=90°， 阴影部分的面积=S椭形ecD-SOD×(1+3)×V下-π×（列=2√5-n 故选C 5/15 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.圆的半径是6.5cm,如果圆心与直线上某一点之间的距离是6.5cm,那么该直线和圆的位 置关系是 【答案】相交或相切 【详解】：圆的半径r=6.5cm,圆心与直线上某一点之间的距离为6.5cm, .圆心到直线的距离d满足d≤6.5cm, d≤1， …直线和圆的位置关系是相交或相切. 12.已知⊙0的半径为界，圆心0到某直线的距离为V10,则该直线与⊙0的位置关系是 【答案】相交 【详解】：(（份)-号=102(0=10,10品>10， 16 >√⑩，即d<, 该直线与⊙O的位置关系是相交 13.刘徽在《九章算术注》中首创割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中 国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习割圆术的过程中，作了一个如图所示的 圆内接正十二边形.若⊙0的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为 【答案】3 【详解】如图，连接OA,OB,过点A作AC⊥OB于点C, 圆的内接正十二边形的每条边所对的圆心角为智=30°，0A=1, ·AC=,0A= Sa0AB=OBAC=×1x 这个圆的内接正十二边形的面积为12S△AoB=12×=3. 6/15 0 14.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点P是劣弧CD上一点（不与点C重合），则∠BPC的 度数为 D 0 【答案】36° 【详解】如图，连接OC,OB, :五边形ABCDE是正五边形，且内接于⊙O, .∠C0B=360°÷5=72°， ÷LBPC=号COB=36. 0 15.如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,PA=10,CD与⊙O相切于点E,交PA,PB 于C,D两点，则△PCD的周长是 【答案】20 16.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包 括端点D,E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N若⊙O的半径为2， 则Rt△MBN的周长为· 7/15 Mp O BNE 【答案】4 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 如图，△ABC的顶点A,C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB=120°，BC与⊙O相切于 点C,连接OC (1)求AC0的度数. (2)求证：AC=BC. 【答案】 (1)BC与⊙0相切， .∠OCB=90°， .∠ACB=120°， ∴.∠AC0=∠ACB-∠OCB=120°-90°=30°. (2)证明： .'OA=OC, ∴.∠OAC=∠AC0=30°， ,∠ACB=120°，∠OAC+∠B+∠ACB=180°， .∠B=30°， .∠OAC=∠B, ..AC=BC. 8/15 18.(本小题10分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90. B (1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O,再以点O为圆心，OC为半径作⊙O:(要求：尺规 作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)请你判断(I)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1)解：所作⊙O如答案图1所示. B (答案图1) (2)AB与⊙O相切 证明如下：过点O作OD1AB于点D, 如答案图2所示 .BO平分LABC,∠ACB=90°，OD1AB, ∴.OD=OC ∴.AB与⊙O相切 D B (答案图2)】 9/15 19.(本小题10分) 【问题情境】在一次数学活动课上，同学们对一道例题进行了深入研讨 (I)【例题题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直， 垂足为D,求证：AC平分∠DAB. D (2)【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下：如图，AB为⊙O的 直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D,AC平分∠DAB,那么CD 为⊙O的切线.这个命题是真命题吗？说明你判断的依据， (3)【问题拓展】思进小组同学发现，例题中记AD与⊙O交于点E,三条线段AE,DE,AB 有特定的数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由. 【答案】 (1)证明：如图，连接OC, .OA=OC, ∴.∠ACO=∠CAO, ,CD与⊙O相切于点C, ∴.OC⊥CD, ,AD⊥CD, .OC∥AD, ∴.∠CAD=∠ACO, ∴.∠CAD=∠CAO, .AC平分∠DAB. D E (2)这个命题是真命题 10/15 理由如下： 如上图，连接OC, .OA=OC, .∠ACO=∠CAO, AC平分∠DAB, .∠CAD=∠CAO, ∴，∠CAD=∠ACO, ∴.OC//AD, .'AD⊥CD, .'.OC LCD, .OC是⊙0的半径， .CD为⊙O的切线. (3)AE+2DE=AB. 理由如下：如图，在AB上截取AF=AE,连接CF,CE,CB,过点C作CH⊥AB于点H, D FO H .∠CAD=∠CAO, ∴.CE=BC, ..CE=CB, .'CD⊥AD,CH⊥AB, .'.CD=CH, .Rt△CED≌Rt CBH(HL), ∴.DE=HB,∠CED=∠B, .AE=AF,∠EAC=∠FAC,AC=AC, .·AEC兰aAFC(SAS), ∴.∠AEC=∠AFC, ,'∠AEC+∠CED=∠AFC+∠CFB=180°， ,∴.∠CED=∠CFB, 11/15 ∴.∠B=∠CFB, ..CF=CB, CH⊥AB, ∴.FB=2HF=2HB=2DE, ∴.AE+2DE=AF+FB=AB: 20.(本小题10分) 如图，点O是口ABCD(中心对称图形)的对称中心，BC与⊙O相切于点E. (I)求证：直线AD是⊙O的切线. 可以过点0作 也可以连接E0 AD的垂线… 并延长… 选择其中一位同学的想法，完成证明， (2)当AB与⊙O相切时，口ABCD是菱形吗？说明理由. 【答案】 (1)证明：如图1，连接BD,OE,延长EO交AD于点F, ,点O是口ABCD的对称中心， .BD过点O,OB=OD, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC, .∠ODF=∠OBE,∠DFO=∠BEO, '.△DOF≌△BOE(AAS), ..OF=OE, .BC与⊙O相切， ..OE LBC, .OF⊥AD, ∴.直线AD是⊙O的切线： 12/15 F B E 图1 (2)口ABCD是菱形. 理由如下：如图2，设AB与⊙O相切于点H,连接OH,OE,BD,则OH⊥AB, ,点O是口ABCD的对称中心， BD过点O, .BC与⊙O相切， ∴.OE⊥BC, .'OH=OE, .BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC, ∴.∠CBD=∠ADB, ∴.∠ABD=∠ADB, ..AB=AD, .GABCD是菱形. A E 图2 13/15 21.(本小题12分) 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳 轮⊙O与水平面DB相切于点E(绳轮与地面之间的距离忽略不计)，线绳绕过绳轮汇聚于点D 处放置的锭子上，即线绳CD与⊙O相切于点C,过切点E的直径与⊙O交于点A(图中点O, A,E,D,C,B在同一平面内) B ()连接AC,求证：∠ACD+LAOC=180°， (2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径OE为30c,且圆心O与D处锭子之间的 水平距离DE在70cm到120cm之间时，纺线较为舒适.若LCDE=45°，OE=30cm,请判 断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由.（参考数据：√2≈1.414，计算结果精确到个位） 【答案】 (1)证明：CD与⊙O相切于点C, ∴.∠OCD=90°， .'OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA. ,∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°， ∴∠OCA+∠AOC=90°， ∴.∠ACD+;∠AOC=L0CD+∠OCA+号LAOC=90°+90°=180°. (②)舒适.理由：如图，连接OD, B D ,DE与⊙O相切于点E,CD与⊙O相切于点C, .∠OED=90°，DE=DC, 14/15 ∴.ODE=LODC=∠CDE=22.5, 作OD的垂直平分线交DE于点F,连接OF,则OF=DF, .∠D0F=∠ODF=22.5°， ∴.∠OFE=∠DOF+∠ODF=45°， ∴.△OEF为等腰直角三角形， .'.EF=OE=30 cm, .OF=DF=√2OE=30W2cm, .DE EF+DF=30+30v2 72(cm),70 cm<72 cm<120 cm, ∴使用该纺车纺线时舒适。 15/15 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第三十章 直线与圆的位置关系 培优提升卷 建议用时：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为(     ) A. B. C. D. 2.根据各选项中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定内心的是(     ) A. B. C. D. 3.如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，点与下列格点的连线中，与该圆弧相切的是  (     ) A. B. C. D. 4.如图，这是一枚年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为． A. B. C. D. 5.如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是(     ) A. B. C. D. 6.如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接若，则的度数为(     ) A. B. C. D. 7.如图，，，是的切线，切点分别是，，若，，则的长是(     ) A. B. C. D. 8.如图，是的内切圆，，，是切点，，，则的度数为(     ) A. B. C. D. 9.中，，，，以点为圆心，为半径作圆，此圆与直线只有一个公共点，则(     ) A. B. C. D. 10.如图，在四边形中，，，以点为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，，则阴影部分的面积是  (     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.圆的半径是，如果圆心与直线上某一点之间的距离是，那么该直线和圆的位置关系是           ． 12.已知的半径为，圆心到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是          ． 13.刘徽在九章算术注中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为，则这个圆内接正十二边形的面积为           ． 14.如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点不与点重合，则的度数为           ． .如图，，分别与相切于点，，，与相切于点，交，于，两点，则的周长是           ． 16.如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧不包括端点，上任一点作的切线与，分别交于点，若的半径为，则的周长为          ． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． 求的度数． 求证：． 18.本小题分如图，在中，． 先作的平分线交边于点，再以点为圆心，为半径作；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 请你判断中与的位置关系，并证明你的结论． 19.本小题分 【问题情境】在一次数学活动课上，同学们对一道例题进行了深入研讨． 【例题题目】如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为，求证：平分． 【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下：如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分，那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据． 【问题拓展】思进小组同学发现，例题中记与交于点，三条线段，，有特定的数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由． 20.本小题分 如图，点是中心对称图形的对称中心，与相切于点． 求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． 当与相切时，是菱形吗？说明理由． 21.本小题分 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时如图，木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点绳轮与地面之间的距离忽略不计，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点图中点，，，，，在同一平面内． 连接，求证：． 该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在到之间时，纺线较为舒适．若，，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．参考数据：，计算结果精确到个位 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $