第三章 圆锥曲线的方程 单元卷 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 单元试卷 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．抛物线的准线方程是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程直接可得解. 【详解】由已知抛物线，即， 则准线方程为， 解得， 故选：D. 2．已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（    ） A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是 B．当时，曲线表示一条直线 C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 D．存在，使得曲线为等轴双曲线 【答案】C 【分析】根据直线、椭圆以及双曲线方程的特征逐项分析判断. 【详解】对于选项A：曲线表示双曲线时，则，解得或， 所以的取值范围是，故A错误； 对于选项B：当时，则，解得， 所以曲线表示两条直线，故B错误； 对于选项C：当时，则， 即，可得， 曲线：表示焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于选项D：若曲线为等轴双曲线，且方程可整理为， 可得，则，无解， 所以不存在，使得曲线为等轴双曲线，故D错误； 故选：C. 3．若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆定义和余弦定理求出，再根据面积公式求出答案. 【详解】因为椭圆方程为，，. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有： ，. 因为，在中使用余弦定理有：. . 即，. . 故选：B 4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线焦点坐标，得双曲线的一个焦点，然后可得双曲线的标准方程，进而即得． 【详解】因为抛物线的焦点为， 可得双曲线的一个焦点为， 所以，即， 所以双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近方程是. 故选：C. 5．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点.若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，分析可知，可得出，即可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围. 【详解】易知、，因为轴，则、关于轴对称，则， 将代入双曲线的方程，可得，则， 因为是锐角三角形，且，则为锐角，则， 所以，即，所以，， 因为，解得. 故选：C. 6．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将向量数量积转化为减去圆半径的平方，再结合椭圆上点到右焦点的距离范围计算取值范围 【详解】由椭圆，得，，，右焦点坐标为， 将圆的方程配方得，故圆心（即椭圆右焦点），半径， 由向量线性运算得，，又是圆直径端点，故， 因此： ， 根据椭圆的性质，椭圆上任意一点到焦点的距离满足， 即，平方得， 因此： . 7．已知圆：上的点到直线的距离为的点有且仅有个，直线为圆的切线，记，两点到直线的距离分别为，，动点满足，，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出圆的半径，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，由题推得，根据椭圆的定义即得轨迹方程． 【详解】设圆：的圆心到直线的距离为，则， 由于圆：上的点到直线的距离为的点有且仅有个， 故，即得，则圆：； 如图，分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， 因为，所以是的中点， 所以是梯形的中位线，所以． 则，即， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为 ， 则，所以， 所以动点的轨迹方程为． 8．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得，关系，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率． 【详解】解：设代入椭圆方程，则：， 离心率，可得， 整理得：， 又，， 所以， 故答案为：A． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档． 二、多选题 9．已知双曲线，则（    ） A．的离心率为 B．双曲线与有相同的渐近线 C．直线与相交的弦长为 D．的焦点到渐近线的距离为 【答案】BD 【分析】根据题意，化简双曲线的标准方程为，结合双曲线的几何性质，以及点到直线的距离公式，逐项判断，即可求解. 【详解】由双曲线，可得， 则，，可得，且渐近线方程为. 对于A，双曲线的离心率，所以A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，所以双曲线与有相同的渐近线，所以B正确； 对于C，将代入，解得，故直线与相交的弦长为5，所以C错误； 对于D，双曲线的焦点到渐近线的距离为，所以D正确. 故选：BD. 10．已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，经过点M且斜率为k的直线l与抛物线相交于两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．k的取值范围是 C．时，以为直径的圆经过点F D．若的面积为，则直线的倾斜角为或 【答案】ACD 【分析】依题意直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据根的判别式判断B，利用韦达定理判断A；由判断C；，求出，即可判断D； 【详解】依题意得，，， 直线的方程为， 联立得， 消去得， 因为直线与抛物线相交于，两点， 所以 解得且，故B选项错误； 因为，所以， 易知，同号，所以， 于是，故A选项正确； 由于，， 所以， 显然当时，， 此时为直角，即以为直径的圆经过点，故C选项正确； 的面积， 由，， 所以，令，得， 所以直线的倾斜角为或，故选项D正确， 故选：ACD． 11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为，，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．的取值范围为 C．若，则 D．若点的坐标为，则的最小值为2 【答案】ACD 【分析】代入数量积的运算公式求椭圆方程，即可判断A，根据椭圆焦半径的最值，判断B，根据椭圆的定义，结合余弦定理判断C，根据距离距离的转化，判断D. 【详解】A.设，，，， ，得，由可知，， 所以椭圆的方程为， A正确； B.的最大值为，最小值为， 所以的取值范围为，故B错误； C.因为， 由余弦定理可知，， ，所以，故C正确； D. 设点到点右准线的距离为，，则， 则，当垂直于准线时，此时最小， 最小值是点到的距离2，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．已知，抛物线的焦点为，是抛物线上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，再根据垂线段最短的几何性质求解最小值. 【详解】 对于抛物线，其标准形式为，对比得，即，因此焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， 设点到准线的垂线段为（为垂足），则，因此， 根据几何中垂线段最短的性质，当、、三点共线且垂直于准线时，取得最小值， 该最小值即为点到准线的距离, 已知，准线为，故点到准线的距离为，即的最小值为. 13．已知双曲线，渐近线方程为，双曲线过点，则双曲线与直线的交点坐标为______． 【答案】 ， 【分析】首先根据渐近线以及点求出双曲线方程，再令求出交点坐标即可. 【详解】已知双曲线，渐近线方程为，双曲线过点， 则，解得，因此双曲线方程为. 令，则，解得. 因此双曲线与直线的交点坐标为，. 14．直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用点差法求得中点的轨迹方程，再利用得到中点的横坐标，最后代回直线方程求离心率. 【详解】设，那么， 又，所以即， 因为，所以点在中垂线上，故， 又直线：经过椭圆的左焦点， 所以，又点M在直线：上， 所以，代入得 ，即， 则. 四、解答题 15．已知是抛物线的焦点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦半径公式求，即可求抛物线方程； （2）首先设直线，与抛物线方程联立，结合条件和韦达定理，即可求解直线方程. 【详解】（1）由条件可知，，得， 所以抛物线方程为； （2）设直线，，，， 联立，得， ，，① 由，可得，② 由①②可知，，或，， 所以或，得或， 即直线的方程为，即或，即. 16．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线. （1）求中点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线过点且与曲线交于、两点，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1) 设，则， ,根据点在圆上即可求出C的方程； (2)设直线方程，联立C的方程，根据韦达定理求出弦长AB，再由点到直线的距离得到三角形的高，代入面积公式即可求解. 【详解】（1）设，则，，∴，曲线. （2）因为斜率为的直线过点 所以直线， 联立得，. 设，，则，， ∴， ∴， 又点到的距离， ∴. 17．已知边长为的等边三角形的一个顶点与坐标原点重合，另外两个顶点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求证：． 【答案】(1) (2)过点的直线与交于，两点，则直线斜率不为0， 设直线的方程为，， 则，得，其中恒成立 所以， 则， 因为，， 所以，即得证. 【分析】（1）由题意可得在抛物线上，代入计算即可求解； （2）设直线的方程为，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合向量数量积坐标运算计算可得，即可得证. 【详解】（1）因为边长为的等边三角形的一个顶点位于原点， 另外两个顶点在抛物线上，并且该抛物线关于轴对称，又， 所以点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）略 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点． 【答案】(1) (2)证明:联立， 可得． 设，， 则，， 则，． 直线的方程为， 令，得， 直线的方程为， 令，得． 因为 ， 所以， 所以， 即是的中点． 【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求解方程组可得双曲线的标准方程； （2）联立方程得到一元二次方程，判别式，利用韦达定理，表达出直线方程，,求出，从而判断为中点. 【详解】（1）由题知 解得 所以双曲线的标准方程为． （2）略. 19．定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． (1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． (2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 【答案】(1) (2)①，； ②设点，，则， 两式相减得． 又，所以，所以， 即，线段PQ被直线l平分． 设点到直线的距离为d， 则四边形的面积． 由，，得． 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值． 由消去y得． 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件， 故直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离． 故.    【分析】（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可； （2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于. 【详解】（1）设中点B的坐标为， 对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义， 可知直线l的方程为，即l：． （2）①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或， 所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，． ②略 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点，，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的值，即可证明面积小于. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 单元试卷 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．抛物线的准线方程是，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（    ） A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是 B．当时，曲线表示一条直线 C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 D．存在，使得曲线为等轴双曲线 3．若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点.若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知圆：上的点到直线的距离为的点有且仅有个，直线为圆的切线，记，两点到直线的距离分别为，，动点满足，，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 8．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线，则（    ） A．的离心率为 B．双曲线与有相同的渐近线 C．直线与相交的弦长为 D．的焦点到渐近线的距离为 10．已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，经过点M且斜率为k的直线l与抛物线相交于两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．k的取值范围是 C．时，以为直径的圆经过点F D．若的面积为，则直线的倾斜角为或 11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为，，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．的取值范围为 C．若，则 D．若点的坐标为，则的最小值为2 三、填空题 12．已知，抛物线的焦点为，是抛物线上任意一点，则的最小值为________． 13．已知双曲线，渐近线方程为，双曲线过点，则双曲线与直线的交点坐标为______． 14．直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 四、解答题 15．已知是抛物线的焦点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的方程． 16．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线. （1）求中点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线过点且与曲线交于、两点，求的面积. 17．已知边长为的等边三角形的一个顶点与坐标原点重合，另外两个顶点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求证：． 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点． 19．定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． (1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． (2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $