练案23 第三章 3.2.2 第2课时奇偶性的应用-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

练案[22] 1.D由函数奇偶性定义可知，A,B,C项为奇函数，D项为偶 函数. 2.C.f(x)为R上的奇函数，.f(0)=0,得a=1. 3.Bf-）1(-x)=f(x)f(x)为偶函数，其图象的对称 f代x) 轴为y轴. 4.B.·F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),又x∈(-a,a)关于原点对 称，∴.F(x)是偶函数 5.A因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0,又因为f(2)+ f(0)=1,所以f(2)=4-?=1,解得a=6,所以f(x)=2x (0所以-)=f3)=-(6）=-4 6CD函数f(x)=是偶函数，但与y轴不相交，所以A不正 确；函数(x)是奇函数，但图象不过原点，所以B不正 确：由奇偶性的定义知C、D正确. 7.{x|-5≤x<-2或2<x≤5}因为偶函数的图象关于y轴对 称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集.因为当x ∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{xI2<x≤5}，所以当x∈ [-5,0]时f(x)<0的解集为xl-5≤x<-2.所以f(x)<0的解 集是xI-5≤x<-2或2<x≤5}： 8.[-3,-1)U(1,3]因为当0<x≤3时，函数单调递增，由图 象可知1<f(x)≤3，由于函数f(x)是奇函数，所以当-3≤x<0 时，-3≤f(x)<-1. 9.(1)函数f(x)的定义域为[0，+∞)， 不关于原点对称，所以f(x)=√x是非奇非偶函数 (2)f(x)的定义域为[-1,0)U(0,1],关于原点对称 f(-x)=x2 =-f(x),所以f(x)为奇函数 -x (3)f(x)的定义域为(-0,0)U(0,+0),关于原点对称， 当x>0时，-x<0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x): 当x<0时，-x>0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x), 所以f(x)是偶函数 10.(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x)) 关于原点的对称点为P(x,-f(-x)), 图③为图①补充后的图象，易知f(3)=-2. -3-2-110123 ③ ④ (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x)) 关于y轴的对称点为P'(xf(-x),图④为图②补充后的图 象，易知f(1)>f(3). 11.C已知f(x)是奇函数，且f代-1)=2，∴.f1)=f(-1)=-2,不 等式-2≤f(x-1)≤2转化为f1)≤f代x-1)≤f代-1)，：f(x)在 R上单调递减，∴.-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2，即x∈[0,2]， 故C正确.故选C. 12.B若x是有理数，则-x也是有理数，f(-x)=f(x)=1;若x 是无理数，则-x也是无理数，f(-x)=f(x)=0..函数f(x) 是偶函数， 13.BDA选项，若f(x)=x(x2-4),则f(-2)=0,f(2)=0,故 f(-2)=f(2),又f(x)的定义域为R,关于原点对称，且 f(-x)=-x[(-x)2-4]=-x(x2-4)=f(x),所以f(x)为奇函 3 数，故A错误：B选项，依据偶函数的定义知，若f(x)为偶函 数，则f(-x)=f(x),则可知满足f(2)≠f(-2)的函数必然不 是偶函数，故B正确：C选项，若f(x)=x2,则f(2)=4,f(1) =1,故f(2)>f(1),但函数f(x)=x2在(-∞，0)上单调递减， 在(0，+0)上单调递增，故C错误；D选项，因为2>1，f(2)> f(1),所以f(x)不是R上的减函数，故D正确. 14.0因为奇函数的图象关于原点对称，所以a-4+2a-2=0,所 以a=2,因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=0,即b+2=0. 故b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0. 15专根据题意)1产面6从到六是奇 函数，.f(a)=1+h(a)= 3…h(a)=- 3,故f(-a）)=1+ w)=1-6(=1-(号）-号 16.(1)证明：由已知f(x+y)=f(x)+f(y), 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x), 令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x), 故f(x)是奇函数 (2)由(1)知f(x)为奇函数 所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a. 又f(12)=f(6)+f(6)=2f3)+2f(3)=4f(3), 所以f(12)=-4a. 练案[23] 1.B由已知可得g(-2)=f(-2)=f(2)=-(22-2×2)=0. 2.A因为函数为偶函数，所以a+2=0,a=-2,即函数f(x)= -2x+1,所以函数f(x)在(-∞，0]上单调递增. 3.Af(x)为奇函数，.f(x)在[1,3]上的单调性与在[-3， -1]上一致，∴.f(x)在区间[1,3]上单调递增，又f(x)在区间 [-3,-1]上有最大值5，∴f(x)在区间[1,3]上有最小值-5. 4.B由f(2)>f(-2)→f(2)>-f(2)→f(2)>0,不能判断f(x)在 [0,+∞)上单调递增.当f(x)在[0，+∞)上单调递增时，可得 f2)>f0)=0=f(2)>0=2f(2)>0→f(2)+f2)>0→f(2)- f-2)>0=f2)>f(-2),因此“f2)>f(-2)”是“f(x)在[0， +∞)上单调递增”的必要不充分条件.故选B. 5B方法-：当0时)=+=（宁）广子所以 有最小值号，因为f()是奇函数，所以当>0时()有最 1 大值4 方法二：（直接法）设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).又 1121 f(-)=f(x),所以f(x)=x(1-)=-+r=-（x2）+4, 所以当>0时，f(x)有最大值4 6.AC根据偶函数在[0,7]上的图象及 其对称性，作出函数在[-7,0]上的图 象，如图所示，可知这个函数有三个单 调递增区间，有三个单调递减区间，在7 3.5 其定义域内有最大值7，在其定义域内 的最小值不是-7. 7.f(-2)<f(1)<f(0)f(x)是偶函数，∴.f(-x)=f(x)恒成 立，即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立，∴.m=0, 即f(x)=-x+2.:f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在 [0,+∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0),即f(-2)<f(1)< f(0). 5 8.√x+1f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=√+1，∴.当x<0 时，-x>0,f(x)=f(-x)=√x+1,即当x<0时，f(x)=x +1. 9..f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数 由f(1-x)+f(1-2x)<0, 得f(1-x)<f(1-2x),即f(1-x)<f(2x-1). 又·f(x)在(-1,1)上是减函数 -1<1-x<1, .2 -1<2-1<1,解得0<x<3 1-x>2x-1, ·原不等式的解集为x0<x<兮} .21 10.F(x)在(-0,0)上单调递减. 证明如下：任取x,2∈(-0,0)，且x1<2, 则有-x1>-x2>0. 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(x)<0, 所以f(-x2)<f(-x)<0, ① 又因为f(x)是奇函数， 所以f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x), ② 由①②得f(x2)>f(x1)>0. 于是F(x)-F(6)=f)f() ff6)>0, 即F(x)>F(x2), 所以F(x= 在(-∞，0)上单调递减 f(x) 11.D方法一：令g(x)=ax3+bx(ab≠0)，则g(x)是奇函数，从 而f(-2023)=g(-2023)+1=-g(2023)+1.又因为 f(2023)=k,所以g(2023)=k-1,从而f(-2023)= -(k-1)+1=2-k. 方法二：因为f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2,所以 f(-2023)+f(2023)=2.又因为f(2023)=k,所以 f(-2023)=2-k. 12.A因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f代-x),而 F(x)=f(x)-x2,可得F(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2 F(x),则F(x)是定义在R上的偶函数，由题意得F(x)在 [0,+∞)上单调递增，因为f(2)=0,所以F(2)=-4,而f(t+ 2)≤t2+4t可化为f(t+2)-(t+2)2≤t2+4t-(t+2)2,化简得 f(t+2)-(t+2)≤-4，即F(t+2)≤F(2),得到It+21≤2，解 得t∈[-4,0]，故A正确.故选A. 13.D由题图可知函数为偶函数，而函数f(x)=1-x和函数 x)=x为奇函数，故排除选项A,B:又当xe(0,1)时1 ->0,2-1<0,此时x)=1 2一○文x)三0，市可 当xe(0,1)时f(x)<0,故C不符合，D符合.故选D. 14.(-1,3)f(x)为偶函数，∴f(x-1)=f(1x-11),又f(2)= 0,f(x-1)>0,∴.f(1x-11)>f(2)..1x-11,2∈[0，+∞)，且 f(x)在[0，+0)上单调递减，.Ix-11<2,即-2<x-1<2,x 的取值范围为(-1,3) 15.Df(x+8)=f(x),∴f(25)=f(17)=f(9)=f(1),同理 f(80)=f(0),又：奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增， .f(x)在区间[-2,2]上单调递增，f(-1)<f(0)<f(1),即 f(-1)<f(80)<f(25). 16.任取x1,2,且-3≤x1<x2≤3，则x2-x1>0f(x2-x1)<0, :f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1), ∴f（x2）f(x)=f(x2-x1)<0,即f(x2)<f(x1), ∴.f(x)在[-3,3]上单调递减. 又f(1)=-2,f(2)=f(1)+f(1)=-4, 3 ∴.f(3)=f(1)+f(2)=-2-4=-6,又f(x)是定义在R上的奇 函数， .f(-3)=-f(3)=6,又f(x)在[-3,3]上单调递减， .函数f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6]. 练案[24] ,m=l.m+n=3. 1c由题意，得4-0.{ 2.D因为f(x)是幂函数，所以m2-2m+1=1,解得m=0或2， 当m=0时f(x)=x在(0，+∞)上为减函数，不符合题意，当 m=2时f(x)=x在(0，+∞)上为增函数，符合题意，所以m =2.故选D. 3.C函数f(x)=x(k∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以 C中函数图象不是函数y=f(x)的图象.故选C. 4C幂函数)=的图象经过点(2，)，则=2，解 得a=-1.故f(x)=x.所以函数在(0，+∞)和(-∞，0)内都 单调递减，函数为奇函数，且函数的图象经过(1,1)点，函数 的定义域为(-∞，0)U(0,+∞). 5D待值法取=代人排除A.B.C,可知D正确故选D 6.D函数y=x在区间(0，+0)内单调递增，故排除A;函数y= x在区间(0，+∞)内单调递增，故排除B;函数y=x在区间 (0,+0)内单调递增，故排除C:函数y=x'=1在区间(0， +∞)内单调递减，故D满足题意. 7.-3由题意得m2+3m+1=1,∴.m2+3m=0,∴.m=0或m=-3. 当m=0时()==是，其图象不过原点，m=-3 8.(-∞，0)因为0<4.1<4.3，而4.1“>4.3“，所以y=x在 (0,+∞)上单调递减，故a<0. )因为幂函数y=0在[0，+∞)上是单调递增的，又二> 所以()（） (2)因为幂函数y=在(-”，0)上是单调递减的.又-子 3 所以（子）>() 10.因为-2<m<2,且m∈Z,所以m=-1或0或1. 因为对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数 当m=-1时，f(x)=x2只满足条件①而不满足条件②： 当m=1时，f(x)=x°，条件①②都不满足. 当m=0时，f(x)=x3,条件①②都满足，f代x)=x3, 因为函数代x)在区间[0,3]上单调递增， 所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27] 1BGDa依次取值时，y==y=,y=宁-派，y=r,显 然除α=-1外，其他函数的定义域都是R且都为奇函数. 12.ACD将点(4,2)代人函数f(x) 2,所以 x,f》B2,r2) =x“得：2=4“，则a= A f(x)=x2.显然f(x)在定义域[0， 0+2为 2 +∞)上单调递增，所以A正确： f(x)的定义域为[0，+o),所以f(x)不具有奇偶性，所以B 错误：当x>1时，√x>1,即f(x)>1,所以C正确；当0<x1<x2 76练案[23]第三章 3.23.2.2[第2课时 奇偶性的应用] A组·基础巩固 A.这个函数有三个单调递增区间 B.这个函数有两个单调递减区间 「g(x),x<0, 1.设函数f(x)= 若f(x)是奇函数， x2-2x,x>0, C.这个函数在其定义域内有最大值7 则g(-2)等于 D.这个函数在其定义域内有最小值-7 ( A.-1 7.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则 B.0 C.1 D.2 2.若函数f(x)=ax2+(a+2)x+1是偶函数，则函 f(0),f(1),f(-2)从小到大的排列是 数f(x)的单调递增区间为 A.（-0,0] B.[0,+∞) 8.函数f(x)在R上为偶函数，且当x>0时，f(x) C.(-0,+0） D.[1,+∞) =√+1，则当x<0时f(x)= 3.如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增9.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，且 且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上 f(x)在(-1,1)上是减函数，解不等式f(1-x) +f(1-2x)<0. A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，则“f(2)> f(-2)”是“f(x)在[0，+∞)上单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若奇函数f(x)在(-0,0)上的解析式为f(x) =x(1+x),则f(x)在(0，+∞)上有 A最大值4 B最大怕子 c最小值号 n最小俏 6.（多选)一个偶函数定义在区间[-7,7]上，它 在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的 是 y —235 10.已知函数f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上单14.已知偶函数f(x)在[0，+0)上单调递减， 调递增，且f(x)<0,试间F(x)F 1 f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围 在 是 (-∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你 C组·拓展提升 的结论 15.已知定义在R上的奇函数满足f(x+8)= f(x),且在区间[0,2]上单调递增，则() A.f(25)<f(-1)<f(80) B.f(25)<f(80)<f(-1) C.f(-1)<f(25)<f(80) D.f(-1)<f(80)<f(25) 16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足下 面两个条件：①对于任意的x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y);②当x>0时，f(x)<0, 且f(1)=-2.试求函数f(x)在[-3,3]上的 值域 B组·综合运用 11.已知函数f(x)=ax3+bx+1(ab≠0)，若 f(2023)=k,则f(-2023)等于 A. B.-k C.1-h D.2-k 12.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)= 0,函数F(x)=f(x)-x2在[0，+∞)上单调递 增，则满足f(t+2)≤t2+4t的实数t的取值范 围为 A.[-4,0] B.[-2,2] C.[2,+∞) D.(-0,4] 13.（2025·天津卷)已知 函数y=f(x)的图象如 图，则f(x)的解析式可 能为 () A)-i B=1同 Cf(a)=lal 1-x D.f(x)=Ixl x2-1 236