精品解析：广东云浮市罗定市2026-2027学年第一学期九年级期中数学试题

罗定市2026-2027学年度第一学期阶段教学质量监测 九年级数学学科试题 本试卷共23小题，满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案答在试卷上无效． 2．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题级号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； B、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误； D、 符合二元一次方程的定义，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： 故选： D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，能够熟练运用顶点式得出顶点坐标是解题关键． 利用顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵顶点式的顶点为， ∴的顶点为， 故选：B． 4. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 利用函数图象平移的性质逐步进行求解即可． 【详解】解：抛物线先向上平移2个单位得到，再向右平移3个单位得到， 故选：D． 5. 在“双减”政策的指导下，我省中学生每天课后书面作业时长显著减少．2021年学生平均课后书面作业时长为160分钟，2023年学生平均课后书面作业时长为90分钟，设平均每年作业时长的年下降率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2023年平均课后书面作业时长年课后书面作业平均时长该校这两学年平均作业时长的下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设根据题意得：． 故选：C． 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 7. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设（为常数，）， 将，代入， 得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 故答案是： 8. 若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A. x1＜x2＜x3 B. x2＜x3＜x1 C. x3＜x1＜x2 D. x1＜x3＜x2 【答案】D 【解析】 【分析】先将A、B、C三点坐标代入反比例函数中求出x1、x2、x3，再比较大小即可解答． 【详解】解：将点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，3）代入反比例函数中，得： x1=，x2=1，x3=， ∵＜＜1， ∴x1＜x3＜x2， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、实数的大小比较，熟知所有反比例函数图象上的点的坐标满足该函数的解析式是解答的关键． 9. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，弄清题意、找到等量关系是解题的关键． 根据“打印区域的面积占纸张总面积的”列出方程即可． 【详解】解：设应设置的页边距为，则打印区域的长为，宽为， ∴打印区域的面积为， ∵打印区域的面积占纸张总面积的， ∴． 故选D． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用假设法，结合图象的开口方向和直线经过的象限，即可判断是大于0还是小于0，若出现矛盾则错误，两个图象的结果一致即是正确答案． 【详解】解：A、由抛物线可知，图象开口方向向上，，由直线可知，直线经过二、四象限，，出现矛盾，错误． B、由抛物线可知，图象开口方向向下，，由直线可知，直线经过一、三象限，，出现矛盾，错误． C、由抛物线可知，图象开口方向向上，，由直线可知，直线经过一、二、三象限，，，对称轴，与图中对称轴在轴左侧相符合，正确． D、由抛物线可知，图象开口方向向下，，由直线可知，直线经过一、二、四象限，，对称轴，与图中对称轴在轴左侧相矛盾，错误． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得：． 12. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点为对称点，对称轴经过两点横坐标的中点，计算中点横坐标即可得到对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过的点和，且这两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 14. 用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先把点代入反比例函数求出，再将点代入反比例函数求出得到交点，再根据图像，找出一次函数在反比例函数下方或重合的范围，得到解集或． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上． ． 反比例函数解析式为． ∵ 点在反比例函数的图象上． ， ． ． 不等式的几何意义：一次函数图象在反比例函数图象下方或者交点处对应的取值． 观察图象，两个交点为，，反比例函数． 当或者时，满足． 不等式的解集是或． 三、计算题：本大题共3小题，每题8分，共24分． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】第（1）题是直接开平方法解一元二次方程，要注意一个正数的平方根有两个，不要漏掉负根； 第（2）题优先十字相乘因式分解，也可以用公式法、配方法求解，因式分解法计算更快捷． 【小问1详解】 解： 开平方，得， 当，， 当， 解得：． 【小问2详解】 解： 解法1：， ， 解得． 解法2： 因式分解得： 当时，；当时， 解得． 17. 已知某反比例函数的图象经过点. （1）求这个反比例函数的解析式； （2）请判断点和是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不在反比例函数图象上，在反比例函数图象上，理由如下： 当，代入得，所以不在反比例函数图象上 在反比例函数图象上 当，代入得，所以在反比例函数图象上． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）分别将、代入反比例函数计算，进而判断即可． 【小问1详解】 解：设这个反比例函数为 把点代入得 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 略． 18. 某商场以每盒元的成本购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出__________盒；（用含的代数式表示） （2）当月饼每盒降价多少元时，每天的销售利润恰好能达到元？ 【答案】（1）． （2）当月饼每盒售价下降元时，每天的销售利润恰好能达到元． 【解析】 【分析】先根据降价和销量的变化关系写出销量代数式； 再找准降价之后单件利润，列出方程，解出方程后检验实际意义，本题两个解都满足售价高于成本，结合“扩大销售”的背景，选择销量更大的方案． 【小问1详解】 根据题意得，每天能售出盒； 【小问2详解】 解：设月饼每盒售价下降元，每天能售出盒， 依题意得：， 解得：，， 要扩大销售，降价越多，销量越大， ． 答：当月饼每盒降价元时，每天的销售利润恰好能达到元． 【点睛】本题是一元二次方程利润应用题，核心公式：单件利润销量总利润．利润应用题，当方程有两个正数合理解时，一定要回看题干的附加要求（扩大销售/优惠顾客/减少库存等），这类条件就是用来筛选答案的，不是所有正根都要保留． 四、解答题：本题共3小题，每题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 跳水运动员从米跳台起跳，身体离水面的高度（米）与起跳后的时间（秒）近似满足（），图象如图所示． （1）求抛物线的顶点坐标，并根据顶点坐标写出运动员离水面最大高度及此时离起跳的时间； （2）当为何值时（），运动员离水面的高度恰好等于跳台的高度？ 【答案】（1）顶点坐标，离水面最大高度米，此时离起跳秒； （2）当秒时，运动员离水面的高度等于跳台高度． 【解析】 【分析】第一问用配方法把解析式化成顶点式，顶点的横坐标对应到达最高点的时间，纵坐标对应最大高度； 第二问根据题意列方程，求出解之后，结合的条件舍去不符合题意的根。 【小问1详解】 解： 顶点坐标为 答：起跳秒时，运动员离水面最大高度为米． 【小问2详解】 解：令：， ， 即， 解得或． ，取． 答：当秒时，运动员离水面的高度等于跳台高度． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得出判别式，从而得出关于m的不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系列出关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以，， 所以的取值范围是； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：， ， 因为10，即 所以． 21. 综合与实践． 罗定某学校数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系； 汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）汽车从刹车后经过多长时间停下来，行驶到最远的距离是多少？ 【答案】（1） （2）汽车刹车后经过5秒停下来，最远距离是75米 【解析】 【分析】第一问利用待定系数法，结合表格三组数据求出函数表达式； 第二问理解题意：距离最大的时候汽车停止，也就是二次函数顶点位置，利用顶点公式求出对应的时间和最大刹车距离． 【小问1详解】 解：设， 将 代入， 得， 解得， ∴关于的函数解析式为：， 【小问2详解】 解：当 把代入解析式： 所以 米 答：汽车刹车后经过5秒停下来，最远距离是75米． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题12分，共24分． 22. 定义：设x1、x2是方程()的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． （1）方程 “和谐方程”．(填“是”或“不是”) （2）若方程是“和谐方程”，求的值． （3）若方程(，)为“和谐方程”，直接写出满足的数量关系． 【答案】（1）不是 （2） （3）(或) 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系求出与，再验证是否成立即可； （2）根据方程是“和谐方程”列出关于m的方程并求解即可； （3）根据方程是“和谐方程”列出关于的方程并整理即可． 【小问1详解】 解：设是方程的两个根， 则， ∴， ∴方程不是“和谐方程”． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由题意，， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵(，)， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图①，直线与抛物线交于点，点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值； （3）如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时．若抛物线的顶点在内（包括边界）并与直线有一个交点，请写出的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，有最大值； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、最值问题及平移后的交点与范围问题，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，结合二次函数性质分析最值与范围． （1）将两点坐标代入抛物线解析式，列方程组求解； （2）先求直线解析式，用h表示的长度，转化为二次函数求最值； （3）先求抛物线平移后的解析式，结合直线的交点情况与顶点位置，确定m的范围． 【小问1详解】 解：把点，点的坐标代入， 可得：，解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把点，点的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 点的横坐标为，且点在抛物线上， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为，代入， 可得：，解得：， ， 整理得：， 当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 直线对应的点为， 当时，可得：， 直线对应的点为， 如下图所示， 设抛物线的图像向上平移个单位长度得到抛物线为， 当抛物线经过点时，可得：， 解得：， 抛物线为， 解方程组，得到：，（不符合题意，舍去）， 此时抛物线与线段有个公共点， 如下图所示， 当抛物线经过点时，可得：， 解得：， 抛物线为， 解方程组， 得到：，， 此时抛物线与线段有个公共点， 解方程组：， 可得：， 整理得：，可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 当时，如果抛物线与直线有个交点，则有， 当时，如果抛物线与直线有个交点，则有或， 当时，如果抛物线与直线没有交点，则有或， 又抛物线的顶点在内（包括边界）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗定市2026-2027学年度第一学期阶段教学质量监测 九年级数学学科试题 本试卷共23小题，满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案答在试卷上无效． 2．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题级号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　　） A. B. C. D. 5. 在“双减”政策的指导下，我省中学生每天课后书面作业时长显著减少．2021年学生平均课后书面作业时长为160分钟，2023年学生平均课后书面作业时长为90分钟，设平均每年作业时长的年下降率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A. B. C. D. 8. 若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A. x1＜x2＜x3 B. x2＜x3＜x1 C. x3＜x1＜x2 D. x1＜x3＜x2 9. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 12. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 13. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 14. 用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是______． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________． 三、计算题：本大题共3小题，每题8分，共24分． 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知某反比例函数的图象经过点. （1）求这个反比例函数的解析式； （2）请判断点和是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 18. 某商场以每盒元的成本购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出__________盒；（用含的代数式表示） （2）当月饼每盒降价多少元时，每天的销售利润恰好能达到元？ 四、解答题：本题共3小题，每题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 跳水运动员从米跳台起跳，身体离水面的高度（米）与起跳后的时间（秒）近似满足（），图象如图所示． （1）求抛物线的顶点坐标，并根据顶点坐标写出运动员离水面最大高度及此时离起跳的时间； （2）当为何值时（），运动员离水面的高度恰好等于跳台的高度？ 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 21. 综合与实践． 罗定某学校数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系； 汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）汽车从刹车后经过多长时间停下来，行驶到最远的距离是多少？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题12分，共24分． 22. 定义：设x1、x2是方程()的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． （1）方程 “和谐方程”．(填“是”或“不是”) （2）若方程是“和谐方程”，求的值． （3）若方程(，)为“和谐方程”，直接写出满足的数量关系． 23. 如图①，直线与抛物线交于点，点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值； （3）如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时．若抛物线的顶点在内（包括边界）并与直线有一个交点，请写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $