精品解析：广东省云浮市罗定市2025-2026学年九年级上学期期中试卷数学试题

罗定市2025—2026学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学学科试题 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案答在试卷上无效． 2.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题级号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义．将已知根代入方程中，即可得到一个关于未知系数的方程，进而求解得出系数的值．这是利用方程根的定义求解参数的基本方法． 将已知根代入方程，求出m的值． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴将代入方程可得： ， 解得 故选：D． 3. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线在平面直角坐标系中平移的规律：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：∵将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后得到的抛物线的解析式为：； 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解答此题的关键． 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程； 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：因式分解得：， 所以或， 所以，， 故选：D． 5. 二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴， 故选：B． 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 7. 如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到．若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 8. 若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数开口向下，对称轴为，比较点A和点B与对称轴的距离，距离越大函数值越小，进一步可求解. 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∵点和点在图象上， 点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为， ∴点A距离对称轴更远， ∵开口向下， ∴函数值随距离增大而减小， ∴. 故选：A 9. 下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及探索图形规律．根据题意和角平分线的性质，即可得到B点的坐标，根据旋转的规律即可得到旋转后B的坐标，找到规律，即可求解．找到旋转的规律是解题的关键． 【详解】∵射线是第一象限的角平分线，， ∴设点，则， ∴，（不合题意舍去） ∴， 由题意得：第一次旋转后点对应点的坐标为， 第二次旋转后点对应点的坐标为， 第三次旋转后点对应点的坐标为， 第四次旋转后点对应点的坐标为， 第五次旋转后点对应点的坐标为， 第六次旋转后点对应点的坐标为， 第七次旋转后点对应点的坐标为， 第八次旋转后点对应点的坐标为， ∴第八次旋转后与原来点B重合， ∴每8次一个循环， ， ∴第次旋转结束后，点对应点的坐标与第一次的坐标相同为． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内的中心对称，关于原点中心对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 根据关于原点成中心对称的特点求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 13. 如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于的不等式的解集是________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于、， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x的取值范围． 14. 二次函数的最小值为1，则__________. 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的最值问题，利用二次函数的顶点公式求出最小值对应的x值，再代入函数表达式，根据最小值为1列出方程求解m． 【详解】解：二次函数的顶点横坐标为 ， 当时，函数取得最小值， 代入得 ， 由题意，最小值为1，即 ， 解得 ． 故答案为：10． 15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作于H，由旋转的性质可得，则可求出，再根据图形面积之间的关系可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】∵， ∴， 则， 即， ∴， ∴， 即，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择恰当的方法是解题的关键． 17. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）根据图像写出当时，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标； （2）观察抛物线与轴交点的位置，即可确定不等式的解集． 【小问1详解】 解：代入，得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由图像得，当或时，， ∴当时，的取值范围为或． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕点逆时针旋转后得到的． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图和中心对称作图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先画出三角形各顶点关于原点的对称点，然后顺次连接即可； （2）先画出，绕点逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】（1） （2） 解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； 【小问2详解】 略 20. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得， ， ， 是差积方程． （1）方程是“差积方程”吗？请说明理由； （2）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 【答案】（1） 解：不是，理由如下： 解方程得：， ， ， 方程不是“差积方程”． （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解方程的方法． （1）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义进行判断即可； （2）设的另一个根为，根据“差积方程”的定义列式求出，代入方程，求出的值即可解答问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的另一个根为， 是“差积方程”， ， 即或，解得， 将和分别代入中， 得 解得 ． 21. 某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒），列式，去括号合并同类项，即； （2）根据总利润等于单件利润乘上销量，列式，运用二次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）， ∴， ． 【小问2详解】 解：设每盒售价定为x（元）时，超市销售该糕点的日均毛利润为W（元）， 则： 即， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 答：当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知：如图，抛物线与轴交于点，． （1）试确定该抛物线的函数表达式； （2）观察图象，当时，y的取值范围为________； （3）已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． 【小问3详解】 解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 23. 综合与探究． 【问题情境】如图，将正方形的 边绕 点A 逆时针旋转到的位置（旋转角为，），连接，作的平分线，与射线相交于点P，与直线交下点F． 【特例分析]（1）如图1，当点 E 恰好落在正方形的对角线上时，旋转角为 ， 的度数为 °． 【深入探究】（2）如图2． ①判断的度数是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． ②求证：． 【答案】（1），； （2）的度数为定值， 证明：连接，， 由得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（）由四边形是正方形，得，，由旋转性质可知，，故有，然后根据外角性质即可求解； （）同（）理，通过三角形的外角性质即可求解； 连接，，证明，则有，，最后通过勾股定理得出，，然后代入即可求证； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵当点 E 恰好落在正方形的对角线上时 ∴由旋转性质可知：，， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）的度数为定值，，过程如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗定市2025—2026学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学学科试题 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案答在试卷上无效． 2.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题级号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到．若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 10. 如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为_______． 12. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 13. 如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于的不等式的解集是________． 14. 二次函数的最小值为1，则__________. 15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： 17. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）根据图像写出当时，求的取值范围． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕点逆时针旋转后得到的． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 20. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得， ， ， 是差积方程． （1）方程是“差积方程”吗？请说明理由； （2）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 21. 某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知：如图，抛物线与轴交于点，． （1）试确定该抛物线的函数表达式； （2）观察图象，当时，y的取值范围为________； （3）已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 23. 综合与探究． 【问题情境】如图，将正方形的 边绕 点A 逆时针旋转到的位置（旋转角为，），连接，作的平分线，与射线相交于点P，与直线交下点F． 【特例分析]（1）如图1，当点 E 恰好落在正方形的对角线上时，旋转角为 ， 的度数为 °． 【深入探究】（2）如图2． ①判断的度数是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $