精品解析：湖南省湘潭市岳塘区2024-2025学年上学期九年级期中数学学科质量监测试卷

2024年下学期期中质量监测 九年级 数学 学科 试题卷 时量：120分钟 满分：120分 命题人：罗芳君 审核人： 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ） A. 1，5，1 B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1 4. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在反比例的图象上，则，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（ ） A. ，，； ，， B. ，，； ，， C. ，，； ，， D. ，，； ，， 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 8. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（ ） A. 1秒 B. 4秒 C. 6秒 D. 1秒或4秒 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是________米. 12. 已知△ABC与△DEF相似，它们的相似比为3：4，且△ABC的周长为12cm，则△DEF的周长为_____． 13. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 14. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为______． 15. 若是关于x的一元二次方程，则m的值是______． 16. 如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为___________． 17. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为______． 18. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 三、解答题（8小题，共66分） 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 如图，O为原点，B，C两点坐标分别为． （1）以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形； （2）已知为内部一点，写出M的对应点的坐标． 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点N． （1）求一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式中x的取值范围． 22. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； 23. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 24. 如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 25. 综合与探究 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围． （2）若，求m的值； （3）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 26. 如图，直线与轴，轴分别相交于两点，与双曲线相交于点P，轴于点，且，点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标； （3）点为轴上一点，当以点M，A，P为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期中质量监测 九年级 数学 学科 试题卷 时量：120分钟 满分：120分 命题人：罗芳君 审核人： 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 2. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的定义，正确掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项是正比例函数，故A选项是错误的； B选项满足反比例函数的定义，故B选项是正确的； C选项是正比例函数，故C选项是错误的； D选项为y是的反比例函数，而不是y是 x的反比例函数，故D选项是错误的； 故选：B． 3. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ） A. 1，5，1 B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，， 故选：C． 4. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．利用比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由可得，不合题意； B、由可得，不合题意； C、由可得，符合题意； D、由可得，不合题意； 故选：C． 5. 若点，，都在反比例的图象上，则，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据反比例函数的增减性比较反比例函数值的大小，对于反比例函数，当时，图象在一、三各象限里随的增大而减小，据此得出答案即可，熟练掌握根据反比例函数的增减性比较反比例函数值的大小是解题的关键． 【详解】解：∵点，，都在反比例的图象上， ∴图象在一、三各象限内，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 6. 已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（ ） A. ，，； ，， B. ，，； ，， C. ，，； ，， D. ，，； ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；   故选：A． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意得， ， 故选：C． 9. 如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确； B、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确； D、与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误． 故选：D． 10. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（ ） A. 1秒 B. 4秒 C. 6秒 D. 1秒或4秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴当的面积等于4时，经过了1秒， 故选：A． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是________米. 【答案】 【解析】 【分析】图上距离和比例尺已知,依据"实际距离-图上距离比例尺"即可求出A、 B 两地的实际距离． 【详解】解:∵比例尺为1：10000，A，两地的距离是3cm， 设A，B两地的实际距离为cm， ∴ ∴， ∵， ∴A，B两地的实际距离为300米． 故答案为:300． 【点睛】本题主要考查图上距离、际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算． 12. 已知△ABC与△DEF相似，它们的相似比为3：4，且△ABC的周长为12cm，则△DEF的周长为_____． 【答案】16cm 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可得. 【详解】∵△ABC与△DEF相似，且相似比为3：4，且△ABC的周长为12cm， ∴3：4=12：△DEF的周长， 即△DEF的周长=16cm， 故答案为：16cm． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解本题的关键. 13. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 14. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 15. 若是关于x的一元二次方程，则m的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 16. 如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定及性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∵， ， ， ，，，， 解得：， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 17. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，    由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ， 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 故答案为：． 18. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解． 【详解】解：作交于点H，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共66分） 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解的方法． （1）根据因式分解法即可求解； （2）根据因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：原方程左边因式分解可得， ， 即 或， ∴ ，； 【小问2详解】 解：原方程左边因式分解可得，  ， 即 或， ∴ ，． 20. 如图，O为原点，B，C两点坐标分别为． （1）以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形； （2）已知为内部一点，写出M的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据位似的性质作出B，C两点的对应点，然后顺次连接即可； （2）观察点的变化规律，并运用规律即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍． 所以点的对应点的坐标为． 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点N． （1）求一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式中x的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求解析式，三角形的面积． （1）先求出点A的纵坐标和点B的横坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出点N坐标，根据求解即可； （3）根据图象即可确定不等式中x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴，，即， ∴点A坐标为，点B坐标为， 将点，点代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数与y轴交于点N， ∴点N坐标为， ∴， ∴ ， ∴的面积为6； 【小问3详解】 解：根据图象可知，不等式的解集为或． 22. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； 【答案】（1）3 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是式子变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴的最小值是3． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴的最大值是5． 23. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应定位元 【解析】 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 24. 如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形 ， 沿直线将翻折，使得落在AD边上， ， ， ， ， ， ； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质和折叠变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）根据两个角相等可证明； （2）根据相似三角形的性质列比例式可得的长，再根据勾股定理列方程可得的值，从而可得答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 即， 解得． 四边形是矩形， ， 沿直线将翻折，使得点落在边上， ， ， ， ， 即， 解得， 25. 综合与探究 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围． （2）若，求m的值； （3）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． （1）根据判别式即可解答； （2）根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可； （3）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得； 【小问2详解】 解：，， ，即， ，即， 解得，， 而， 的值为6； 【小问3详解】 解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， 所以， 方程化为， 解得，则，故舍去， 这个三角形的周长为17． 26. 如图，直线与轴，轴分别相交于两点，与双曲线相交于点P，轴于点，且，点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标； （3）点为轴上一点，当以点M，A，P为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入直线关系式求出a，进而求出点P的坐标，再代入反比例函数解析式即可求出k； （2）设，分与两种情况，根据相似三角形的性质列出方程求解即可； （3）设点M坐标为，分点A、M、P为直角顶点三种情况，根据勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 把代入中，得，解得， 所以， 由，把代入中， 得，即， 把代入得：， 则双曲线解析式为； 【小问2详解】 ∵点的坐标为，点B的坐标为， ∴， 设，如图所示， ∵在上， ∴， 当时， 可得，即， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 可得，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 综上，或． 【小问3详解】 设点M坐标为， ∵点的坐标为，， ∴， 当以为直角顶点时， 则，即， 解得：，即； 当以为直角顶点时， 则，即， 解得，即； 当以为直角顶点时． 则，即， 解得． ∴此时坐标为或， 综上所述，符合题意的点坐标为，，，． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、相似三角形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $