精品解析：浙江宁波市第七中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

宁波七中教育集团2026学年第一学期初三数学第一次月考试题卷 （2026.11） 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 选择题部分 一、单选题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 已知的半径为5，，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 2. 正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 4. ⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 5. 如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为，且，则的面积为( ) A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 8. 如图，为的一条中线，P为的重心，，分别交，于点E，F，交于点P，则与的比值等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为x，延长与交于点E，则的度数为（） A. B. C. D. 10. 如图1，在四边形中，，平分，，（为常数），记长为，长为，关于的函数图象如图2所示，最高点的纵坐标为，当时，四边形的面积为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 已知线段，，则线段a，b的比例中项线段______． 12. 如图，四边形内接于，若，则的度数是___． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，，，那么_____________． 14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．如图，把镜子放在离树的点E处，然后沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得，观察者目高，则______． 15. 二次函数（）自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表： x … 0 1 2 … y … q p q … 下列说法正确的是______．（填写序号） ①函数图象开口向上； ②当时，y随x的增大而减小； ③抛物线的对称轴为直线； ④当时，x的取值范围是． 16. 如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，点B关于直线的对称点在线段的延长线上，与交于点H．若，则______． 三、解答题（共8题；第17－21题每题8分，第22、23题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知，求的值． 18. 如图是由24个小正方形组成的网格图，每一个正方形的顶点都称为格点，的三个顶点都是格点，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中找格点D，E，F，作，使和相似，且相似比为，只需作出一个符合条件的图形． （2）如图2，仅用无刻度直尺找的外接圆圆心O，保留作图痕迹． 19. 如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中． （1）求该抛物线的表达式； （2）根据图象，直接写出时，x的取值范围； （3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？ 20. 如图，已知是的直径，弦与半径平行． （1）求证：点C是的中点； （2）若，求阴影部分的面积． 21. 某电商的A商品平均每天可销售40件，每件盈利50元．临近春节，电商决定降价促销．经调查表明：每件商品的价格每降低1元，其日平均销量将增加2件． （1）设A商品每件降价x元，则日销售量为______件（用含x的代数式表示）． （2）求日销售利润y关于x的函数表达式． （3）当降价多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，在等腰三角形中，，点P在平分线上，过点P作线段分别交，于点E，F，已知． （1）求证：． （2）若，F是的中点，求的值． 23. 已知二次函数（a为常数）． （1）若二次函数的图象过点，求函数y的表达式． （2）若，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若二次函数在时有最大值2，求a的值． 24. 如图，是的直径，弦于点E，P为上一点，连结，与交于点Q． （1）求证：． （2）连结交于点F，当时，是等腰三角形吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波七中教育集团2026学年第一学期初三数学第一次月考试题卷 （2026.11） 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 选择题部分 一、单选题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 已知的半径为5，，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内． 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离, ∵，即， ∴点在圆内． 2. 正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数． 【详解】解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°， 则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度． 3. 将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“自变量左加右减，函数值上加下减”的规律是解题关键．根据向右平移2个单位，自变量减2，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为， 故选：D． 4. ⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理，先求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB，连接OA， 由题意可知：，且， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理．掌握垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧是解题关键． 5. 如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出，结合求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 6. 已知在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 7. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为，且，则的面积为( ) A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴，即与的位似比为 ∴ ∵的面积为， ∴的面积为 8. 如图，为的一条中线，P为的重心，，分别交，于点E，F，交于点P，则与的比值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据重心的性质得到，再根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵点为的重心， ∴， ∴， ∵为的一条中线， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即与的比为． 9. 如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为x，延长与交于点E，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧的关键，熟记圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理及邻补角定义求出，根据圆周角、弧的关系求出，根据三角形内角和定理、对顶角性质求出，再根据四边形内角和是求解即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 是半圆的直径， ， ， 与的度数之和为， ， ， ， 故选：C． 10. 如图1，在四边形中，，平分，，（为常数），记长为，长为，关于的函数图象如图2所示，最高点的纵坐标为，当时，四边形的面积为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，过点作于点，分和两种情况讨论即可，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数），长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 由图2知，， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得或， 过点作于点， ， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积为； 当时，则， ∴， 同理，得， ∴四边形的面积为； 综上，四边形的面积为或． 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 已知线段，，则线段a，b的比例中项线段______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据比例中项的定义得，结合，，即可解出线段的长度. 【详解】解：∵ 线段是，的比例中项， ∴ ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∵ 线段长度为正数， ∴ 12. 如图，四边形内接于，若，则的度数是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．利用圆内接四边形的对角互补这一性质，直接通过已知角的度数求出未知角的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，，，那么_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的． 根据黄金分割点的概念作答即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，，， ∴． 故答案为：． 14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．如图，把镜子放在离树的点E处，然后沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得，观察者目高，则______． 【答案】6.4 【解析】 【分析】证明，则，代入数值计算即可． 【详解】解：根据平面镜成像可知，， 由题意可知，， ∴， ∴， 即， 解得． 15. 二次函数（）自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表： x … 0 1 2 … y … q p q … 下列说法正确的是______．（填写序号） ①函数图象开口向上； ②当时，y随x的增大而减小； ③抛物线的对称轴为直线； ④当时，x的取值范围是． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】利用表格中函数值相等的点确定抛物线对称轴，结合不同位置的函数值大小判断开口方向，再根据二次函数的对称性、增减性逐一分析各说法的正误. 【详解】解：∵当和时，函数值均为， ∴抛物线的对称轴为直线，故③正确； ∵在对称轴上，对应的函数值为，对应的函数值为，且到对称轴的距离大于到对称轴的距离，对应函数值， ∴抛物线顶点为最低点，函数图象开口向上，故①正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故②错误； ∵开口向上，函数值为时对应， 根据对称性，其关于对称轴的对称点为， ∴当时，的取值范围是或，故④错误； 综上，正确的说法为①③． 16. 如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，点B关于直线的对称点在线段的延长线上，与交于点H．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长，，交于点，设与交于点，由得到，设，．证明，根据“三线合一”得到，设，则，，，，，由得到，即，求得，即可解答． 【详解】解：延长，，交于点，设与交于点， ∵在正方形中，， ∴， ， ∴设，， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ， ∴， ∵在正方形中，， ， ∴在正方形中，． 设， ∴，，， ∵点与点关于对称， ∴，， ∵在正方形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ． 三、解答题（共8题；第17－21题每题8分，第22、23题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设，其中，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴可设，其中， ∴原式 18. 如图是由24个小正方形组成的网格图，每一个正方形的顶点都称为格点，的三个顶点都是格点，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中找格点D，E，F，作，使和相似，且相似比为，只需作出一个符合条件的图形． （2）如图2，仅用无刻度直尺找的外接圆圆心O，保留作图痕迹． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定作图即可； （2）根据三角形外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中． （1）求该抛物线的表达式； （2）根据图象，直接写出时，x的取值范围； （3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据抛物线的开口方向和与轴的交点的横坐标进行解答即可； （3）设抛物线向下平移个单位，则抛物线解析式为，根据抛物线与x轴只有一个交点得到有两个相等的实数根，利用根的判别式列方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：把代入得到 解得 ∴ 【小问2详解】 解：∵．抛物线开口向下， ∴时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设抛物线向下平移个单位，则抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得 20. 如图，已知是的直径，弦与半径平行． （1）求证：点C是的中点； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴点C是的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，由得到，即可证明结论； （2）证明是等边三角形，则，根据扇形面积减去三角形面积即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连结， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴ 21. 某电商的A商品平均每天可销售40件，每件盈利50元．临近春节，电商决定降价促销．经调查表明：每件商品的价格每降低1元，其日平均销量将增加2件． （1）设A商品每件降价x元，则日销售量为______件（用含x的代数式表示）． （2）求日销售利润y关于x的函数表达式． （3）当降价多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）当降价15元时，日销售利润最大．最大利润是2450元 【解析】 【分析】（1）根据每件商品每降低1元，其日平均销量将增加2件列代数式即可； （2）根据每件的利润乘以销售的件数即可得到函数表达式； （3）根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵某电商的A商品平均每天可销售40件，每件商品的价格每降低1元，其日平均销量将增加2件． ∴设A商品每件降价x元，则日销售量为件； 【小问2详解】 解：根据题意可得日销售利润y关于x的函数表达式为 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴当时，元 所以，当降价15元时，日销售利润最大．最大利润是2450元． 22. 如图，在等腰三角形中，，点P在平分线上，过点P作线段分别交，于点E，F，已知． （1）求证：． （2）若，F是的中点，求的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ，又， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线的定义得到，再根据相似三角形的判定可证得结论； （2）利用等腰三角形的性质得到，再由已知求得，，，再利用相似三角形的性质得求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵，平分， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴，则， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 23. 已知二次函数（a为常数）． （1）若二次函数的图象过点，求函数y的表达式． （2）若，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若二次函数在时有最大值2，求a的值． 【答案】（1） （2）m≤－4 （3）或－2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据二次函数的性质列出不等式并解不等式即可； （3）分和两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：将代入 ， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：对称轴：， ∵当时，二次函数y随着x的增大而减小， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：①当时， 时，， ∴ ②当时， 时，， ∴ ∴或－2 24. 如图，是的直径，弦于点E，P为上一点，连结，与交于点Q． （1）求证：． （2）连结交于点F，当时，是等腰三角形吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴； （2）是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得到，由等弧所对的圆周角相等即可得到结论； （2）证明，得到，即可证明结论成立； （3）证明，则，证明，则，设，则，得到，根据勾股定理列方程并解方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴． 在中，， ∴（舍）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $