第三章 图形的相似 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第三章图形的相似单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） CE 1.如图，AB∥CD∥EF,若AD=3,AF=8,则BE的值为() E F A.8 R c. D. 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与ADBF是位似图形，位似中心为点O.若点 (-2,1) 的对应点为 D(-4,2 ,则点C(-L3)的对应点F的坐标为（) A.（26) B.(35) c.(26) D.(3) 3.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3,连接AE,BD交于点F,则 EF:AF=() D E F B A.2:3 B.4:9 C.4:25 D.2:5 试卷第1页（共3页） 4.如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF,AC与DE交于点G.若AB=5,BC=8,EC=6,则 DG的长为() D E 4 A.5 C.2 5.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B,点D在BC边上，且DA-DB.若AC=6,BC=9,则CD的长为 () A.4 B.4.2 C.4.5 D.5 6.如图是由12个大小相同的小正方形组成的网格，若小正方形的边长为30©m,则线段DE的长为 () A B A.30cm B.20cm C.15cm D.35cm 7.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O,且DE∥BC,OD=1, OC=3,AD=2,则AB的长为() A D E A.4 B.6 C.8 D.9 试卷第2页（共3页） 8.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一 个动点，当PC+PD的和最小时，AP的长为() B A.1 B.2 c.3 D.4 9.如图，在等边△ABC中，点D在AB上，DE∥BC交AC于点E,点F在DE上，连接BF,CF,若 DF=1,EF=4,∠BFC=120°，则BC长为() A.5 B.6 C.7 D.8 10.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,下列说法正确的选项是 D B DE BD CE BC ①△CDE∽△4CD;②CD'=AD.BD:③AC=AD:④ADAB· A.①②③ B.①②③④ C.②③④ D.①②④ 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 1.如图。在平面直角坐标系中，四边形1BCD与四边形48G0关丁原点0位似，点4、4的坐标分别 试卷第3页（共3页） 为(,3)、（ 如果四边形AB,CD的面积为3，那么四边形ABCD的面积是一 D ---- B 12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,点E,F分别在AD,BC边上，且EF⊥BC.若矩形ABFE∽矩 形DEFC,且相似比为1：2，则AD的长是 13.如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE平行于BC且将△ABC分成面积相等 的两部分，那么△ADE与△ABC的相似比为 D E B 14.如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调.通过实验发现， 当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金分制数（即BC:AC=AB:BC)时，可以发出“so'的音.若瓶高 AC为l5cm,则水面高度BC为 cm 15cm 试卷第4页（共3页） C△Mc-3 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D,如果C△cB2,AD=6,那么DC 的长是 D B 16.如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧.已知 A0,5),D(0,3),E(0,1),H(0,4) ,则位似中心的坐标是 珠 B 4 H G 2 E 4-3-2-10 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DE=0.4m,EF=0.3m,测得边DF 离地面的高度AC=1.5m,CD=10m,求树高AB B 77777777777777777777777777777777 18.如图，四边形ABC 和四边形 ABC D k=2 是位似图形，位似中心是点O,位似 ；四边形 ABCD A B2C2D2 是位似图形，位似中心是点0，位似比专.四边形1BCD k2=1 和四边形 四边形 试卷第5页（共3页） A B2C2D2 是位似图形吗？如果是，那么位似比是多少？如果不是，请说明理由. D D B2 D 19.如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AE∥BC,CE与AD、AB分别相交于点F、G, ∠E=∠BAD E G B D (I)求证：△ABD∽aCBG: (2)连接DG,求证：AC·BD=DG·BA. 20.如图，在△ABC中，AB=AC,F为BC的中点，将△BEF沿EF折叠，使得点B的对应点B'落在边 AC上. B (I)求证：△FB'C∽△ABC (②)若AB=AC=6,BC=8,求线段B'C的长度. 1.己知：如图，在四边形ABCD中，ADI‖BC,点E是BC上一点，且AE∥CD. 试卷第6页（共3页） OA EC (1)求证：OEBE (2)如果∠BDE=∠DAE,求证：BD·DE=BE·AE. 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，过点D作DE⊥AB于点E,连接AD、CE 交于点F D (I)求证：BE·BA=BD.BC: (2)若AC=CD,求证：∠ADC=∠CED 23.在△ABC和△DEC中，∠BAC=∠EDC=90°，AB=AC,DE=DC, 图1 图2 AD (①)如图1，当点D在AC上时，求BE的值： (2)如图2，当点D不在AC上时，BE,AD交于点F. ①写出∠AFB的大小，并证明： ②用等式表示线段AD,BE的数量关系，并证明. 24.在矩形1BCD中，B=3,AD=25 试卷第7页（共3页） D M 图1 图2 备用图 AB BF (I)如图1，E为AB边上一点，F为AD边上一点，且CE⊥BF.求证：BCEC, (2)如图2，M是对角线AC上一点，将△ABM沿BM折叠得到△EBM,直线AE交直线BC于点F. ①MC=2AMBF, 若 ,求的长： AK ②若AF与对角线BD所夹的锐角为60，设AF与BD的交点为K,直接写出KF的值. 试卷第8页（共3页）第三章图形的相似单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） CE 1.如图，AB∥CD∥EF,若AD=3,AF=8,则BE的值为() A.8 B.2 c 5 DS 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理，确定CE与BE的比值等于DF与AF的比值即可. 【详解】解：AB‖CD川EF, CE DF BE AF AD=3,AF=8 .DF=AF-AD=8-3=5, CE5 BE 8 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O.若点 (-2,0的对应点为 D(4,2）.则点C3 的对应点F的坐标为() 试卷第1页（共3页） A.（-2,6) B.(3,5) c.(2,6) D.(3,-5) 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质解答即可， 【详解】解：：△MBC与△DBF是位似图形，点 (-2,1) 的对应点为 (-4,2) :.△ABC与△DEF的位似比为2， 点C-1,3》的对应点F的坐标为12,3x2),即-2,6) 3.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3,连接AE,BD交于点F,则 EF:AF=() D B A.2:3 B.4:9 C.4:25 D.2:5 【答案】D 【分析】由平行四边形性质得ABIICD且AB=CD,证得△DEF∽aBAF,利用相似三角形对应边成比例 求解。 【详解】解：在平行四边形ABCD中，ABIICD,AB=CD, ABI/CD .∴△DEF∽aBAF, EF DE AFAB· .DE:CE=2:3. .DE:CD=2:5 AB=CD, DE:AB=2:5, .EF:AF=2:5 4.如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF,AC与DE交于点G.若AB=5,BC=8,EC=6,则 DG的长为() 试卷第2页（共3页） D E 4 J 15 A.5 B.4 C.2 D.4 【答案】B 【分析】利用平移性质得出AB∥DE,DE=AB,进而证明△GEC∽△ABC,利用相似三角形的性质求出 GE的长，最后由DG=DE-GE求解即可. 【详解】解：，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF, .AB∥DE,DE=AB, .△GECn△ABC, CE GE ·BCAB :AB=5,BC=8,EC=6, 6 GE 8=5, 解得GE=15 4, .DG-DE-GE-AB-GE-5-15_5 4=4 5.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B,点D在BC边上，且DA=DB.若AC=6,BC=9,则CD的长为 () A.4 B.4.2 c.4.5 D.5 【答案】A 【分析】根据等边对等角得到∠DAB=∠B,则可证明∠CAD=∠B,证明△ACB∽△DCA,根据相似三 角形的性质列出比例式求解即可. 【详解】解：DA=DB, ∴.∠DAB=∠B, 试卷第3页（共3页） :∠BAC=2∠B ∴.∠CAD=∠BAC-∠DAB=∠B, 又，∠C=∠C, ∴.△ACB∞△DCA, CD AC CD 6 AC-BC. 即69’ ∴CD=4 6.如图是由12个大小相同的小正方形组成的网格，若小正方形的边长为30©m,则线段DE的长为 A D B A.30cm B.20cm C.15cm D.35cm 【答案】A 【分析】借助网格可证△ADE△ABC,根据相似三角形对应边成比例可以求出DE的长度. 【详解】解：DEIIBC, ∴.△ADED△ABC AD DE AB BC 如下图所示，AF=2×30=60,AM=4×30=120, DF I BM AD AF 601 ABAM-1202, 又：BC=2×30=60. .1_DE 260' DE=30 试卷第4页（共3页） M D B 7.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O,且DE∥BC,OD=1, OC=3,AD=2,则AB的长为() D A.4 B.6 C.8 D.9 【答案】B DE OD 1 AD DE 21 【分析】证明△DEO∽△CB0,则BCOC=3,证明△4DE∽△4BC,则AB=BC,即AB3,计 算求解即可. 【详解】解：：DE∥BC, .∠DEO=∠CBO,∠EDO=∠BCO,∠ADE=∠ABC, ∴.△DEOn△CB0. OD=1,0C=3, DE OD 1 BCOC 3' ∠ADE=∠ABC,∠DAE=∠BAC, :.△ADE∽△ABC, AD DE 21 AB=BC,即AB=3, 解得AB=6 8.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一 个动点，当PC+PD的和最小时，AP的长为() 试卷第5页（共3页） B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】作点D关于AB的对称点E,连接CE,PE,当点P在CE上时PC+PD的和最小，再根据 AP AE △EAPn△CBP,得到BP=BC,代入计算即可. 【详解】解：作点D关于AB的对称点E,连接CE,PE, ∴.PE=PD,AE=AD=4, .PC+PD=PE+PC≥CE. ,当点P在CE上时PC+PD的和最小， ,AD∥BC, ∴△EAP△CBP, AP AE .BP BC ,AD=4,AB=5,BC=6, AP 4 ·5-AP6 解得AP=2 9.如图，在等边△ABC中，点D在AB上，DE∥BC交AC于点E,点F在DE上，连接BF,CF,若 DF=1,EF=4,∠BFC=120°，则BC长为() 试卷第6页（共3页） A A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【分析】先证明BD=CE,然后证明△DBF∽aEFC,得到DB=2,再证明△ADE是等边三角形，得到 AD=5,即可求得答案. 【详解】解：DE∥BC, ∴.△ADE∽△ABC」 AD AE AB AC :△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC=BC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°， .AD=AE, .BD=CE. DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°， ∴.∠DBF+∠DFB=60°，∠BDF=∠FEC=120°， .∠BFC=120° .∠DFB+∠EFC=180°-120°=60°， .∠DBF=∠EFC ∴DBFAEFC, DF DB EC EF 1 DB DB4· 解得DB=2, AD=AE,∠A=60°， ∴△ADE是等边三角形， 试卷第7页（共3页） .AD=DE=DF+EF=1+4=5. AB=AD+DB=5+2=7. ∴BC=7 10.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,下列说法正确的选项是 () DE BD CE BC ①△CDE∽△ACD:②CD'=AD.BD:③AC=AD:④ADAB· A.①②③ B.①②③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】D 【分析】利用平行线性质、相似三角形判定与性质及射影定理逐一判断即可. 【详解】解：：∠ACB=90°，CD⊥AB,DE⊥BC, .∠ADC=∠DEC=90°， DE⊥BC,AC⊥BC, .DE∥AC, .∠CDE=∠ACD ,.ACDE△ACD,故①正确： :∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°， .∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°， ,∠B=∠ACD, ∴.△ACD∽△CBD. CDAD BDCD,即CD=4DBD,故②正确： DE∥AC, ∴.△BDE△BAC DE BD AC AB' 试卷第8页（共3页） AB≠AD: DE BD 必 “ACAD，故③错误： :∠ACB=∠BDC=90°，∠B=∠B .△CBD∽△ABC, CD BC :AC AB' CE CD 由△CDE△ACD得，ADAC, CE BC ADAB· 故④正确 综上所述，正确的有①②④. 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 1Ⅱ.如图，在平面直角坐标系中，四边形4BCD与四边形4BCP关于原点0位似，点4、A的坐标分别 为(7,3) 如果四边形AB,CD的面积为3，那么四边形ABCD的面积是 A 【答案】 49 3 【分析】根据位似图形的性质，位似图形是相似图形，其面积比等于相似比的平方，由对应点A和 的坐标求出相似比即可求解 【详解】解：“四边形 ABCD ABCD 与四边形 关于原点位似， 试卷第9页（共3页） 四边形BCD~ ABCD 四边形 9 点1的坐标为（门，3），点4的坐标为6， 7 相似比为3， SBD=(令} 49 SABCD 9 “四边形 ABCD 的面积为3， 4949 :四边形ABCD的面积=3× 93 12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,点E,F分别在AD,BC边上，且EF⊥BC.若矩形ABFE∽矩 形DEFC,且相似比为1：2，则AD的长是 B 【答案】10 【分析】根据相似多边形的性质和矩形性质求得DE=8,AE=2,进而可求解。 【详解】解：矩形ABFE∽矩形DEFC,且相似比为1：2， AB AE 1 DE DC 2' :四边形ABCD为矩形， .CD=AB=4. 4 AE 1 DE42· .DE=8,AE=2, ..AD=AE+DE=2+8=10 13.如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE平行于BC且将△ABC分成面积相等 的两部分，那么△ADE与△ABC的相似比为 试卷第10页（共3页） E B 212 【答案】212 【详解】解：，DE平行于BC且将△ABC分成面积相等的两部分， 1 A4 DE AARC.且&2 ,相似三角形的面积之比等于相似比的平方， 2 相似比为2 14.如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调.通过实验发现， 当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金分割数（即BC:AC=AB:BC)时，可以发出“soI”的音.若瓶高 AC为15cm,则水面高度BC为 cm B 15cm 15V5-15 【答案】 2 【分析】根据题干给出的黄金分割定义式BC:AC=AB:BC,结合AB=AC-BC,可推导出BC与AC的 数量关系，代入AC=15计算即可 【详解】解：由题意可知BC:AC=AB:BC, BC2=AC.AB 试卷第11页（共3页） .AB=AC-BC BC2=AC(AC-BC) BC2+AC.BC-AC2=0 BC=-AC±VAC+4AC 2 ,BC>0, BC-5-1AC ,AC=15 .BC 155-1155-15 2 2 CAADC=3 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D,如果CAs2,AD=6,那么DC 的长是 D B 【答案】4 【详解】解：~∠ACB=90°， ∠BCD+∠ACD=90°， ,CD⊥AB ∴.∠BCD+∠B=90°， ∴.∠ACD=∠B ∴.RtAADC∽RtACDB 、4D=CAc=3 DC CACD8 2. AD=6, 试卷第12页（共3页） ÷DC-24D=4 3 16.如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧.已知 A(0,5),D(0,3),E(0,1),H(0,4) 则位似中心的坐标是 B A 4 G 0. -3 -2-1 3 (-6,7) 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式 是解题的关键.根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用 待定系数法求出直线CE和DF的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中 心的坐标 【详解】解：，位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， C(-2,3) 由题意可得 设直线CE的解析式为：y=r+C, [3=-2a+c 则 1=c a=-1 解得：c=1, 故直线CE的解析式为：y=-x+1, 设直线DF的解析式为：y=众+e, 试卷第13页（共3页） 1=3d+e 则e=3, ds、2 3 解得： e=3 故直线DF的解析式为：y= 3+3 3t+3 y= 则 y=-x+1, x=-6 解得： y=7, （-6,7) 即位似中心是： 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DE=0.4m,EF=O.3m,测得边DF 离地面的高度AC=1.5m,CD=10m,求树高AB. R 77777777777777777777777777777777777777 【答案】10m 【分析】根据题意得到△DEF~△DCB,利用相似三角形的性质求出BC,再利用AB=AC+BC求解， 【详解】解：·∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB, ∴.ADEF∽ADCB. 、DEEF DC BC .DE=0.4m,EF=0.3m,CD=10m 试卷第14页（共3页） 0.40.3 10 BC' BC=10x0.3 7.5(m), 0.4 ∴.AB=BC+AC=7.5+1.5=10(m) 【点晴】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到两个三角形相似 18.如图，四边形ABCD 四边形48CD 是位似图形，位似中心是点0，位似比4=2：四边形 ABCD 和四边形 A.B.C2D2 ,k2=1 是位似图形，位似中心是点O,位似比之.四边形 ABCD 和四边形 A.B2C2D2 是位似图形吗？如果是，那么位似比是多少？如果不是，请说明理由. D B 【答案】是，位似比为2 【分析】根据位似图形的定义和性质，进行判断即可 【详解】解：“四边形ABCD ABCD 和四边形 是位似图形，位似中心是点O, ABCD A B,C2D2 四边形 和四边形 是位似图形，位似中心是点O, “四边形ABCD∽ ABCD BCD,∽ AB2C2D 四边形 ,四边形 四边形 ,且对应点连线均过点0， ∴四边形 ABCD∽ AB,C D 四边形 ,且对应点连线均过点， 四边形ABCD AB C2 D 和四边形 是位似图形， 四边形ABCD ABC D 和四边形 k=2 ABCD AB2C2 D2 2=1 的位似比 ,四边形 和四边形 的位似比 试卷第15页（共3页） 四边形ABCD AB2C2D 和四边形 的位似比为2 19.如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AE∥BC,CE与AD、AB分别相交于点F、G, ∠E=∠BAD G B (I)求证：△ABDACBG: (2)连接DG,求证：AC·BD=DG·BA. 【答案】(I)证明：AE∥BC, ∴.∠E=∠BCG :∠E=∠BAD, ∴.∠BCG=∠BAD. 又，∠B=∠B, .△ABDACBG: (2)证明：由(I)得△ABD∽aCBG, AB BD BC BG' AB BC :BD BG' 又，∠B=∠B .△BDG∽△BAC, BD DG ·ABAC, ∴.AC·BD=DG.BA 【分析】(I)由平行线的性质和已知条件可证明∠BCG=∠BAD,则可证明△ABD∽aCBG: (2)只需要证明△BDG∽△BAC即可. 【详解】(1)略 (2)略 20.如图，在△ABC中，AB=AC,F为BC的中点，将△BEF沿EF折叠，使得点B的对应点B'落在边 AC上. 试卷第16页（共3页） B (I)求证：△FB'C∽△ABC. (2)若AB=AC=6,BC=8,求线段B'C的长度. 【答案】(I)证明：，AB=AC, .LB=∠C, :F为BC的中点， :'.BF=CF, 由折叠的性质得：B'F=BF, ..B'F=CF, ∴∠CB'F=∠C, ,∠CB'F=∠B, ∴，△FB'C∽△ABC orc-9 【分析】(I)先得出∠B=∠C,B'F=BF=CF,则LCB'F=∠C,进而可得∠CB'F=∠B,再根据相似 三角形的判定即可得证： (2)先求出CF的长，再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：：F为BC的中点，且BC=8, :cr-c=-4, 由(1)已证：△FB'C∽△ABC. B'C CF :BC AC' .AC=6. B'C 4 .86” 试卷第17页（共3页） 解得BC=16 3· 1,已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC,点E是BC上一点，且AE∥CD. OA EC (①)求证：OEBE: (2)如果∠BDE=∠DAE,求证：BD·DE=BE·AE. 【答案】（①）证明：：AD‖BC,AEDC. .四边形AECD是平行四边形， .AD=EC. ,AD∥BE, ∴.∠OAD=∠OEB,∠ODA=∠OBE, .△AOD∽△EOB, OA AD OE BE OA EC 将AD=EC代入得：OE=BE: (2)证明：，四边形AECD是平行四边形， ∴∠C=∠DAE,DC=AE, ,'∠BDE=∠DAE, .∠BDE=LC, .∠DBC=∠DBC, ∴.△BDE∽aBCD. BD DC BE DE BD AE BEDE· ∴.BDDE=BEAE 试卷第18页（共3页） OA AD 【分析】(1)由已知可证四边形AECD是平行四边形，△AOD∽△EOB,则OE=BE,将AD=EC代 入求证： BD DC BD AE (2)由已知证明BDERABCD,则BEDE,代换DC=AB,可得BE=DE,则题目可证. 【详解】(1)略 (2)略 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，过点D作DE⊥AB于点E,连接AD、CE 交于点F D B (I)求证：BE·BA=BD·BC (2)若AC=CD,求证：∠ADC=∠CED 【答案】(I)证明：∠ACB=90,DE⊥AB ∠BED=∠BCA=90°， ∠B=∠B, △BDE△BAC, BD BE BABC· .BEBA=BD·BC BD BE (②BABC BD BA BEBC· ∠B=∠B, .△BAD∽△BCE ∴.∠BAD=∠BCE. .·∠AFE=∠CFD ∴△AEF∽ACDF, 试卷第19页（共3页） ∴.∠AEF=∠CDF :AC=CD,∠ACB=90° ∴.∠CAF=∠CDA=45°， ∴.∠AEF=45 DE⊥AB, .∠CED=45° ∴.∠ADC=∠CED 【分析】(I)证明△BDEABAC即可解答： (2)证明△BAD∽aBCE,可得∠BAD=∠BCE,即可得到△AEFn△CDF,得到∠AEF=∠ADC=45° 即可解答， 【详解】(1)略 (2)略 23.在△ABC和△DEC中，∠BAC=∠EDC=90°，AB=AC,DE=DC, 图1 图2 AD ()如图1，当点D在AC上时，求BE的值； (2)如图2，当点D不在AC上时，BE,AD交于点F. ①写出∠AFB的大小，并证明： ②用等式表示线段AD,BE的数量关系，并证明. √2 【答案】(1)2 (2)①证明：如图， 试卷第20页（共3页） ∠BAC=∠EDC=90°，AB=AC,DE=DC, .∠ACB=∠ECD=45°， ∴.∠BCE=∠ACD BC_CE= :同上可得，ACCD .△BCE∽△ACD, .∠1=∠2， :∠3=∠4，∠2+∠4+∠AFB=∠1+∠3+∠ACB=180°， ∴.∠AFB=∠ACB=45°： E=√2AD ② 证明：，△BCEAACD BE_BC=2 ·ADAC BE=2AD CD CE AD CD 【分析】(1)由平行线分线段成比例定理得到AD=BE,即BECE,再由勾股定理求解即可： (2)①证明△BCE∽aACD,然后根据相似三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； ②根据△BCE∽aACD列出比例式即可求证. 【详解】(1)解：，∠BAC=∠EDC=90°， .DEll AB CD CE .ADBE· AD CD .BE CE' ,∠EDC=90°，DE=DC, CE-DE+DC-CD AD CD CD2 ∴.BE CE2CD2: (2)略 试卷第21页（共3页） 24.在矩形M1BCD中，MB=3,MD=25 E 图1 图2 备用图 AB BF ()如图1，E为AB边上一点，F为AD边上一点，且CE⊥BF·求证：BCEC, (2)如图2，M是对角线AC上一点，将△ABM沿BM折叠得到△EBM,直线AE交直线BC于点F. O若MC=2MM,求BF的长 若 AK ②若AF与对角线BD所夹的锐角为60°，设AF与BD的交点为K,直接写出KF的值. 【答案】()证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠EBC=90° 设CE与BF交于点G. CE⊥BF, .∠BGC=90°， ∴.∠BCE+∠FBC=90° 又：∠ABC=90°，即∠ABF+∠FBC=90°， .∠ABF=∠BCE(同角的余角相等)· 在△ABF和△BCE中，∠A=∠EBC=90°，∠ABF=∠BCE, ∴△ABFABCE AB BF .BCEC· (2) ①BF=33②作 KF的值为6或令 (1 【分析】第问为证比例式题型：采用“横拆比例式”策略，把四条线段分到两个直角三角形，利用垂 直条件带来的同角余角相等，证AA相似，再严格按照顶点对应写出比例式， 试卷第22页（共3页） 2)① 第 问为翻折求线段长题型：优先挖掘折叠“折痕垂直平分对应点连线”这一性质得到垂直；作垂线 构造A字形相似得到线段长；再用同角余角相等构造新一组相似，列比例求解，全程只用相似，不使用 坐标。 第)g 为求线段比值题型：先用8字形相似转移比例，把4K:KF转化为DK:KB,作垂线构造含60° 的直角三角形；面积法求斜高、母子相似求垂足分割线段：分K在垂足左右两类讨论，得到两组答案. 【详解】(1)证明见答案： (2)①解：由折叠可知，折痕BM垂直平分对应点连线AE:又点F在直线AE上， .AF⊥BM 如图所示：过点M作MH⊥BC,垂足为H,则∠BHM=90°，且MH‖AB. M E B H F:MH‖AB .∴ACMH∽ACAB MC=2AM,即CM:CA=2:3, .MH:AB=CH CB=2:3 代入AB=3.CB=2V5 得： MM-号x3=2m 3×25=45 3 BH=BC-CH=2V3-43_23 3 3 :AF⊥BM,∠BAF+∠ABM=90°： 又：∠ABC=90°，∠MBH+∠ABM=90°， .∠BAF=∠MBH(同角的余角相等)· 在△ABF和△BHM中，∠ABF=∠BHM=90°，∠BAF=∠HBM, .∴△ABFC∽△BHM 试卷第23页（共3页) AB BF 由相似对应边成比例：BHM 3 BF 代入数值：232 3 解得F=3V5 ②解：AD‖BF, ∴.△AKD∽△FKB, AK DK KF=KB,把所求比值转化为对角线BD上线段之比. 在RIAABD中，由勾股定理： BD=VAB2+AD2=9+12=21 如图所示：过点A作AN⊥BD,垂足为N,则△AKN是直角三角形，且∠AKN=6O° E 由面积法求高N:S=?B:D=)BDN 2 4N=AB.4D_3×23_6N万 BD V217 由母子型相似：：∠ABN=∠DBA,∠ANB=∠DAB=90°， .△ABNADBA, BN AB :AB BD' BN=4B29 321 AB2=BNBD,故 BD217, DN=BD-BN=21-3V21421 7 7 在R1△AKN中，∠AKN=60°，则∠KAW=30°， 试卷第24页（共3页) AK =2KN,AN=(2KN)-KN2=3KN ∴三边之比W:MW:AK=1:3:2 6N7 故KN=A =7221 37 交点K在BD上有两种位置，分类讨论. 情况一：点K在线段BN上，如图所示 A D K M B E K=BN-KN= 则 7, DK=BD-BK-621 7 621 AK DK =7 :.KF BK .=6 21; > 情况二：点K在线段ND上，如图所示 D E B 试卷第25页（共3页） DK=DN-KN=2 7, BK=BD-DK=5V21 7 2W21 AK DK ·KFBK5√215 7 AK 2 综上：KF的值为6或5： 试卷第26页（共3页)