精品解析：浙江省宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

咸祥镇中学2025学年第一学期九年级数学月考测试卷12月 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列词语所描述的事件中是不可能事件的是（ ） A. 温故知新 B. 水滴石穿 C. 水中捞月 D. 日出东方 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为6，点在外，则的长可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 将二次函数的图象向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，所得函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，， ，则边的长为（ ） A. 5 B. 12 C. D. 25 6. 如图，B、F、C三点共线，与相交于点E，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是半圆的直径，，等于，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，求_______． 12. 一个不透明的袋子里装有两个小球红色，两个小球黑色，一个小球白色，它们除颜色外均相同，从中任取一个小球，求抽到黑色或白色的概率为________． 13. 半径为5，圆心角为的扇形的面积为________． 14. 如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为：，则小明此次实心球训练的成绩为______米． 15. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为___． 16. 如图，已知点A是以为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是半径上的点、若的半径为1，则的最小值为________． 三、解答题（17题6分，18-21题每题8分，22题10分，23和24题每题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2）已知，求的值． 18. 在宁波市发布推行中小学春秋假制度的文件后，小宁家和小波家准备利用春秋假去旅行，看祖国的大好河山，他们都准备在成都、长沙、北京三个城市中选择一个城市游玩． （1）若从这三个地方随机选择一个地方，则选到成都的概率是 ； （2）若小宁家和小波家都随机从中选择一个地方，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选到长沙的概率． 19. 如图是由边长为的小正方形组成的的网格，已知格点，即三个顶点都在小正方形顶点处的三角形，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列各题（要求保留作图痕迹，不要求写做法和结论）． （1）在图中，画，使点在格点上，且与相似；（只需画出一种即可） （2）在图中，线段上找一点，使． 20. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）展板的最高点A到地面的高度是多少？ 21. 已知：四边形的两条对角线相交于点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，为了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． （1）求关于的函数表达式； （2）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？ 23. 一座桥如图，桥下水面宽度是米，高是米．要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米． （1）如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系． ①求抛物线的解析式； ②要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ （2）如图，若把桥看做是圆的一部分． ①求圆的半径； ②要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 24. 如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． （1）求证：； （2）若，，，求和的面积比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸祥镇中学2025学年第一学期九年级数学月考测试卷12月 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列词语所描述的事件中是不可能事件的是（ ） A. 温故知新 B. 水滴石穿 C. 水中捞月 D. 日出东方 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知不可能事件是指永远不会发生的事件．通过分析各选项词语的含义，判断其描述的事件是否可能发生． 【详解】解： A.“温故知新”指复习旧知识获得新理解，是可能事件，不符合题意； B.“水滴石穿”指水滴长期滴落可穿石，是可能事件，不符合题意； C.“水中捞月”指捞取水中月影，实际不可能实现，是不可能事件，符合题意； D.“日出东方”指太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为可直接求解． 【详解】解：∵是顶点形式，其中，， ∴顶点坐标为． 故选：A． 3. 已知的半径为6，点在外，则的长可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意可知的半径为6，点在外，则，进而可得出答案． 【详解】解：∵的半径为6，点在外， ∴， 故选：D． 4. 将二次函数的图象向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，所得函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键． 根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案． 【详解】将二次函数的图象向右平移1个单位后，再向上平移2个单位， 所得函数图象的表达式是． 故选：B． 5. 在中，，， ，则边的长为（ ） A. 5 B. 12 C. D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正弦定义和勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据，,得，则，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， 故选：A． 6. 如图，B、F、C三点共线，与相交于点E，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由，证明，则，即可作答． 【详解】解：∵AC与BD相交于点E， ∴ ∴， ∵ ∴， 故选：C． 7. 如图，是半圆的直径，，等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，因为是半圆的直径，所以，由，根据圆周角定理得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设AE=x，则AC=x+4， ∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD． ∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB． ∴△ACD∽△DCE． ∴，即．解得：x=5． 故选B． 9. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点， ∴b2﹣4c＜0；故①错误． 当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误． ∵当x=3时，y=9+3b+c=3， ∴3b+c+6=0．故③正确． ∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确． 综上所述，正确的结论有③④两个， 故选B． 10. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，求_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，由已知条件，将所求分式拆分为，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 一个不透明的袋子里装有两个小球红色，两个小球黑色，一个小球白色，它们除颜色外均相同，从中任取一个小球，求抽到黑色或白色的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点为简单事件的概率． 由于每个小球被取到的可能性相同，属于等可能事件，计算概率时用事件结果数除以总数即可得出结果． 【详解】解：∵袋中黑球和白球的数量和为个，袋中球总数为个， ∴根据概率公式，抽到黑色或白色的概率为． 故答案为：． 13. 半径为5，圆心角为的扇形的面积为________． 【答案】π 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为 ． 14. 如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为：，则小明此次实心球训练的成绩为______米． 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标，即为所求． 【详解】解：当时：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴小明此次实心球训练的成绩为米； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标，是解题的关键． 15. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出，由表示出三角形的边上的高，根据三角形与三角形相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出的值，即为的长． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， 设，则有，， ， 解得：， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 16. 如图，已知点A是以为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是半径上的点、若的半径为1，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是要在上找一点P，使的值最小，设是A关于的对称点，连接，与的交点即为点P．此时是最小值，可证是等腰直角三角形，从而得出结果． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，则最小，连接， ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴， ， ∵点B是弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了对称轴——最短路线问题和圆角周定理，解决此题的关键是确定点P的位置． 三、解答题（17题6分，18-21题每题8分，22题10分，23和24题每题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2）已知，求的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，比例的性质，熟记特殊角的三角函数值，掌握比例的性质，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）根据比例的性质得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 18. 在宁波市发布推行中小学春秋假制度的文件后，小宁家和小波家准备利用春秋假去旅行，看祖国的大好河山，他们都准备在成都、长沙、北京三个城市中选择一个城市游玩． （1）若从这三个地方随机选择一个地方，则选到成都的概率是 ； （2）若小宁家和小波家都随机从中选择一个地方，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选到长沙的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选到成都的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及他们同时选到长沙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中选到成都的结果有1种， ∴选到成都的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 将成都、长沙、北京分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A (A，A) (A，B) (A，C) B (B，A) (B，B) (B，C) C (C，A) (C，B) (C，C) 共有9种等可能的结果，其中他们同时选到长沙的结果有1种， ∴他们同时选到长沙的概率为． 19. 如图是由边长为的小正方形组成的的网格，已知格点，即三个顶点都在小正方形顶点处的三角形，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列各题（要求保留作图痕迹，不要求写做法和结论）． （1）在图中，画，使点在格点上，且与相似；（只需画出一种即可） （2）在图中，线段上找一点，使． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图-相似变换，熟记相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定作图； （2）取格点，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴． 20. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）展板的最高点A到地面的高度是多少？ 【答案】（1）该展板点B到地面的距离为 （2）展板的最高点A到地面的高度是． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）通过构造直角三角形，利用角的正弦值求出对应的竖直高度，再加的长度，得到B到地面的距离为； （2）解直角三角形求的高度即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，cm，， ∴， 由图可得：B到地面的距离为， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故B到地面的距离为； 【小问2详解】 解：最高点A到地面的高度为， ∵， ∴， 同理得， ∴， 故展板的最高点A到地面的高度是． 21. 已知：四边形的两条对角线相交于点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形的两条对角线相交于点， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． 由四边形的两条对角线相交于点，得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； 由相似三角形的性质得，变形为，因为，所以，而，，，所以，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，，， ， ， 的长是． 22. 某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，为了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． （1）求关于的函数表达式； （2）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）降价15元时，该书店可获得最大利润1250元 【解析】 【分析】（1）设每套书降价元时，所获利润为元，准确表示出每天书刊的销售量，列出利润y关于降价x的函数关系式； （2）运用配方法求出二次函数最值． 此题考查了二次函数的应用问题，解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题． 【小问1详解】 解：设每套书降价元时，所获利润为元， 则每天可出售套； 由题意得：； 【小问2详解】 解：∵， 则当时，取得最大值1250； 即当降价15元时，该书店可获得最大利润1250元． 23. 一座桥如图，桥下水面宽度是米，高是米．要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米． （1）如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系． ①求抛物线的解析式； ②要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ （2）如图，若把桥看做是圆的一部分． ①求圆的半径； ②要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【答案】（1）①②米 （2）①米②米 【解析】 【分析】（1）①直接利用待定系数法求解即可； ②令，求出x的值，即可求解． （2）①构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解即可； ②令，再利用勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 设抛物线解析式为：， ∵桥下水面宽度是米，高是米， ∴，，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 要使高为米的船通过， ∴，则， 解得：， ∴米， ∴宽度须不超过米； 【小问2详解】 设圆半径米，圆心为， ， ∴， 解得：， ∴圆的半径为； 令， 在中， 由题可知，，， 根据勾股定理知：， 即， 所以， 此时宽度米， ∴其宽度须不超过米． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，以及垂径定理，勾股定理，利用图象上的点得出解析式是解决问题关键． 24. 如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． （1）求证：； （2）若，，，求和的面积比． 【答案】（1） 证明：∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质． （1）根据圆周角定理可得，由角平分线定义得，即可证； （2）过点A作于点F，过点C作于点G，可证得，可得，即，求得，再证得，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点F，过点C作于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $