精品解析：湖南湘潭市岳塘区2026-2027学年九年级上学期 期中考试数学卷

2026年下学期期中九年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先排除非整式方程，再依次根据未知数个数、最高次数排除错误选项． 【详解】解：含分式，不是整式方程，排除B； 含两个未知数，排除D； 未知数最高次数为1，排除A； 只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合要求． 2. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 3. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C．若添加，不能证明，故本选项符合题意； D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 4. 已知，，，则的周长与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴与的相似比为， ∴的周长与的周长之比为， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解答的关键． 5. 黄金分割是汉字结构最基本的规律，如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点恰好是线段的黄金分割点（），则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，由点恰好是线段的黄金分割点，，则，然后代入得，整理得，然后求解即可，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴，整理得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 6. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．根据以原点为位似中心，位似比为，点的对应点坐标可能同向或反向，进行计算即可． 【详解】解：以原点为位似中心，位似比为， 点的对应点的坐标为或， 即点的坐标为或． 故选：D． 7. 如图，在中，，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握和运用各三角函数的定义是解决本题的关键．首先利用勾股定理求得，再根据各三角函数的定义，即可一一判定． 【详解】解：在中，，，， ， ，，，， 故选：C． 8. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 9. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 10. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30° ∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°， ∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上， ∴与△AOB位似的三角形为△GOH， 设OA=x， 则OB=， ∴OC=， ∴OD=， … ∴OG=， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 12. 已知x＝1是方程x2－m＝0的解，则m＝________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据方程的解的意义，把x=1代入方程得到一个关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把x=1代入方程x2－m＝0得：1−m=0， 解得：m=1， 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，掌握一元二次方程的解，解一元一次方程是解题的关键. 13. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据常数项为0得到，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地形如，其中a、b、c是常数且的方程叫做一元二次方程，其中c叫做常数项． 14. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，作，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴根据格点可得，， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，， 故答案为： ． 15. 如图，在坡度的山坡上植树，要求斜坡上相邻两树间的坡面距离为米，则相邻两树间的水平距离为______________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度的定义可知铅直高度与水平宽度的比，设出未知数，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设米， 坡度， ，即米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， 米． 16. 定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是______（填序号） ①；②；③；④． （2）若方程是“自然方程”，n的值为______ 【答案】 ①. ②④ ②. 0或2 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法或直接开平方法解方程，然后计算每个方程的两根之差的绝对值，然后根据“自然方程”进行判断； （2）先利用因式分解法解方程得到，，则，然后解绝对值方程即可． 本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）①， ， ， 解得，， ∵， ∴方程不是“自然方程”； ②， ， 解得，， ∵， ∴方程是“自然方程”； ③ ， 解得，， ∵， ∴方程不是“自然方程”； ④， ， ， 解得，， ∵， ∴方程是“自然方程”； 故答案为：②④； （2）， ， 解得， ∵， ∴， 解得或． 故答案为：0或2． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 即； 【小问2详解】 解：， ， ， 所以，原方程无实数根． 19. 已知a、b、c是的三边，且满足，．试判断的形状，并说明理由． 【答案】 直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】根据已知条件，得出，，进而得到，再利用勾股定理逆定理，即可判断的形状． 【详解】略 【点睛】本题考查了比例的性质，勾股定理得逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 20. 在中，AB=6，BC=4，B为锐角且cosB. (1)求∠B的度数. (2)求的面积. (3)求tanC. 【答案】（1）60°；（2） ；（3） 【解析】 【分析】(1)直接利用三角函数值，即可求出∠B的度数；(2) 过A作AD⊥BC于D，根据cosB，可求出BD的值，利用勾股定理可求出AD的值，即可求得的面积；（3）利用正切概念即可求得tanC的值； 【详解】解： （1）∵B为锐角且cosB， ∴∠B=60°； （2）如图，过A作AD⊥BC于D， 在Rt中，cosB， ∵AB=6， ∴BD=3， ∴， ∴， (3)∵BD=3，BC=4， ∴CD=1， ∴在Rt中，tanC. 【点睛】本题考查了三角函数的定义及性质，掌握三角函数的性质是解题的关键. 21. 如图，在中，于D． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ，， ， ， 即． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，然后利用相似比可得到结论； （2）利用勾股定理计算出的长，由，得到，代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 即的长为． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）连接，求证：； （2）若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用两边对应成比例及其夹角相等证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 【实地测量】 （1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． （2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点处，她的眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． （3）利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：，）． 【答案】（1）旗杆的高度为米 （2）旗杆的高度为米 （3）旗杆的高度为米 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形．解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例找到边之间的关系． （1）首先根据、，可以证明，根据相似三角形对应边成比例可求旗杆的高度； （2）根据，，均垂直于地面，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，解方程可求的高度，加上小英的眼睛到地面的高度就是旗杆的高度； （3）利用、，可得，解方程求出的高度，用加上即可求出旗杆的高度． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ． 答：旗杆的高度为米； 【小问2详解】 解：，，均垂直于地面， ， ， ， ， ，，， ， 解得：， ， 答：旗杆的高度为米； 【小问3详解】 解：由题意可得，， 由题意得：，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：旗杆的高度为米． 24. 【初步尝试】 （1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ； 【思考说理】 （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②． 【解析】 【分析】（1）先根据折叠的性质可得，再根据平行线的判定可得，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出BM的长，最后根据线段的和差可得AM的长，由此即可得出答案； （3）①先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得BM、AM、CM的长，最后代入求解即可得； ②先根据折叠的性质、线段的和差求出，的长，设，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，然后根据x的取值范围即可得． 【详解】（1），理由如下： 由折叠的性质得： 是的中位线 点M是AB的中点 则 故答案为：； （2） 由折叠的性质得： ，即 在和中， ，即 解得 ； （3）①由折叠的性质得： ，即 在和中， ，即 解得 解得； ②如图，由折叠的性质可知，，， 点O是边的中点 设，则 点为线段上的一个动点 ，其中当点P与点重合时，；当点P与点O重合时， ，即 在和中， 则． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期期中九年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则的周长与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 5. 黄金分割是汉字结构最基本的规律，如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点恰好是线段的黄金分割点（），则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在中，，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 10. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则的值为___________． 12. 已知x＝1是方程x2－m＝0的解，则m＝________． 13. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____． 14. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______ 15. 如图，在坡度的山坡上植树，要求斜坡上相邻两树间的坡面距离为米，则相邻两树间的水平距离为______________米． 16. 定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是______（填序号） ①；②；③；④． （2）若方程是“自然方程”，n的值为______ 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：； 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知a、b、c是的三边，且满足，．试判断的形状，并说明理由． 20. 在中，AB=6，BC=4，B为锐角且cosB. (1)求∠B的度数. (2)求的面积. (3)求tanC. 21. 如图，在中，于D． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）连接，求证：； （2）若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 23. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 【实地测量】 （1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． （2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点处，她的眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． （3）利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：，）． 24. 【初步尝试】 （1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ； 【思考说理】 （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $