函数的奇偶性期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的奇偶性 （7 类题型清单 · 学生版） 人教A版 · 必修第一册 · 函数专题 一、知识清单 （一）奇偶性的定义 设函数 的定义域为 。若对任意 都有 ，且 ，则 是偶函数；若都有 ，则 是奇函数。 定义的第一句“”就是定义域关于原点对称，这是判断奇偶性的前提，不能跳过。定义域不对称（如 、）时，函数直接是非奇非偶函数，不必再代 。 （二）图像特征与两个推论 1. 偶函数的图像关于 轴对称，奇函数的图像关于原点中心对称；反之，图像具有上述对称性的函数必为偶函数或奇函数。 2. 若奇函数在 处有定义，则由 得 。 3. 反过来， 只是奇函数的必要条件，不能作为判定依据，例如 满足 却是偶函数。 （三）奇偶性的运算性质 在公共的、关于原点对称的定义域上：奇 奇为奇，偶 偶为偶，奇 偶一般非奇非偶；奇 奇为偶，偶 偶为偶，奇 偶为奇；商的情形与积一致，但要求分母不为零。 （四）复合函数的奇偶性 设 。若内层 是偶函数，则复合函数是偶函数；若内层是奇函数，则复合函数的奇偶性与外层 相同（外层奇则整体奇，外层偶则整体偶）。 （五）奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。这条性质是“比较大小”与“解不等式”两类型题的总开关。 由此得到偶函数的核心技巧：。凡偶函数的不等式 ，都可化为 ，从而只在 上比较，避开分类讨论。 （六）三个常用模型 常见奇函数：，，，，。常见偶函数：，，，。既是奇函数又是偶函数的只有 （定义域关于原点对称）。 （七）四条高频易错 第一，跳过定义域检查，直接代 判断，遇到定义域不对称的题照样算下去。 第二，把 当成奇函数的充要条件，用它反推奇偶性。 第三，判断分段函数的奇偶性时只检验一段，忘了另一段要用 代入并换到已知段的解析式。 第四，用奇偶性解抽象不等式时只列单调条件，漏掉两个自变量都要落在定义域内。 二、七大核心考点 考点1　判断函数的奇偶性 核心要点：先求定义域并确认其关于原点对称，再计算 并与 、 比对；含根式、分式时先化简再判断。 【典例1】 判断 的奇偶性。 【典例2】 判断 的奇偶性。 【变式1】 判断 ， 的奇偶性。 【变式2】 判断 的奇偶性。 考点2　分段函数的奇偶性 核心要点：判断时两段都要检验，且每一段都要用“”或“”跨段比对；已知奇偶性求另一段解析式时，把 代入已知段再取相反数（或用 ）。 【典例1】 已知 是奇函数，求 时的解析式。 【典例2】 判断 的奇偶性。 【变式1】 已知奇函数 ，补全 的解析式。 【变式2】 已知偶函数 ，求 时的解析式。 考点3　由奇偶性求参数 核心要点：把 化成关于 的恒等式，令对应系数相等解参数；对数型常用“真数互为倒数”处理，分式型常用“分子分母交叉相等”。 【典例1】 若 是奇函数，求实数 。 【典例2】 若 为偶函数，求 。 【变式1】 函数 是奇函数，求 。 【变式2】 若 是奇函数，求 。 考点4　奇偶性与单调性结合比较大小 核心要点：先用奇偶性把自变量统一到同一个单调区间（偶函数取绝对值，奇函数取相反数），再用单调性比较函数值。 【典例1】 已知 是偶函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 【典例2】 已知 是奇函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 【变式1】 已知 是偶函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 【变式2】 已知 是奇函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 考点5　利用奇偶性解函数不等式 核心要点：先化为 ，再用偶函数的 或奇函数的 脱去函数符号，最后补上定义域条件。 【典例1】 已知 是偶函数，且在 上单调递减，解不等式 。 【典例2】 已知 是奇函数，定义域为 ，在定义域上单调递增，且 ，求 的取值范围。 【变式1】 已知 是偶函数，且在 上单调递增，解不等式 。 【变式2】 已知 是奇函数，定义在 上且单调递减，，求 的取值范围。 考点6　利用奇偶性求函数值 核心要点： 与 一正一负时，用 把未知一侧转化为已知一侧；若已知式只在一侧给出，先代入 。 【典例1】 已知 是 上的奇函数，且 ，求 与 。 【典例2】 已知 是偶函数，当 时 ，求 。 【变式1】 已知 是奇函数，当 时 ，求 。 【变式2】 已知 是偶函数，当 时 ，求 。 考点7　奇偶性与周期性综合 核心要点：由 可推出周期 ；由 可推出周期 ；先算周期，再把大自变量“降”到一个周期内，最后用奇偶性把负值翻正。 【典例1】 已知 是奇函数，且 ，，求 。 【典例2】 已知 是偶函数，且 ，当 时 ，求 。 【变式1】 已知 是奇函数，且 ，，求 。 【变式2】 已知 是偶函数，周期为 ，当 时 ，求 。 三、强化训练 【强化训练1】 判断 的奇偶性。 【强化训练2】 已知奇函数 ，求 的值。 【强化训练3】 已知 是偶函数，在 上单调递减，解不等式 。 【强化训练4】 已知 是 上的奇函数，当 时 ，求 时的解析式。 【强化训练5】 已知 是奇函数，求 的值。 【强化训练6】 已知奇函数 的定义域为 ，在 上单调递减，比较 、、 的大小。 【强化训练7】 已知 是奇函数，且 ，，求 。 【强化训练8】 已知 是偶函数，当 时 ，解不等式 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的奇偶性 （7 类题型清单 · 教师版） 人教A版 · 必修第一册 · 函数专题 一、知识清单 （一）奇偶性的定义 设函数 的定义域为 。若对任意 都有 ，且 ，则 是偶函数；若都有 ，则 是奇函数。 定义的第一句“”就是定义域关于原点对称，这是判断奇偶性的前提，不能跳过。定义域不对称（如 、）时，函数直接是非奇非偶函数，不必再代 。 （二）图像特征与两个推论 1. 偶函数的图像关于 轴对称，奇函数的图像关于原点中心对称；反之，图像具有上述对称性的函数必为偶函数或奇函数。 2. 若奇函数在 处有定义，则由 得 。 3. 反过来， 只是奇函数的必要条件，不能作为判定依据，例如 满足 却是偶函数。 （三）奇偶性的运算性质 在公共的、关于原点对称的定义域上：奇 奇为奇，偶 偶为偶，奇 偶一般非奇非偶；奇 奇为偶，偶 偶为偶，奇 偶为奇；商的情形与积一致，但要求分母不为零。 （四）复合函数的奇偶性 设 。若内层 是偶函数，则复合函数是偶函数；若内层是奇函数，则复合函数的奇偶性与外层 相同（外层奇则整体奇，外层偶则整体偶）。 （五）奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。这条性质是“比较大小”与“解不等式”两类型题的总开关。 由此得到偶函数的核心技巧：。凡偶函数的不等式 ，都可化为 ，从而只在 上比较，避开分类讨论。 （六）三个常用模型 常见奇函数：，，，，。常见偶函数：，，，。既是奇函数又是偶函数的只有 （定义域关于原点对称）。 （七）四条高频易错 第一，跳过定义域检查，直接代 判断，遇到定义域不对称的题照样算下去。 第二，把 当成奇函数的充要条件，用它反推奇偶性。 第三，判断分段函数的奇偶性时只检验一段，忘了另一段要用 代入并换到已知段的解析式。 第四，用奇偶性解抽象不等式时只列单调条件，漏掉两个自变量都要落在定义域内。 二、七大核心考点 考点1　判断函数的奇偶性 核心要点：先求定义域并确认其关于原点对称，再计算 并与 、 比对；含根式、分式时先化简再判断。 【典例1】 判断 的奇偶性。 解：由 得 ；由 得 且 。 所以定义域为 ，关于原点对称。 在定义域内 ，故 ，。 ，所以 是奇函数。 点拨：这类题若不先化简绝对值，直接算 会陷入 与 的比较；定义域内 这一信息正是去掉绝对值的钥匙。 【典例2】 判断 的奇偶性。 解：因为 ，所以真数恒为正，定义域为 ，关于原点对称。 。因为 ，所以 。 故 。 所以 是奇函数。 点拨： 互为倒数（有理化后乘积为 1），是这类对数型奇函数的固定套路。 【变式1】 判断 ， 的奇偶性。 解：定义域 关于原点对称； 。 所以 是偶函数。 点拨： 与 都是偶函数，其和仍是偶函数；写定义域只是为了把“关于原点对称”这一步交代清楚。 【变式2】 判断 的奇偶性。 解：分母 恒成立，定义域为 ，关于原点对称。 。 所以 是奇函数。 点拨： 出现时，分子分母同乘 化为同底，是化简的固定动作。 考点2　分段函数的奇偶性 核心要点：判断时两段都要检验，且每一段都要用“”或“”跨段比对；已知奇偶性求另一段解析式时，把 代入已知段再取相反数（或用 ）。 【典例1】 已知 是奇函数，求 时的解析式。 解：设 ，则 ，代入已知段得 。 由奇函数得 。 所以 时 。 点拨：关键是“ 落在哪一段”。 时 ，恰好可用已知段；求出 后必须取相反数才得到 。 【典例2】 判断 的奇偶性。 解：定义域为 ，关于原点对称。当 时 ，，而 ，故 成立。 当 时同理成立。但 时 ，而奇函数在原点有定义时必须满足 ，故奇性被破坏。 又 时 与 不相等，故也不是偶函数。 所以 是非奇非偶函数。 点拨：两段表达式看起来“对称”，但 这一段的取值让 ，奇函数条件在原点断裂；若改为 并补充 ，才是奇函数。 【变式1】 已知奇函数 ，补全 的解析式。 解：设 ，则 ，。 由奇函数得 。 所以 时 。 点拨：把 换成 是避免符号混乱的通用写法，写完后把 换回 即可。 【变式2】 已知偶函数 ，求 时的解析式。 解：设 ，则 ，。 由偶函数得 。 所以 时 。 点拨：奇函数取相反数，偶函数直接相等，两者的差别就在这一步，写错方向会导致整题错误。 考点3　由奇偶性求参数 核心要点：把 化成关于 的恒等式，令对应系数相等解参数；对数型常用“真数互为倒数”处理，分式型常用“分子分母交叉相等”。 【典例1】 若 是奇函数，求实数 。 解：定义域为 ，关于原点对称。由奇性得 ，即 。 两边分子分母同乘 ：。 所以 对一切 成立，比较系数得 （同时常数项也吻合）。 当 时 ，可验证 成立。所以 。 点拨：检验一步不能省。求出 后代回原式核对定义域是否对称、恒等式是否成立，可避免“增根”。 【典例2】 若 为偶函数，求 。 解：定义域为 ，关于原点对称。由 得 。 即 对一切 成立，故 。 所以 。 点拨：偶函数的展开式里不能出现奇次项，这是“偶函数只含偶次项”的直接应用。 【变式1】 函数 是奇函数，求 。 解：定义域需 且 ；由奇性要求定义域关于原点对称，先求 。 由 得 。 展开：，即 对一切 成立。 故 且 ，得 。 当 时 ，定义域 关于原点对称，且 。所以 。 点拨：两个条件要同时成立——系数恒等式给 ，常数项给 ，只取其一就会出错。 【变式2】 若 是奇函数，求 。 解：展开得 ，定义域为 。 由 得 ，即 对一切 成立。 故 。 点拨： 是奇次项、 是偶次项，奇函数中不能混入偶次项，参数只能为 0。 考点4　奇偶性与单调性结合比较大小 核心要点：先用奇偶性把自变量统一到同一个单调区间（偶函数取绝对值，奇函数取相反数），再用单调性比较函数值。 【典例1】 已知 是偶函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 解：由偶函数得 ，三个自变量都化到 上。 因为 ，且 在该区间递增，所以 。 即 。 点拨：偶函数的作用就是把 换成 ；不换就只能在负半轴“猜”单调性，容易出错。 【典例2】 已知 是奇函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 解：由奇函数得 ，。 在 上递增，故 ，取相反数反转不等号得 。 所以 ，且 不必然，需比较 与 ：由 得 。 因此 。 点拨：奇函数在负半轴的单调性与正半轴相同， 时 ；而负半轴的值与正半轴的值比较，靠“取相反数 + 反转不等号”完成。 【变式1】 已知 是偶函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 解：偶函数在 上递增，则在 上递减。 由偶性 ，三个自变量化为 、、，全部在 上。 因为 且递减，所以 ，即 。 点拨：已知负半轴单调性时，先判断正半轴单调性（偶函数反向），否则比较方向会整体搞反。 【变式2】 已知 是奇函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 解：，故 。 由 在 上递增得 。 点拨：定义域为 时无需分段，单调性直接跨越原点使用；另外可顺带利用 。 考点5　利用奇偶性解函数不等式 核心要点：先化为 ，再用偶函数的 或奇函数的 脱去函数符号，最后补上定义域条件。 【典例1】 已知 是偶函数，且在 上单调递减，解不等式 。 解：由偶函数与正半轴递减，得 等价于 。 解得 或 。 所以解集为 。 点拨：偶函数 + 正半轴递减 ⇒ 自变量离原点越远函数值越小，所以“ 小”对应“绝对值大”，不等号方向不要写反。 【典例2】 已知 是奇函数，定义域为 ，在定义域上单调递增，且 ，求 的取值范围。 解：移项得 。 由递增得 ，即 。 由定义域得 （即 ）且 ，合并为 。 取交集得 。 所以 的取值范围是 。 点拨：两个自变量含同一个参数时，定义域条件要分别列、分别解，漏掉任何一个都会把解集放大。 【变式1】 已知 是偶函数，且在 上单调递增，解不等式 。 解：由偶性 ，故原不等式等价于 。 解得 。 所以解集为 。 点拨：等号保留，所以用 ；若题目改为“”，端点要改为开区间。 【变式2】 已知 是奇函数，定义在 上且单调递减，，求 的取值范围。 解：移项得 。 由递减得 ，即 。 由定义域得 （即 ）且 （即 ）。 取交集得 。 所以 的取值范围是 。 点拨：递减函数脱符号后不等号要反转，这是本题与上一个变式的唯一区别，务必标出。 考点6　利用奇偶性求函数值 核心要点： 与 一正一负时，用 把未知一侧转化为已知一侧；若已知式只在一侧给出，先代入 。 【典例1】 已知 是 上的奇函数，且 ，求 与 。 解：由奇函数得 。 又 在 处有定义且为奇函数，故 。 所以 ，。 点拨：奇函数在原点有定义则必为 0，这一条常被当作“送分点”直接写出。 【典例2】 已知 是偶函数，当 时 ，求 。 解：由偶函数得 。 因为 ，代入已知段：。 所以 。 点拨：求负值先“翻正”，不要试图在负半轴直接算，因为题目只给了正半轴表达式。 【变式1】 已知 是奇函数，当 时 ，求 。 解：，由奇函数得 。 所以 。 点拨：先算正值再取相反数，顺序颠倒容易漏负号。 【变式2】 已知 是偶函数，当 时 ，求 。 解：由偶函数得 ，而 ，故 。 所以 。 点拨： 的条件包含 ，所以 也可直接用已知式，不必另外处理。 考点7　奇偶性与周期性综合 核心要点：由 可推出周期 ；由 可推出周期 ；先算周期，再把大自变量“降”到一个周期内，最后用奇偶性把负值翻正。 【典例1】 已知 是奇函数，且 ，，求 。 解：由 得 ，故 是以 为周期的函数。 又 ，所以 。 在 中令 得 ，而 为奇函数且 ，故 ，于是 。 所以 。 点拨： 的周期是 而不是 ；求 时用 代入原式最省力。 【典例2】 已知 是偶函数，且 ，当 时 ，求 。 解：由 得 ，故周期为 。 于是 。 因为 ，所以 。 故 。 点拨： 不在给定区间内，必须先减周期把它拉回来；若落到负值，再用偶性翻正。 【变式1】 已知 是奇函数，且 ，，求 。 解：，故周期为 。 ，所以 。 所以 。 点拨：整除余 3 就落到 ；此类题只考“取余 + 用已知值”，不要被大数字吓住。 【变式2】 已知 是偶函数，周期为 ，当 时 ，求 。 解：由偶函数得 。 由周期 得 。 再用偶性得 。 所以 。 点拨：本题需要“周期 + 偶性”反复用两次，先翻正再移周期、或先移周期再翻正都可以，但要保证最后落在 内。 三、强化训练 【强化训练1】 判断 的奇偶性。 解：定义域为 ，关于原点对称。 。 所以 是偶函数。 【强化训练2】 已知奇函数 ，求 的值。 解：设 ，则 ，。 由奇函数得 ，与 时的 比较系数，得 。 所以 。 【强化训练3】 已知 是偶函数，在 上单调递减，解不等式 。 解：由偶性与正半轴递减，原不等式等价于 。 即 ，解得 。 所以解集为 。 【强化训练4】 已知 是 上的奇函数，当 时 ，求 时的解析式。 解：设 ，则 ，。 由奇函数得 。 所以 时 （与正半轴表达式相同）。 【强化训练5】 已知 是奇函数，求 的值。 解：由 得 ，即 ，故 。 当 时真数为 ，定义域不含对称性且 ，不符；故 。 所以 。 【强化训练6】 已知奇函数 的定义域为 ，在 上单调递减，比较 、、 的大小。 解：奇函数在 上也递减，故 在 上递减（分段点处 衔接）。 因为 ，所以 。 即 。 【强化训练7】 已知 是奇函数，且 ，，求 。 解：，周期为 ；，故 与 同余。 所以 （奇函数在原点有定义）。 所以 。 【强化训练8】 已知 是偶函数，当 时 ，解不等式 。 解： 时 即 ，解得 （舍去 ）。 所以 ，且偶函数在 上 时函数值大于 3。 由偶性得 ，等价于 。 解得 或 ，解集为 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $