第二章 一元二次方程单元测试卷（提升卷）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程单元测试卷（提升卷）

（满分120分，时间120分钟）

 

一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ）

A． B． C． D．

2．解一元二次方程，配方得到，则a的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

3．对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表．

从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ）

A． B． C． D．

4．根据“一个数比它本身的平方小4”列方程时，若设这个数为，则可列出方程（    ）

A． B． C． D．

5．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）．

A．10 B．20 C．30 D．10或30

6．根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（   ）

x

A． B． C． D．

7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ）

A． B．且 C． D．且

8．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．）

9．已知一元二次方程有一个根为1，则__________．

10．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________．

11．已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________．

12．阅读材料，并解决问题．

【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：

第一步：将原方程变形为，即x（ ）=1；

第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；

第三步：根据大正方形的面积可得新的方程_______，解得原方程的一个正根为_____；

【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形而积为4，那么此方程的系数=______，=______，求得方程的正根为______．

13．已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则抛物线的顶点坐标为______．

14．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是______．

15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为________．

16．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是______．

x	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
					0.09	0.34	0.61

三、解答题（本题共10小题，共72分．其中17～22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．某网店以每件40元的价格购进一批商品，若以单价50元销售，每月可售出200件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件．为了尽可能的减少快递支出，网店决定采取适当的涨价措施．设每件商品涨价x元．据此规律，请回答：

(1)该网店月销售量减少_______件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）；

(2)在上述条件下，每件商品售价多少元时，网店月盈利可达到2000元？

 

 

 

18．解下列方程

(1)

(2)

(3)

 

 

 

19．已知关于的方程

(1)求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；

(2)若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．

 

 

 

20．已知关于的方程．

(1)若该方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根；

(2)求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根．

 

 

 

21．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．

那么：（1）求四边形QAPC的面积；

（2）当t为何值时，PCQ的面积是31cm2？