第二章 一元二次方程 单元测试卷 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

第二章一元二次方程单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.已知关于x的方程m-1)r-+3=0是一元二次方程，则m的值为《) A.2 B.1或-3 c.1 D.-3 2.已知关于x的一元二次方程(k-Dx2+2x+1=0有实数根，则k的取值范围是() A.k≤2且k≠1B.k<2且k≠1 C.k≤2 D,k<2 3.若关于x的一元二次方程a心2-3x+1=0有实数根，则a应满足() A.as9 9 4 B.a≤ 4且a≠0 9 9 c.a2-4且a≠0 D.a≥y 4 4.某特产店销售广式饼食礼盒，当每盒的利润为12元时，每天可售出30盒；经调查，每盒降价1元，每 天可多售出5盒.要使每天的利润达到400元，设每盒降价x元，则可列方程为() A.(12+x(30+5x)=400 B.(12+x(30-5x)=400 c.(（12-x(30-5x)=400 D.(12-x030+5x)=400 5.若关于的一元二次方程 (m-2)x2-4x+3= 有实数根，则m的取值范围是(） A.m>10 3 B.m≥10 3 1 C.m< 3且m≠2 D.ms 3且m≠2 6.等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2-10x+21=0的两根，则该三角形的周长是() A.13 B.15 C.17 D.13或17 7.设，5是关于的一元二次方程+2-2=0k为帝数)的两个实数根，且5+5=-255，则 k的值为() 试卷第1页（共3页） A.-2 B.2 c D.2 8.若关于×的一元二次方程+x+2=0(a≠0)有一根为=2026，则一元二次方程 a(x-1)2+bx-b+2=0 必有一根为() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 9.如图，一张长20cm、宽l6cm的长方形硬纸片，四个角上裁去四个小正方形后折成无盖长方体纸盒， 下列说法正确的是()· A.裁去的小正方形边长越大，纸盒体积越大， 16cm2 250cm3 B.当纸盒表面积为 时，纸盒体积为 C,设纸盒高为cm,则底面积可以表示为20-16-cm 92cm 2cm D.若纸盒底面面积为 ,则纸盒的高为 10.某地规划了充电桩单循环组网模式，实际铺设50条线路后发现，除一个充电桩点位仅完成了5条电 路连接外，其余充电桩点位两两之间均已完成电路连接.则原规划建设的充电桩个数为() A.10 B.11 C.12 D.13 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11.某商品两次价格上调后，单价从4元变为6.76元，则平均每次调价的百分率为 12.已知一元二次方程x2-4x+k=1有两个实数根，则k能取的最大值是 13.若关于*的方程（m+2列r2+(m-2x-3= 是一元二次方程，则m= 14.已知a,b是方程x2+x-2026=0的两个实数根，则a2b+ab的值为一 15,某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和 劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地.一面利用学校的墙（墙的长度为15m),用40m长的 试卷第2页（共3页） 篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地ABCD,供同学们进行劳动实践.若围成的菜地面积为150m,求此 时AB的长为】 墙 16,已知是实数，y=2x+6-x,则'的最大值为 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17.解方程： (x-3=2(x-3) 2-7x-8=0 18.随着壮锦非遗宣传推广，某地壮锦非遗展示馆开馆后参观热度持续上升，进馆人次逐月增加.为保 障游览安全、维持参观秩序，馆方定期统计客流情况及预约数据，并提前制定游客分流预案，受展厅空 间、配套设施等限制，当月进馆人次超过12000人次时，馆方需要实施游客分流.经统计，展示馆开馆 第一个月进馆人次为7500人次，第三个月进馆人次为10800人次，进馆人次的月平均增长率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率： (2)在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，根据预约情况第四个月是否需要实施游客分流？并说明理 由 19.水果超市销售翠香猕猴桃，每千克进价8元，售价每千克13元，每天可以卖出70千克.经市场调查 发现：如果每千克售价每降低1元，日销售量增加20千克.超市想要每天获利360元，为尽可能让利顾 客，每千克翠香猕猴桃应降价多少元？ 20.关于x的一元二次方程x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根.方程的两个实数根为Q,P,且 R=a6+3冰，求的值。 mx2+(2m-1)x+(m-2)=0 21.已知关于x的方程 有实数根. (1)求的取值范围： 试卷第3页（共3页） (2)设，B是该方程的两个实数根，且x-+B=-2,求m的值. 22.如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 nmile处有一重要目标B,在B的正东方向200 nmile 处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点处，岛上有一补给码头：小岛F位于BC的中点处.一艘军舰 从A出发，经B到C匀速巡航：一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品 送达军舰。 北 东 BE F (1)小岛D与小岛F相距多少海里？ (2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，则相遇时补给船航行 了多少海里？（结果精确到0.Inmi e；参考数据： V6≈2.45 23.综合与实践：制作长方体盒子 一块长30cm,宽12cm的矩形铁皮. (1)如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为 144cm2 xcm 的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为，则可列方程为 图1 (2)由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方 案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为l04cm的有 盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由 底 顶 图2 (3)为了不浪费原材料，小明把这个矩形铁皮分割成5个矩形铁皮，用其中一个作为底面，其余4个作为 试卷第4页（共3页） 侧面，恰好能焊接成一个无盖长方体铁盒，请画出设计图，并直接写出该铁盒侧面的高 24.如果关于x的一元二次方程+x+c=0a+0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么 称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程+x=0的两个根是=0，与=-】 ， ,则方程 x2+x=0是“邻根方程”. ()通过计算，判断下列方程是“邻根方程”的为：一： 0t-x-6=0；②2 2x2-2W3x+1=0 (2)已知关于x的方程x2-2mx-3m2=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程a2+bx+1=0(a、b是常数，a>0)是“邻根方程”，令1=8a-b2,试求t的最大 值. 试卷第5页（共3页） 第二章一元二次方程单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为2、二次项系数不为0、是整式方程三个条件，据此列方程和不等式求解． 【详解】解：方程是一元二次方程， 由得或，解得或，由得， ． 2．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】直接根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， ∵， ∴， 解得， 由得， 的取值范围是且． 3．若关于的一元二次方程有实数根，则应满足(     ) A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根． ∴，且． 整理得．解得． ∴的取值范围是且． 4．某特产店销售广式饼食礼盒，当每盒的利润为元时，每天可售出盒；经调查，每盒降价元，每天可多售出盒．要使每天的利润达到元，设每盒降价元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以总利润与每盒利润、销售量的等量关系为突破口，分别表示降价后的每盒利润与日销售量即可列方程． 【详解】解：∵每盒降价元，原每盒利润为元， ∴降价后每盒利润为元， ∵每降价元每天可多售盒，原每天售出盒， ∴降价后每天的销售量为盒， ∵每天总利润要达到400元， ∴可列方程为． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据题意得出关于的不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即. ∵方程有实数根， ∴. ∴. 解得. ∴的取值范围是且. 6．等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】先解一元二次方程得到两根，再分情况讨论作为等腰三角形的腰与底，利用三角形三边关系检验，舍去不能构成三角形的情况，最后计算周长． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，． 当腰长为，底边长为时， ，不符合三角形三边关系，舍去； 当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 此时周长为． 7．设，是关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根，且，则k的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，． 根据一元二次方程的根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∴，解得． 8．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求方程变形为与已知方程结构一致的形式，换元后利用一元二次方程根的定义求解． 【详解】解：对变形，得， 设，则方程化为， ∵ 关于的一元二次方程有一根为， ∴ 方程有一个根为， ∴ ， 解得． 9．如图，一张长、宽的长方形硬纸片，四个角上裁去四个小正方形后折成无盖长方体纸盒，下列说法正确的是（     ）． A．裁去的小正方形边长越大，纸盒体积越大． B．当纸盒表面积为时，纸盒体积为． C．设纸盒高为，则底面积可以表示为． D．若纸盒底面面积为，则纸盒的高为． 【答案】D 【详解】解：设小正方形的边长为，长方体纸盒的长为：，宽为，且， 则纸盒的体积为：， 当接近于8时，纸盒的体积接近于0，故A项说法错误； 纸盒的表面积等于原长方形纸张的面积减去四个小正方形的面积，则：， 解得：， 则体积为：，故B项错误； 纸盒高为，即小正方形的边长为，底面积可以表示为，故C项错误； 令， 解得：，（，大于8，舍去）， 则：纸盒的高为，则D项正确． 10．某地规划了充电桩单循环组网模式，实际铺设50条线路后发现，除一个充电桩点位仅完成了5条电路连接外，其余充电桩点位两两之间均已完成电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】原规划个充电桩，根据题意得出个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，列出方程求解即可． 【详解】解：设原规划建设的充电桩个数为， ∵原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵其余个充电桩两两之间已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴实际总线路满足方程：， 解得（负值舍去）， ∴原规划建设的充电桩个数为11． 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．某商品两次价格上调后，单价从元变为元，则平均每次调价的百分率为_______． 【答案】 【分析】设平均每次调价的百分率为x，根据两次价格上调后的最终单价列一元二次方程，结合实际意义舍去不合题意的根，即可求得结果 【详解】解：设平均每次调价的百分率为 ∵商品初始单价为元，经过两次价格上调后单价为元． ∴第一次调价后的单价为． ∴第二次调价后的单价为． 根据题意列方程： 方程两边同时除以4，得 对等式两边开平方，得． ∵价格上调，调价百分率x为正数，即． ∴取，解得． 另一解，即，不符合价格上调的实际意义，舍去． ∴平均每次调价的百分率为． 12．已知一元二次方程有两个实数根，则能取的最大值是_________． 【答案】5 【分析】将原方程整理为一元二次方程的标准形式，根据方程有两个实数根时判别式非负的条件，建立关于的不等式，求解得到的取值范围，进而确定其最大值． 【详解】解：先将原方程移项整理为标准一元二次方程形式： ， 其中二次项系数，一次项系数，常数项， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得 因此能取的最大值为． 13．若关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 又∵，即， ∴． 14．已知a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2026 【分析】将所求代数式提取公因式转化为含两根和、两根积的形式，结合一元二次方程根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 15．某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地．一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．若围成的菜地面积为，求此时的长为_________． 【答案】 /15米 【分析】设长为，表示出长，根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后结合墙长的限制条件进行取舍． 【详解】解：设的长为，则的长为， 根据题意得， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为． 16．已知是实数，，则的最大值为________． 【答案】 【分析】设，则可推出，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】解：设，根据二次根式的定义，可得，变形得． 将代入，得： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当时取得等号， ∴y的最大值为． 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解： ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，. 18．随着壮锦非遗宣传推广，某地壮锦非遗展示馆开馆后参观热度持续上升，进馆人次逐月增加．为保障游览安全、维持参观秩序，馆方定期统计客流情况及预约数据，并提前制定游客分流预案．受展厅空间、配套设施等限制，当月进馆人次超过12000人次时，馆方需要实施游客分流．经统计，展示馆开馆第一个月进馆人次为7500人次，第三个月进馆人次为10800人次，进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，根据预约情况第四个月是否需要实施游客分流？并说明理由． 【答案】(1) 进馆人次的月平均增长率为； (2) 第四个月需要实施游客分流， 理由如下： ∵进馆人次的月平均增长率为，第三个月进馆人次为10800， ∴第四个月进馆人次为（人次）， ∵ 当月预约参观人数超过12000人次时馆方需实施分流， 又∵， ∴第四个月需要实施游客分流． 【分析】（1）根据第一个月与第三个月的进馆人次，结合月平均增长率相同的条件列一元二次方程求解； （2）利用求得的月平均增长率计算第四个月进馆人次，与12000人次比较后得出结论． 【详解】（1） 解：设进馆人次的月平均增长率为， ∵第一个月进馆7500人次，进馆人次的月平均增长率相同， ∴第三个月进馆人次满足， 整理得， 解得，， ∵月平均增长率为正数， ∴舍去， 答：进馆人次的月平均增长率为； （2）略 19．水果超市销售翠香猕猴桃，每千克进价8元，售价每千克13元，每天可以卖出70千克．经市场调查发现：如果每千克售价每降低1元，日销售量增加20千克．超市想要每天获利360元，为尽可能让利顾客，每千克翠香猕猴桃应降价多少元？ 【答案】每千克翠香猕猴桃应降价1元 【分析】设每千克翠香猕猴桃应降价元，表示出售价和销量，再列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每千克翠香猕猴桃应降价元． 由题意，得， 整理得， 解得或， 为尽可能让利顾客， ， 故每千克翠香猕猴桃应降价1元． 20．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围，根据根与系数的关系得出，把字母和数代入求出的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； ∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴（舍去）． ∴． 21．已知关于x的方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)设，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况，结合有实数根的条件求解的取值范围． （2）利用根与系数的关系，将已知等式变形后代入求解，检验结果是否符合条件． 【详解】（1）解：分两种情况讨论：当时，方程为，解得，有实数根，符合题意． 当时，方程为一元二次方程． ∵方程有实数根，∴． 解得．又， ∴此时且． 综上所述，的取值范围是． （2）∵，是方程的两个实数根， ∴，且由根与系数的关系得： ，． ∵， ∴． 代入得， 整理得， 解得． 检验：当时，，符合题意． ∴的值为． 22．如图，某海军基地位于处，在其正南方向处有一重要目标，在的正东方向处有一重要目标，小岛位于的中点处，岛上有一补给码头；小岛位于的中点处．一艘军舰从出发，经到匀速巡航：一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． (1)小岛D与小岛F相距多少海里？ (2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，则相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)即小岛D与小岛F相距海里 (2)相遇时补给船航行了海里 【分析】（1）根据中位线定理可得； （2）设补给船航行路程为x，根据速度关系表示军舰路程，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵小岛位于的中点处，小岛位于的中点处， ∴是的中位线， ∴， 答：小岛D与小岛F相距海里； （2）解：设相遇时补给船航行了，则， ∵军舰速度是补给船2倍，航行时间相同， ∴， ∵小岛位于的中点处，小岛位于的中点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∵在、之间， ∴， 解得， ∴， 答：相遇时补给船航行了海里． 23．综合与实践：制作长方体盒子 一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为，则可列方程为______． (2)由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由 (3)为了不浪费原材料，小明把这个矩形铁皮分割成5个矩形铁皮，用其中一个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能焊接成一个无盖长方体铁盒，请画出设计图，并直接写出该铁盒侧面的高． 【答案】(1) (2)能折出底面积为的有盖盒子，盒子的体积为 (3)设计图如下： 方案一： 该铁盒侧面的高为， 方案二： 该铁盒侧面的高为； 【分析】（1）四角剪去边长为正方形后，底面长为，宽为，，根据底面积为直接列出方程； （2）设正方形边长为，结合有盖盒子裁剪方案，底面长为、宽为，利用底面积列方程，利用判别式判断方程是否有解，，有解，故能折出底面积为的有盖盒子，然后舍去超出范围的根，算出高后求出体积； （3）方案一：把原铁皮分成1块正方形底面、4块相同长方形侧面，底面取边长，算出侧面高为；方案二：取长、宽的长方形作为底面，再把剩余部分分出两组侧面：2块长、宽，2块长、宽即可． 【详解】（1）解：由题意得底面长为，宽为， 底面积为， 可列方程为； （2）解：设切去的正方形的边长为， 则底面长为，宽为， 底面积为， ， 化简得，即， ， ，（舍去）， 能折出底面积为的有盖盒子，盒子的体积为； （3）解：要求不浪费原材料， 方案一：取边长为的正方形作为底面，再把剩余部分分成长为的四个全等长方形， 设计图略， ， 该铁盒侧面的高为． 方案二：取长、宽的长方形作为底面，再把剩余部分分出两组侧面：2块长、宽，2块长、宽， 设计图略， 侧面竖边长度等于， 该铁盒侧面的高为． 24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是“邻根方程”的为：______； ①；    ②． (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）分别解出方程的根，令两根相减，根据邻根方程的定义进行判断即可得解； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值等于1，从而得到关于的方程，解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简可得，整体代入再配方可得，即可确定的最大值． 【详解】（1）解：①， ， ， ． ， ∴不符合邻根方程的定义， 不是邻根方程． ②， ， ， ， ，． ， ∴符合邻根方程的定义， 是邻根方程． （2）解：∵关于的方程（是常数）是邻根方程， ∴解方程可得：，， ， ． （3）∵关于的方程（、是常数，）是邻根方程，设两个根为、， ． ，， ， ， ． 当时，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $