北京市北京师范大学附属实验中学2026-2027学年高一上学期期中检测数学试题

北师大实验中学2026级高一数学 期中测验 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知，，则 A． B． C． D． 2．命题：“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 3．已知实数，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 4．若函数，则下列选项中正确的是 A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是 5．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则不等式的解集为 A． B． C． D． 6．下列区间中，一定包含函数的零点的是 A． B． C． D． 7．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为 A． B． C． D．或 8．已知函数，，，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（单位：百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为，（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每百斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为 A． B． C． D． 10．已知奇函数的定义域为，且对任意实数，都有，则可以是 A． B． C． D． 第二部分（非选择题，共110分） 二．填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数的定义域为___________． 12．已知函数的图象关于中心对称，则的对称中心是___________． 13．不等式的解集是___________． 14．已知函数，若存在点在函数的图象上，则的一个取值为___________，的最小值为___________． 15．已知非空数集，满足： ①，，有； ②且，有， 则称是的“理想子集”．给出下列四个结论： ①若，则是的“理想子集”； ②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则； ③若，是的“理想子集”，则也是的“理想子集”； ④若，是的“理想子集”，则也是的“理想子集”． 其中正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（13分） 已知集合，． （Ⅰ）当时，求和； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 17．（14分） 已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． （Ⅰ）求当时，函数的解析式； （Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （Ⅲ）求关于的不等式的解集． 18．（15分） 已知关于的二次函数，其中，且． （Ⅰ）若关于的不等式的解集为或，求，的值； （Ⅱ）若，满足，求关于的不等式的解集． （Ⅲ）若，设的图象与轴交于点，，与轴交于点，且的面积．判断能否成立？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 19．（13分） 为了道路联通、贸易畅通，某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管室．由于此保管室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其它报价共计元．设屋子的左右两面墙的长度均为米． （Ⅰ）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （Ⅱ）现有乙工程队也参与此保管室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队竞标成功是指其报价低于甲工程队的报价），试求的取值范围． 20．（15分） 已知函数，，其中． （Ⅰ）若关于的方程的两个实数根都大于，求的取值范围； （Ⅱ）若对于任意，恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）若存在，使得与同时成立，求的取值范围． 21．（15分） 设，其中为正整数．对于非空子集，若对任意，，，则称为的分离子集．（特别地，若中仅有一个元素，则也称为的分离子集） 若分离子集还满足：对于任意，集合都不是分离子集，则称为的饱和分离子集． （Ⅰ）直接写出的分离子集与饱和分离子集． （Ⅱ）求的饱和分离子集中元素个数的最大值和最小值． （Ⅲ）求的饱和分离子集的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2026级高一数学 期中测验 答案 一．选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 二．填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13． 14．（答案不唯一）； 15．①②④ 三．解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程． 16．解：（Ⅰ）当时，， 所以； 2分 因为或， 3分 所以． 5分 （Ⅱ）由可得， 7分 当时，，解得； 9分 当时，则，解得， 12分 综上，即实数的取值范围是． 13分 17．解：（Ⅰ）当时，， 因是偶函数，故， 即当时，函数的解析式为． 4分 （Ⅱ）函数在上单调递增，证明如下： 5分 任取， 则 7分 因，故，，， 则，即在上单调递增． 9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得在上单调递增，且为偶函数， 得， 12分 两边平方得，即， 解得，即解集为． 14分 18．解：（Ⅰ）由题知，且方程的两根为和， 2分 所以，， 得，． 4分 （Ⅱ）由，得，即， 因为，所以， 5分 当，不等式化为， 若即，解集为； 6分 若即，，无解； 7分 若即，解集为； 8分 当，不等式化为，此时， 故解集为或； 10分 综上所述：当，解集为或；当，解集为； 当，解集为；当，解集为． （Ⅲ）由知， 设，，其中，是方程的两根， 由，得， 11分 由韦达定理得，， 所以， 两边平方得， 14分 假设存在满足条件的，，则， 解得（舍），， 又因为当时，，所以不合题意， 综上，不存在满足条件的，． 15分 19．解：（Ⅰ）由题知屋子的前面墙的长度均为米， 1分 记甲工程队报价为元， ，， 4分 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元． 7分 （Ⅱ）根据题意可知对任意的恒成立， 8分 所以对任意的恒成立， 9分 因为， 当且仅当，即时等号成立， 12分 所以，即当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 13分 20．解：（Ⅰ）法1：函数图象的对称轴为直线，所以 ，即， 解得． 4分 法2：设方程的两个实数根分别为，，则满足： 即， 解得． 5分 （Ⅱ）法1：当时，，解得， 所以的取值范围是； 6分 当时，，解得， 所以的取值范围是； 7分 当时，，解得，不成立． 8分 综上，的取值范围是． 9分 法2：考虑，则原问题等价于对任意的恒成立， 6分 因为， 当且仅当时等号成立， 8分 所以，即的取值范围是． 9分 （Ⅲ）若存在，使得成立，则， 解得，或． 10分 当时，因为存在，使得成立，所以，即． 因为在区间上单调递增，且， 所以当时，不存在，使得成立； 12分 当时，因为存在，使得成立， 所以，即． 因为在区间上单调递减， 只需，解得，故成立． 14分 综上，的取值范围是． 15分 21．解：（Ⅰ）的分离子集为，，，， 2分 的饱和分离子集为，，， 4分 （Ⅱ）设是的饱和分离子集． 先求元素个数的最大值．将分成如下五组： ，，，， 由于中不含两个相邻的整数，每组中至多有一个元素属于，故． 5分 取，则它是的饱和分离子集，且． 因此，元素个数的最大值为． 6分 再求元素个数的最小值．将分成三组： ，，． 每组中至少有一个元素属于． 否则，若第一组中没有元素属于，则，，， 此时可将加入，所得集合仍为分离子集，与饱和性矛盾． 同理，若第二组或第三组中没有元素属于，则分别可将或加入，也与饱和性矛盾． 因此，． 8分 取，其元素两两不相邻，且\中每个元素均与中的某个元素相邻，故它是饱和分离子集． 因此，元素个数的最小值为． 9分 （Ⅲ）法1：递推法： 记的饱和分离子集个数为． 由第（Ⅰ）知． 又的饱和分离子集只有，的饱和分离子集为，， 故，，． 当时，按是否属于饱和分离子集，分为以下两类． 第一类：． 由饱和性，必有．令． 若，则； 因，可将加入，与饱和性矛盾． 因此非空，且是的分离子集． 对于任意，由的饱和性，必与中某个元素相邻； 又因，它不与相邻，所以必与中某个元素相邻． 因此是的饱和分离子集． 反过来，对于的任意饱和分离子集，集合都是的饱和分离子集，且不含． 这是因为原有未选元素仍不能加入，而新增的未选元素与相邻，也不能加入． 因此，第一类共有个． 第二类：． 由分离性，且．令． 若，则； 因，可将加入，与饱和性矛盾． 因此非空，且是的分离子集． 对于任意，由的饱和性，必与中某个元素相邻； 又因，它不与相邻，所以必与中某个元素相邻． 因此是的饱和分离子集． 反过来，对于的任意饱和分离子集，集合都是的饱和分离子集． 原有未选元素仍不能加入，新增的未选元素，均与相邻，也不能加入． 因此，第二类共有个． 两类互不重叠，且包含全部情形，故． 13分 据此依次计算得 ，， ，， ，， ，， ， 因此，的饱和分离子集共有个． 15分 法二：按集合的元素个数分类． 设是的饱和分离子集，其中． 由于相邻整数不能同时属于，将分成，，…，，七组，可得． 由饱和性，每个未选元素必须与某个已选元素相邻，而一个已选元素连同它左右相邻的整数至多覆盖三个位置， 故，从而． 因此，只能取，，． 10分 下面确定饱和分离子集的间隙结构： 相邻两个已选元素之间必须有一个或两个未选元素． 若没有未选元素，则违反分离性； 若有三个或更多连续的未选元素，则其中必有一个可加入，违反饱和性． 同理，第一个已选元素之前和最后一个已选元素之后，都只能有零个或一个未选元素． 反过来，具有上述间隙结构的子集必为饱和分离子集，因为其任意未选元素都与某个已选元素相邻，不能再加入． 用●表示已选元素，用○表示未选元素． 先在相邻两个已选元素之间各放置一个未选元素，形成基本结构 ●○●○…○●． 该结构有个已选元素，个未选元素，共占个位置． 再在首端、尾端以及内部的个间隙中补入未选元素，共有处可补，每处至多补入一个． 将形成的十三个位置从左到右依次标为，，…，，即可唯一确定； 反之，每个饱和分离子集也唯一确定这样一种补法，因此计数不重不漏 11分 当时，基本结构占个位置，还需补入个未选元素． 共有处可补，每处至多补入一个，故恰有两处不补． 将这六处从左到右编号为，，…，． 按两处不补位置中靠前一处的编号分类： 当它的编号依次为，，，，时，另一处分别有，，，，种选择． 故此时共有个饱和分离子集 12分 当时，基本结构占个位置，还需补入个未选元素．共有处可补，每处至多补一个． 将这七处从左到右编号为，，…，． 按两处补入位置中靠前一处的编号分类： 当它的编号依次为，，，，，时，另一处分别有，，，，，种选择． 故此时共有个饱和分离子集 13分 当时，基本结构恰好占个位置，无需补入元素， 只有这一种 14分 综上，的饱和分离子集共有个． 15分 法三：按元素个数分类（差分数列）． 设的饱和分离子集为，其中， 则（，，…，）． 显然且，否则或也是其分离子集． 10分 令（，，…，）， 则，所以， 另一方面，，所以． 因此，，． 11分 考虑的情况， 若，，则， 因此，，，，的取值有个，个， 对应地，共有饱和分离子集有个； 若，或，，则， 因此，，，，的取值有1个，个， 对应地，共有饱和分离子集有个； 若，，则， 因此，，，，的取值均为， 对应地，共有饱和分离子集只有个， 因此共有饱和分离子集个． 12分 考虑的情况， 若，，则， 因此，，，，，的取值均为， 对应地，共有饱和分离子集有个； 若，或，，则， 因此，，，，，的取值有个，个， 对应地，共有饱和分离子集有个； 若，，则， 因此，，，，，的取值取值有个，个， 对应地，共有饱和分离子集有个， 因此共有饱和分离子集个． 13分 考虑的情况，只可能为一种情形． 14分 综上，共有饱和分离子集个． 15分 学科网（北京）股份有限公司 $