期中复习专题12 函数的应用讲义【知识清单+12大考点+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题12 函数的应用 知识点1：函数零点的概念 1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点． 【注意】函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点2：函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 【注意】1．①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)·f (b)<0．这两个条件缺一不可． 2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0成立．如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号． 知识点3：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【注意】用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点0，但不能用二分法求解． 知识点4：用二分法求函数零点的近似 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)<0． 2．求区间(a，b)的中点c． 3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f (a)f (c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f (c)f (b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c． 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【注意】 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 考点一 求函数的零点 考点二 判断函数零点所在区间 考点三 函数零点个数 考点四 已知零点个数求参数的取值范围 考点五 根据零点的分布求参数范围 考点六 比较零点的大小关系 考点七 求零点的和的取值范围 考点八 用二分法求函数的零点的近似值 考点九 确定零点（根）所在区间 考点十 一次、二次函数模型 考点十一 指对幂函数模型 考点十二 拟合函数模型的应用题 考点一 求函数的零点 1．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）函数的零点为_______________. 【答案】 【分析】根据零点的定义求解一元二次方程即可． 【详解】令，即，解得． 2．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据零点定义求解即可. 【详解】令，所以，所以，所以， 故选：B 3．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的零点为（   ） A．5 B．5或 C． D． 【答案】A 【分析】由方程求解零点. 【详解】由， 得，所以， 解得， 所以的零点为， 故选：A. 4．（2026高二上·河南·学业考试）已知是函数的零点，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】分类解方程即可. 【详解】若，则由，得，不符合题意，故舍去； 若，则由，得（正值舍去）， 故. 故选：A 考点二 判断函数零点所在区间 5．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）若函数的零点所在区间为,,则的值为__________________. 【答案】1 【分析】先判断函数的单调性，再由零点存在性定理，结合判断零点区间，从而确定的值. 【详解】因为为上的增函数，也是上的增函数, 所以也为上的增函数. 又,, 所以的零点所在区间为, 所以. 6．（25-26高一上·广西百色·期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数在上单调递增， 因为，，且在上连续不间断， 由零点存在定理可得在上存在零点. 7．（25-26高一上·云南大理·期末）已知函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在定理可得在区间内有零点,再根据函数和的图象可知，当时无零点即可得解. 【详解】令，则，， 根据零点存在定理， 得在区间内有零点, 借助函数和的图象可知，当时，无零点， 所以函数的零点所在的区间选项中只有.    故选：A. 8．（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在定理，分析计算，即可得答案. 【详解】因为函数和均为单调递增函数， 所以函数为单调递增函数， 又，， 所以， 所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为． 故选：B 考点三 函数零点个数 9．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为（      ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】将函数零点问题转化为方程 的解的个数问题，对分段函数分定义域分别解方程，再统计所有有效解的总数. 【详解】函数的零点，等价于方程的解的个数， 当时，，令，解得，因为，满足条件； 当时，，令 ，去绝对值得两种情况： ，显然，满足条件； ，显然，满足条件； 综上，方程 共有个解，即函数零点个数为3. 10．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，令，得到，解得或（舍）， 当时，，令，得到，即，解得， 所以函数的零点个数为个. 11．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 12．（2026高一上·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 【答案】7 【分析】画出时函数的图象，数形结合即可求出方程解的个数. 【详解】 如图，我们先绘制出时函数的图象，因为当时，， 故将时的函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩小为原来的，即可得到时函数图象， 再利用前述规则即可画出整个的函数图象（三条虚直线方程依次是，和）． 方程的解为或，由图可知的解有3个． 因为是奇函数，由对称性可知方程的解的个数与的解的个数相等，显然此方程有4个解． 综上，方程的所有实根个数为7． 考点四 已知零点个数求参数的取值范围 13．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值为（   ） A． B．3 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据，和分别讨论不等式的解的情况，进而确定实数a的最大值. 【详解】根据题意作出的图象，如下图所示： 由得：， 当时， ，不等式无解； 当时，由得：， 若不等式恰有个整数解，则整数解为， 又，，所以； 当时，， 当时，不等式无整数解， 当时，不等式至少有两个整数解； 综上，实数的最大值为. 14．（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）已知函数，若函数存在个零点，则整数的值为______. 【答案】 【分析】将零点问题转化为与两条水平线的交点计数问题，结合分段函数的图像与取值特征列不等式即可求解. 【详解】已知函数，且函数存在个零点， 令，整理得或， 原问题等价于的图象与水平线、的交点总个数为. 当时，，对任意，方程恒有个不等实根； 当时，； 当时，方程有个实根；当时，方程无实根； 要使总交点数为，需满足一条水平线对应个交点（当时，有个根、有个根）， 另一条水平线对应个交点（当时，有个根、有个根），如图所示， 所以且，即，解得，因此整数的值为. 15．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 【答案】B 【分析】分段处理函数，把方程转化为直线与图像交点问题，分别统计与两段的交点数量，相加等于，得到． 【详解】作出的图象如图所示， 根据上图可知和的图象有个交点，即满足条件． 16．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出分段函数图像，换元，统计在不同取值时解的个数；原方程要有个根，等价于关于的二次方程存在两个不等实根，两根都落在区间，利用二次函数根的分布列出不等式组求解参数范围． 【详解】作出函数的大致图象， 令．当或时，方程有个根； 当或时，方程有个根； 当时，方程有个根． 原方程可化为， 要使原方程有个根，关于的方程必须有两个不同的根，且两个根都属于， 令， 因为二次项系数为正，所以需满足，解得， 所以的取值范围为． 考点五 根据零点的分布求参数范围 17．（2026·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式画出函数大致图象，数形结合有且，结合解析式有、、，最后由指数函数、对勾函数性质求目标式的范围. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A 18．（2026年普通高等学校招生全国统一考试数学最后一卷（七））已知函数，若有个零点、、，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】分析可知有个非负实根，方程有个不相等的负实根，可求出的取值范围，再由零点的定义得出，其中，构造函数，，求出其值域，即可得出的取值范围. 【详解】若函数有个零点，则当时，因为函数在上单调递增， 则方程有个非负实根，因为，所以； 当时，方程有个不相等的负实根， 所以，，解得， 综上，的取值范围为. 依题意有，则，， 令，， 因为函数、在上均为增函数， 所以在上单调递增，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 19．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，或三种情况，列不等式求的取值范围. 【详解】当时，，其图象与x轴的交点为，满足题意． 当时，分，两种情形，考虑到, 由题意得， 或，解得或． 综上可知，或或，即． 20．（2026·广东中山·模拟预测）已知函数若关于的方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数有意义的条件求出，然后分和进行讨论，再利用数学结合的思想，列出不等式组进行求解即可． 【详解】因为对任意恒成立，所以． 当时，在上单调递减，且当时，，要使得关于的方程恰有两个不同的根，则函数的图象与直线恰有两个交点，如图，      所以，，解得． 当时，，，不满足方程有两个根，故舍去， 故选：B． 考点六 比较零点的大小关系 21．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    22．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图像交点的横坐标，最后通过比较函数图像交点的位置来确定、、的大小关系. 【详解】设，由此， 分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像， 分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为， 由图可知. 故选：A. 23．（25-26高一上·广东·阶段检测）设分别为函数的零点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于，可直接求出零点；对于和的零点，可以转化为函数的交点的横坐标，画图可知道范围，最后比较，，的大小. 【详解】对于，令，即，解得，所以. 对于，令，即，变形为. 零点b可以看作，的交点的横坐标， 对于，令，即，变形为. 零点c可以看作，的交点的横坐标， 画出草图如下，可以知道. 故选：B. 24．（25-26高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据零点存在性定理可判定的零点所在范围；对通分，应用一元二次方程可求解；将的零点转化为两个函数图像交点的横坐标，画简图可求，从而得出结果. 【详解】由函数在上为增函数，又， 则存在唯一零点，即； 令，则，解得或，则； 令，可得函数的零点即为与的交点的横坐标，画简图如图： 可得（负值舍去），则．综上，． 故选：B 考点七 求零点的和的取值范围 25．（25-26高一上·全国·期中）若是的零点，是的零点，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】解法1：根据函数零点，可得①，②，整理①可得，令，代入可得，与②对比，可得，即，可求. 解法2：由题意得，，令，则，，利用与的图象关于直线对称，即可求解. 【详解】解法1： 根据题意，可得①，②， 所以，，即， 令，代入上式得， 所以，即， 而在上为增函数， 故与②式比较得，于是，即. 故选：C． 解法2： 令，化简得， 令，化简得， 令，则，， 故为的解，为方程的解， 由于与的图象关于直线对称，故，所以． 故选：C． 26．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得，，和，方程的解，进而得到答案. 【详解】当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得， 如图所示，所以方程只有两个根，分别为和，所以两根之和为 故选：A.    27．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数若，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，结合对数的运算性质、二次函数的对称性进行求解即可. 【详解】函数的图象如下图所示： 二次函数，对称轴为， 设， 因为，由图， 显然， ， 所以， 故选：C 28．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数，函数满足，若函数恰有2026个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数、的性质，确定函数的对称中心，再利用此性质求得答案. 【详解】由，得函数的定义域为R， 又，即函数是奇函数， 函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2026个零点， 得函数有一个零点为，其余零点关于对称， 所以所有零点之和为. 故选：A 考点八 用二分法求函数的零点的近似值 29．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为________． 【答案】 【分析】根据二分法逐进行求解即可. 【详解】因为，所以在内函数必有零点， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 而， 所以方程的一个近似根精确到为， 故答案为：. 30．（2026·江苏无锡·模拟预测）（多选）下列命题错误的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到 D．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，则1.375和1.4都是精确度为的近似零点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的性质即可求解A，根据全称命题的否定为特称命题即可求解B,根据二分法的性质即可求解CD. 【详解】对于A, 当时，函数，故图象是两条射线，A错误， 对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误， 对于C，开区间的长度等于1，每经过一次操作长度变为原来的一半， 则经过次操作之后，区间的长度变为，故由，得，所以， 即至少经过4次二分后精确度达到0.1，故C正确； 对于D，由于，所以的任何一个值均为精确度为的近似零点，故D错误， 故选：ABD 31．（25-26高一上·浙江温州·期末）（多选）设是单调递增函数，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案． 【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 32．（25-26高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为______（精确到0.1） 【答案】 【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间， 结合题设要求，可得方程的一个近似解为. 故答案为：. 考点九 确定零点（根）所在区间 33．（25-26高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间内的零点，若要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由二分法求解步骤即可求解. 【详解】区间的长度等于1，经过次操作后，区间长度变为，所以，解得， 所以所需二分区间的次数最少7次． 故选：C 34．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 35．（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 36．（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 考点十 一次、二次函数模型 37．（26-27高一上·西藏拉萨·期中）国庆假期期间，拉萨某景区文创店销售"藏装彩韵"系列冰箱贴.已知该冰箱贴进价为每件40元，售价为每件元（）.市场调研发现：售价每比40元高出1元，每天将少售出2件；当售价为40元时，每天可售出200件. (1)若要求每天利润不低于1800元，求售价的取值范围； (2)若售价，求每天利润的最大值，并写出此时的售价； (3)国庆期间，景区管委会要求文创店每天从利润中拿出元（）用于捐赠.若要求存在售价，使得捐赠后每天利润最大值仍不低于1000元，求的最大值. 【答案】(1) (2) 利润最大值为5000元，对应售价为90元 (3) 【分析】（1） 设每天利润为元，得出函数，再解不等式得到的取值范围； （2） 将利润函数整理为，结合二次函数值域取最大值； （3） 设捐赠后每天利润为，结合二次函数解得的最大值. 【详解】（1） 设每天利润为元，可得， 令，整理得， 解得， 故的取值范围为； （2）由（1）将利润函数整理为， 可得当时，每天利润取最大值5000元； （3）捐赠后每天利润为，要满足捐赠后利润的最大值不低于1000元， 需满足利润最大值减去捐赠额不低于1000， 由（2）可得：， 解得，即的最大值为4000. 38．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）皖星电子科技公司于2008年底已建成了太阳能电池生产线.自2009年1月份产品投产上市一年来，该公司的营销状况所反映出的每月获得的利润（万元）与月份之间的函数关系式为：. (1)2009年第几个月该公司的月利润最大？最大值是多少万元？ (2)若公司前个月的月平均利润（）达到最大时，公司下个月就应采取改变营销模式、拓宽销售渠道等措施，以保持盈利水平. 求（万元）与（月）之间的函数关系式，并指出这家公司在2009年的第几个月就应采取措施. 【答案】(1)在6月份取最大值，且万元. (2)，公司在第9月份就应采取措施. 【分析】（1）利用一次函数的单调性，分别求出每一段上函数的最大值，再比较大小即可得出解答； （2）根据题意先求出平均利润的函数表达式，再利用一次函数的单调性及基本不等式，求出每一段上函数的最大值，进行大小比较即可得出解答. 【详解】（1）因为一次函数（，）单调递增， 所以当时，（万元）； 又一次函数（，）单调递减， 所以当时，（万元）， 因为，所以在6月份取最大值，且万元； （2）由题意知，当，时，； 当，时，， 所以. 当时，一次函数单调递增，所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时取最大值40， 又因为，所以当时，达到最大，因此公司在第9月份就应采取措施. 39．（2027·江西·模拟预测）为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A，B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元．现准备投入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足；生产的B芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足．对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投入4亿元时，毛利润为2亿元．现在企业计划投入30亿元生产A，B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B芯片的毛利润-研发投入资金．若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为（    ） A．12亿元 B．15亿元 C．18亿元 D．23.75亿元 【答案】D 【分析】根据芯片投入资金与毛利润的对应关系求解的函数解析式，再设投入芯片的资金为亿元，建立纯利润关于的函数表达式，通过换元法转化为二次函数求最值，即可得到对应投入芯片的资金额. 【详解】∵ 生产芯片的毛利润与投入资金满足， 且投入亿元时毛利润为亿元，投入4亿元时，毛利润为2亿元. ∴ 代入可得，解得，即. 设投入芯片的资金为亿元，其中，则投入芯片的资金为亿元. 由纯利润的定义得，. 令，，则，. 代入的表达式得：. 该二次函数开口向下，对称轴为，在的取值范围内. ∴ 当时，取得最大值，此时，. 即投入芯片的资金为23.75亿元时，企业获得的纯利润最大. 40．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两侧墙的长度均为米（）． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】(1)米时报价最低，最低为元； (2) 【分析】（1）把各项造价用表示，用基本不等式求最小值并检验等号条件； （2）转化为不等式恒成立，分离参数后求函数最小值． 【详解】（1）因为左右两侧墙长均为米，底面积为平方米，所以前后墙长为米． 前面墙的面积为，造价为（元）； 左右两面墙的面积和为，造价为（元）． 设甲工程队的总报价为元，则，． 因为， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当米时总报价最低，最低为元． （2）由题意，对任意都有， 两边同乘得，即． 令，则， 当且仅当（即）时取等号，所以，即，又， 故的取值范围是． 考点十一 指对幂函数模型 41．（25-26高一上·辽宁·期中）2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为，其中为单级火箭的最大理想速度（单位：），为发动机的喷射速度（单位：），、分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量（单位：kg），二者的比值称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但受火箭可能的结构所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，则最大理想速度为：，故D正确. 42．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒，代入解得，再根据量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，代入求解即可. 【详解】因为当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒， 所以，即，解得. 当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒， 则，解得. 43．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：①奖励金额（单位：万元）随着销售额（单位：万元）的增加而增加，且增长速度越来越慢；②销售额为8万元时，奖励金额为1万元，销售额为64万元时，奖励金额为4万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到6万元的奖励，则他的销售额应为_________万元． 【答案】256 【详解】由指对幂函数增长速度可知，应该选取，代入点， ，解得，所以，解得. 44．（26-27高三上·湖南·阶段检测）某菌种数量（单位：个）随时间（单位：小时）的变化满足指数增长模型，若，则的最小值为________小时． 【答案】 【分析】直接根据函数解析式及条件得不等式，并通过取对数法解指数不等式可得. 【详解】因为，且，得， 即，两边取自然对数得，解得． 因此的最小值为. 考点十二 拟合函数模型的应用题 45．（25-26高一上·广东汕头·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： (1)当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)选择模型，其解析式为 (2)在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为，最少为 【分析】（1）根据特值代入验证和函数的单调性，结合表格即可判断； （2）根据国道路段和高速路段所用时间列式，利用函数单调性分别求出最小值再相加即得. 【详解】（1）对于,因不合题意，舍去； 对于为递减函数，这与表格中不符，舍去； 故选择. 根据提供的数据，有解得 所以当时，. （2）国道路段长为50km，所用时间为， 所耗电量为， 因为，当时，； 高速路段长为100km，所用时间为， 所耗电量为 下证函数在单调递减. 任取，且， , ,故, 即,,故在单调递减, ，此时，, 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 46．（25-26高一上·陕西渭南·期末）2026年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【答案】(1) (2)模型②最符合题意， (3)在第8天最低，最低为5000元 【分析】（1）由题意分别求出舰艇模型第天的销售单价和销售量，根据销售收入列出方程，求解可得的值； （2）根据销售量的增长速度可知函数模型②更适合，选取和代入模型②，求出函数解析式，并利用和检验，确定函数解析式； （3）利用（1）和（2）的结果，列出销售收入对应的函数解析式，并利用基本不等式求得其最小值. 【详解】（1）由题意得，舰艇模型第天的销售单价； 第天的销售量，依题意，解得. （2）模型②最符合题意，理由如下： 因为每增长10，需要的天数越来越多，可知不是匀速增长，而是增长速度越来越慢，故排除模型①，选择模型②. 将，分别代入函数模型②，可得，解得. 所以， 经验证，，均满足该函数解析式. 故函数解析式为. （3）由（1）知，由（2）知， 则 . 当且仅当，即时，等号成立. 所以日销售收入在第8天最低，最低收入为5000元. 47．（25-26高一上·重庆·期中）2026年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2026世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.5亿元：生产型该设备的毛收入(亿元)与投入的资金(亿元)的函数关系为，其图象如图所示. (1)试分别求出生产两种型号设备的毛收入(亿元)与投入资金(亿元)的函数关系式： (2)现在公司准备投入20亿元资金同时生产两种型号，设投入亿元生产型号，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润=型毛收入+B型毛收入研发耗费资金) 【答案】(1)； (2)当时，利润最大，最大净利润为(亿元) 【分析】（1）直接由题意得芯片利润的解析式，将，代入，确定芯片利润的解析式； （2）先求出的表达式，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）设投入资金(亿元)，则生产芯片的毛收入， 将，代入，得，解得， 故生产芯片的毛收入； （2）由题意， 令，则， 则， 当时，， 即当时，利润最大，最大净利润为(亿元). 48．（25-26高一上·上海杨浦·期末）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元. (1)请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； (2)已知乙队给出的整体报价为元（），不考虑其他因素，若甲队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据题意即可得到函数解析式. （2）将不等式恒成立问题转化为函数值域问题，结合函数单调性求出最值即可. 【详解】（1）前面墙体长米（），则左右两面墙体长为米. 所以新建前面墙体的费用为：元，即百元. 新建左右两面墙体的费用为：元，即百元. 又屋顶和地面以及其他共计28800元，即288百元， 所以总费用（）. （2）乙队给出的整体报价为元，即百元（）. 甲队要确保竞标成功，需甲队报价小于乙队报价对任意恒成立， 即对任意恒成立. 化简得， 因为，所以， 整理得对任意恒成立. 设，则，. 又在上为增函数，所以， 则，即，又，所以. 故实数的取值范围为. 1．（26-27高三上·山东菏泽·阶段检测）设方程的两个根分别为：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出和的大致图象，根据图象确定交点位置，然后结合根的定义列出等式，最后利用单调性推导乘积范围. 【详解】作出和的大致图象，如图， 则，，， 此时，得， ，. 2．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定函数为偶函数，转化为只研究，分、两段，利用单调性与零点存在定理判断正半轴零点个数，再由对称性得到零点总数． 【详解】，的定义域为， ， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 分析，再对称到即可， 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，， 所以在上有唯一零点， 即在上有唯一零点， 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一零点， 即在上有唯一零点， 所以在上有个零点， 所以在上有个零点． 3．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）函数在上的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，函数在上单调递增，再结合，，可得函数在上有唯一零点，当时，恒成立，可得函数在上无零点. 【详解】，. 当时，与均单调递增，在上单调递增. 又，， 又，，， 在上有唯一零点； 当时，，，恒成立，即函数在上无零点， 有且仅有一个零点. 4．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知函数若关于的方程有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，利用直线与的图象有两个交点，由图确定的变化范围即可. 【详解】根据题意可得直线与的图象有两个交点，作出的图象，如图所示， 由得. 由，解得，此时． 因为，所以当直线经过点时，斜率为． 故由图可得k的取值范围是． 5．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】易知的定义域为， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以存在使得，即B正确. 6．（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 7．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）某疾控中心采用荧光定量法检测流感核酸，在扩增的指数期，靶标数量与扩增次数满足：，其中为初始数量，为扩增效率．已知某标本扩增12次后，数量变为原来的200倍；若要使数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（     ）（参考数据：） A．30次 B．31次 C．32次 D．33次 【答案】C 【分析】由已知条件求出的近似值，再代入，根据对数的运算法则求解即可. 【详解】由题意可得当时，， 所以， 即， 所以， 即， 当时， 则有， 即， 所以， 所以. 8．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示，    若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 9．（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的值域为 B．关于的方程有3个实数根 C．当时，关于的方程有4个实数根 D．若函数，则对于，都有 【答案】ABD 【分析】先分析函数的定义域、值域等基本性质，通过换元法处理含的方程根的个数问题，结合函数单调性判断选项D即可. 【详解】函数的定义域为，为偶函数，令且，则. 对选项A： ∵ . ∴ 当时，，故. 当时，，故. ∴ 的值域为，A正确. 对选项B： 令，方程转化为. 解得（舍去），即，故或. ∵ 时，，共个解. 时，，共个解. ∴ 方程共有个实根，B正确. 对选项C： 令，方程转化为，判别式. 当时，，方程有两个不等实根，由韦达定理得，. 若，则方程根为或，时无解，对应3个实根，总解数为3，不符合“4个实根”的结论，故C错误. 对选项D： 当时，，显然在上单调递减. ∵ 时，，且，即. ∴ ，即，D正确. 【点睛】方法归纳：本题考查含绝对值的分式函数性质，处理复合方程问题常用换元法将复杂方程转化为二次方程求解，结合函数值域判断解的个数；单调性比较函数值大小需先判断自变量大小关系. 10．（25-26高二下·广西南宁·期末）（多选）设函数 则下列说法正确的是（     ） A．方程的解集为 B．的单调递增区间是 C．若方程有个不等实根，则实数的取值范围是 D．若 则 【答案】ABD 【分析】根据分段函数直接求方程的解集判断A，分析函数单调性判断B，作函数图象判断C，根据图象及函数性质判断D. 【详解】当时，由可得，解得或， 当时，由可得，解得， 综上，方程的解集为，故A正确； 当时，，在上单调递增； 在上单调递减，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以的单调递增区间是，故B正确； 作函数，的图象，如图， 由图象知，方程有个不等实根，则实数的取值范围是，故C错误； 当时，由图象可知，， 且，所以，故，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26高一上·全国·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数有两个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】AD 【分析】A记，根据零点存在性定理判断；B根据零点的定义判断；C根据图象的交点判断；D由零点存在性定理可判断. 【详解】对A，记，易知都在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以，A正确； 对B，解，得或， 所以函数的零点是或，B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，C错误； 对D，因，则由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，D正确. 故选：AD 12．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】若或. 当时，由； 当时，由. 若，此时方程有两个不相等的根. 当这两个根只有1个在区间内时，； 当这两个根都在区间时，，结合，可得. 综上可得，的取值范围是. 13．（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】根据函数的性质确定的取值范围，再结合二次方程根的分布条件求解的取值范围. 【详解】令，则等价于二次方程， 函数有个不同零点，等价于方程有个不同实根， 当时，，是开口向下的抛物线， 最大值为，且： 时，在 上有2个根， 时，在 上有2个根， 时，在 上有1个根， 当时，，不妨将在轴下方的部分翻折到轴上方， 时，恒有2个根，综上： 若，则，共个根， 若，则共 个根， 要得到个不同的，需要二次方程两个根 都落在区间内， 此时每个对应个，总个数为，设， 要让两个根都在上，需满足：判别式， ，，， 取交集得 . 14．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_______，记函数的三个不同零点分别为，且.则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】将函数有三个不同的零点转化为与有三个交点的问题，分析的单调性以及最值，即可判断的取值范围；根据交点得到，利用指数与对数的互化，得到，令，构造函数，，根据此函数的单调性，即可求得所求范围. 【详解】由题知，函数有三个不同的零点， 等价于与有三个交点， 当时，单调递增， 且时，，， 所以时，， 当时，递减，， 当时，递增，， 当时，， 所以当时，与有三个交点， 其中时，有一个交点，时，有两个交点， 即函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为. 由，且， 所以，， 所以， 所以， 令，因为，所以， 构造函数，， 则在上单调递增， 又， 所以， 所以. 15．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，． (1)若为奇函数，求a的值； (2)若有两个不同的零点和，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的定义可得，解得，再代入检验确实是奇函数即可； （2）由可得，令，则方程有两个不等正根，据此列出不等式即可求解； 【详解】（1）设函数定义域为， 由题意得， 即， 即， 即， 故. （2）由得， 令，则方程化为， 因此有两个不同的零点和等价于上述方程有两个不等正根， 故，解得， 所以的取值范围是． 16．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）2026年6月5日是第55个世界环境日，也是习总书记提出“绿水青山就是金山银山”重要理念二十一周年.我国规定空气污染指数在51～100时为良好；某钢铁工厂每一天气体排放污染指数与时刻（时）的函数关系为，其中为气体治理调节参数，且； (1)若，求一天中哪个时刻气体污染指数最低； (2)若某天下午15时的气体排放污染指数大于100，求15时气体治理调节参数的取值范围； (3)规定每天中的最大值作为当天的气体污染指数，要使该厂每天的气体污染指数不超过，则气体治理调节参数应控制在什么范围内？ 【答案】(1)一天中早上8时该厂的气体污染指数最低； (2) (3) 【分析】（1）当时最小进行求解； （2）由分段函数求解不等式； （3）由不等式恒成立求解． 【详解】（1）因为，则， 显然当时最小， 得，即； 所以一天中早上8时该厂的气体污染指数最低； （2）当时，， 易知时，所以当时，即， 则，又， 所以污染指数大于100时； （3）设，则当时，则； 设， 即， 显然在上是减函数，在上是增函数， 则，因为， 则有 ，解得，又， 故气体治理调节参数应控制在 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数的应用 知识点1：函数零点的概念 1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点． 【注意】函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点2：函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 【注意】1．①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)·f (b)<0．这两个条件缺一不可． 2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0成立．如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号． 知识点3：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【注意】用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点0，但不能用二分法求解． 知识点4：用二分法求函数零点的近似 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)<0． 2．求区间(a，b)的中点c． 3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f (a)f (c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f (c)f (b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c． 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【注意】 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 考点一 求函数的零点 考点二 判断函数零点所在区间 考点三 函数零点个数 考点四 已知零点个数求参数的取值范围 考点五 根据零点的分布求参数范围 考点六 比较零点的大小关系 考点七 求零点的和的取值范围 考点八 用二分法求函数的零点的近似值 考点九 确定零点（根）所在区间 考点十 一次、二次函数模型 考点十一 指对幂函数模型 考点十二 拟合函数模型的应用题 考点一 求函数的零点 1．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）函数的零点为_______________. 2．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D．2 3．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的零点为（   ） A．5 B．5或 C． D． 4．（2026高二上·河南·学业考试）已知是函数的零点，则（    ） A． B． C．0 D．3 考点二 判断函数零点所在区间 5．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）若函数的零点所在区间为,,则的值为__________________. 6．（25-26高一上·广西百色·期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·云南大理·期末）已知函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 考点三 函数零点个数 9．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为（      ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（2026高一上·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 考点四 已知零点个数求参数的取值范围 13．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值为（   ） A． B．3 C．8 D．9 14．（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）已知函数，若函数存在个零点，则整数的值为______. 15．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 16．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 考点五 根据零点的分布求参数范围 17．（2026·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（2026年普通高等学校招生全国统一考试数学最后一卷（七））已知函数，若有个零点、、，则的取值范围为______. 19．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·广东中山·模拟预测）已知函数若关于的方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六 比较零点的大小关系 21．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·广东·阶段检测）设分别为函数的零点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 考点七 求零点的和的取值范围 25．（25-26高一上·全国·期中）若是的零点，是的零点，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．4 26．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数若，且，则（　　） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数，函数满足，若函数恰有2026个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 考点八 用二分法求函数的零点的近似值 29．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为________． 30．（2026·江苏无锡·模拟预测）（多选）下列命题错误的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到 D．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，则1.375和1.4都是精确度为的近似零点 31．（25-26高一上·浙江温州·期末）（多选）设是单调递增函数，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为______（精确到0.1） 考点九 确定零点（根）所在区间 33．（25-26高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间内的零点，若要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 34．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 考点十 一次、二次函数模型 37．（26-27高一上·西藏拉萨·期中）国庆假期期间，拉萨某景区文创店销售"藏装彩韵"系列冰箱贴.已知该冰箱贴进价为每件40元，售价为每件元（）.市场调研发现：售价每比40元高出1元，每天将少售出2件；当售价为40元时，每天可售出200件. (1)若要求每天利润不低于1800元，求售价的取值范围； (2)若售价，求每天利润的最大值，并写出此时的售价； (3)国庆期间，景区管委会要求文创店每天从利润中拿出元（）用于捐赠.若要求存在售价，使得捐赠后每天利润最大值仍不低于1000元，求的最大值. 38．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）皖星电子科技公司于2008年底已建成了太阳能电池生产线.自2009年1月份产品投产上市一年来，该公司的营销状况所反映出的每月获得的利润（万元）与月份之间的函数关系式为：. (1)2009年第几个月该公司的月利润最大？最大值是多少万元？ (2)若公司前个月的月平均利润（）达到最大时，公司下个月就应采取改变营销模式、拓宽销售渠道等措施，以保持盈利水平. 求（万元）与（月）之间的函数关系式，并指出这家公司在2009年的第几个月就应采取措施. 39．（2027·江西·模拟预测）为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A，B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元．现准备投入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足；生产的B芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足．对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投入4亿元时，毛利润为2亿元．现在企业计划投入30亿元生产A，B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B芯片的毛利润-研发投入资金．若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为（    ） A．12亿元 B．15亿元 C．18亿元 D．23.75亿元 40．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两侧墙的长度均为米（）． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 考点十一 指对幂函数模型 41．（25-26高一上·辽宁·期中）2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为，其中为单级火箭的最大理想速度（单位：），为发动机的喷射速度（单位：），、分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量（单位：kg），二者的比值称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但受火箭可能的结构所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 42．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，则（     ） A． B． C． D． 43．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：①奖励金额（单位：万元）随着销售额（单位：万元）的增加而增加，且增长速度越来越慢；②销售额为8万元时，奖励金额为1万元，销售额为64万元时，奖励金额为4万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到6万元的奖励，则他的销售额应为_________万元． 44．（26-27高三上·湖南·阶段检测）某菌种数量（单位：个）随时间（单位：小时）的变化满足指数增长模型，若，则的最小值为________小时． 考点十二 拟合函数模型的应用题 45．（25-26高一上·广东汕头·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： (1)当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 46．（25-26高一上·陕西渭南·期末）2026年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 47．（25-26高一上·重庆·期中）2026年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2026世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.5亿元：生产型该设备的毛收入(亿元)与投入的资金(亿元)的函数关系为，其图象如图所示. (1)试分别求出生产两种型号设备的毛收入(亿元)与投入资金(亿元)的函数关系式： (2)现在公司准备投入20亿元资金同时生产两种型号，设投入亿元生产型号，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润=型毛收入+B型毛收入研发耗费资金) 48．（25-26高一上·上海杨浦·期末）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元. (1)请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； (2)已知乙队给出的整体报价为元（），不考虑其他因素，若甲队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 1．（26-27高三上·山东菏泽·阶段检测）设方程的两个根分别为：，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）函数在上的零点个数为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知函数若关于的方程有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）某疾控中心采用荧光定量法检测流感核酸，在扩增的指数期，靶标数量与扩增次数满足：，其中为初始数量，为扩增效率．已知某标本扩增12次后，数量变为原来的200倍；若要使数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（     ）（参考数据：） A．30次 B．31次 C．32次 D．33次 8．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的值域为 B．关于的方程有3个实数根 C．当时，关于的方程有4个实数根 D．若函数，则对于，都有 10．（25-26高二下·广西南宁·期末）（多选）设函数 则下列说法正确的是（     ） A．方程的解集为 B．的单调递增区间是 C．若方程有个不等实根，则实数的取值范围是 D．若 则 11．（25-26高一上·全国·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数有两个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 12．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 13．（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 14．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_______，记函数的三个不同零点分别为，且.则的取值范围为__________. 15．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，． (1)若为奇函数，求a的值； (2)若有两个不同的零点和，求a的取值范围． 16．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）2026年6月5日是第55个世界环境日，也是习总书记提出“绿水青山就是金山银山”重要理念二十一周年.我国规定空气污染指数在51～100时为良好；某钢铁工厂每一天气体排放污染指数与时刻（时）的函数关系为，其中为气体治理调节参数，且； (1)若，求一天中哪个时刻气体污染指数最低； (2)若某天下午15时的气体排放污染指数大于100，求15时气体治理调节参数的取值范围； (3)规定每天中的最大值作为当天的气体污染指数，要使该厂每天的气体污染指数不超过，则气体治理调节参数应控制在什么范围内？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $