北京市北京师范大学附属实验中学2026-2027学年高一上学期期中检测数学试题

北师大实验中学2026级高一数学 期中测验 2026年11月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项， 1.已知A={2,3,4},B={x|x>3},则A∩B= (A){4 (B){3,4 (C){2 (D){2,3} 2.命题p:“Vx∈R,x2+x+1>0”的否定是 (A)3x∈R,x2+x+1<0 (B)3x∈R,x2+x+1≤0 (C)3x∈R,x2+x+1>0 (D)3xtR,x2+x+1≤0 3.已知实数a>b,则下列不等式成立的是 (A)a+b<2b (B)a2>b2 (C)1-2a<1-2b 4.若函数f)=x+红<0)，则下列选项中正确的是 (A)f(x)最小值是2 (B)f(x)最小值是-2 (C)f(x)最大值是2 (D)f(x)最大值是-2 5.已知函数f(x)的定义域为[-5,5，其图象如图所示，则不等式 xf(x)>0的解集为 (A)(-5,-2)U(0,2) (B)(-2,0)U(2,5) (C)(-2,2) (D)(-2,0)U(0,2) 6.下列区间中，一定包含函数f(x)=x3-3x一6的零点的是 (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) 7.关于x的一元二次方程x2+(a2+2a)x+a+1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为 (A)-2 (B)0 (C)1 (D)-2或0 8.已知函数f(x)=x3-E,1,x2∈R,则“x1+x2=0”是“f(x1)+f(c2)=0”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 数学试题第1页（共12页） 9.随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者.小李打算批发某种水果 摆摊售卖，设他进货总费用f(x)(单位：百元)与进货量x(单位：百斤)之间的关系为 (4x2 +ax 0<x<1, f(x)= x+1 (a-4)x+3,x≥1 (α为常数)，若满足“随着进货量的增大，水果每百斤的平均价格逐渐减小”，则a的取值范围为 (A)[4,6] (B)[4,6) (C)(4,6 (D)(4,6) 10.已知奇函数y=f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f(x)=4f[f(x+4)],则f(2)可 以是 (A)-2 (B)1 (C)2 (D)4 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 1西数)=V+,3的定义拔为 12.已知函数f(x+2)的图象关于(4,3)中心对称，则f(x)的对称中心是 1不等式 ”≥2的解集是 x<0 14.已知函数f(x)= 若存在点A(a,a)在函数f(x)的图象上，则b的一 x2-2bx+1,x≥0， 个取值为 b的最小值为 15.已知非空数集I二P,满足： ①x,y∈I,有x+y∈I; ②Vx∈I且g∈P,有xy∈I, 则称I是P的“理想子集”.给出下列四个结论： ①若I={2kk∈Z,则I是Z的“理想子集”， ②若I是R的“理想子集”，且存在非零实数a∈I,则I=R: ③若I1,I2是P的“理想子集”，则1UI2也是P的“理想子集： ④若I1,2是P的“理想子集”，则I1∩12也是P的“理想子集” 其中正确结论的序号是 数学试题第2页（共12页） 三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.(13分) 已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1} (I)当m=3时，求AUB和A∩(CRB): (II)若A∩B=B,求实数m的取值范围. 17.(14分) 知函数回)为定义在R上的偶函数，且当≥0时，@三行 (I)求当x<0时，函数f(x)的解析式： (II)判断函数f(x)在区间[O,+o∞)上的单调性，并用单调性定义证明； (III)求关于x的不等式f3x)≤f(x+2)的解集， 18.(15分) 已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+2,其中a,b∈R且a卡0. ()若关于x的不等式>0的解集为红2<分或：>2.求a,b的值： (II)若a,b满足b=a+2,求关于x的不等式f(x)<0的解集 (III)若a<0,设f(x)的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且△ABC的面积S△4BC=1. 判断a2+2=24能否成立？若能，求出a的值；若不能，请说明理由. 数学试题第3页（共12页） 19.(13分) 为了道路联通、贸易畅通，某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原 有墙体，建造一间高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管室.由于此保 管室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平 方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其它报价共计7200元. 设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)： (I)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (m现有乙工程队也参与此保管室建造竞标，其给出的整体报价为9O01+四(a>0)元，若无 论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队竞标成功是指其报价低于甲 工程队的报价)，试求a的取值范围. 20.(15分) 已知函数f(x)=m.x-2m,g(x)=x2-2mx+4,其中m∈R. (I)若关于x的方程g(x)=0的两个实数根都大于1，求m的取值范围； (II)若对于任意x∈[1,2]，g(x)>0恒成立，求m的取值范围； (III)若存在xo∈R,使得f(xo)<0与g(xo)<0同时成立，求m的取值范围. 21.(15分) 设Sn={1,2,…,n},其中n为正整数.对于非空子集A二Sn,若对任意a,b∈A,a-b≠1， 则称A为Sn的分离子集.（特别地，若A中仅有一个元素，则A也称为Sn的分离子集） 若分离子集A还满足：对于任意x∈Cs,A,集合AU{x}都不是分离子集，则称A为Sn的 饱和分离子集， (I)直接写出S3的分离子集与饱和分离子集， (Ⅱ)求S,的饱和分离子集中元素个数的最大值和最小值 (III)求S13的饱和分离子集的个数. 数学试题第4页（共12页） 答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项 1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C 7.A 8.A 9.C 10.B 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 11. U.+) 12.(6,3) 13. 14.1(答案不唯一)： 15.①②④ 三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程， 16.解：(I)当m=3时，B={x|4≤x≤5} 所以AUB={x|-2≤x≤5}： ………………2分 因为C界B={xx<4或x>5},……3分 所以A∩(CRB)={x|-2≤x<4}.…5分 (I)由A∩B=B可得B三A,…7分 当B=⑦时，m+1>2m-1,解得m<2;……………9分 m+1≤2m-1, 当B卡⑦时，则 m+1≥-2， 解得2≤m≤3，…………12分 2m-1≤5， 综上m≤3，即实数m的取值范围是（-0o,3.……13分 17.解：(I)当x<0时，-x>0, （-x)2 因f)是偶函数，故f@)=f(-)=十日=-立 即当x<0时，函数f(知)的解析式为f()=1一元 ………4分 ()函数f(x)在[0，+o∞)上单调递增，证明如下：… …5分 任取0≤c1<x2, 2 x子 则fc2）-f(c)=1+21+正 1+巴)-1+2】-号-听+吃-2= (1+x2)1+x1) (1+x2)(1+x1) (x2-x1(x2+x1+x1C2) ……………7分 (1+x2)(1+x1) 因0≤x1<x2,故x2-c1>0,x2+c1+c1x2>0,(1+x2)1+x1)>0, 则f(x2)-f(x1)>0,即f(x)在0，十o∞)上单调递增.…9分 (II)由(II)得f(x)在[0，+o∞)上单调递增，且f(x)为偶函数， 数学试题第5页（共12页） 得3x≤x+2, 12分 两边平方得9x2≤x2+4x+4,即2x2-x-1≤0 解得≤x≤1，即解集为 -21 ……14分 18.解：（①）由题知a>0,且方程fc)=0的两根为2和2， ……2分 所+2 21 ,≠2 ×2 得a=2,b=5. …4分 (II)由b=a+2,得f(x)=ax2-(a+2)x+2<0,即(a-2)(c-1)<0, 因为a≠0，所以a(e-)e-1<0, ………5分 当a>0,不等式化为(e-)e-)<0: 若君>1印0<e<2,解集为e1<z< …6分 若2=1即a=2.e-1P<0.无解： ………7分 若<11a>2,解年为红员<<时 ……8分 当a<0,不等武化为（e-)e-少>0，此时？<0<1. 故解集为{红E<2或r>1: …10分 综上所述：当a<0,解集为ex<或e>:当0<a<2,解集为c1<x<名： 当a=2.解第为8：当a>2.解氧为仁<x<1以 (II)）由f0)=2知C(0,2), 设A(c1,0),B(x2,0),其中E1,x2是方程f(x)=0的两根， 1 由SAAB0=2×1-2×2=1,得z1-2=1, ,11分 由韦达定理得十2=。=。 b e 所以|z1-x2=V(x1+x2)2-4x1x2 . b28 -Va-a-1. 两边平方得b2=a2+8a,… ……14分 假设存在满足条件的a,b,则a2+b2=24, 解得a=2(舍)，a=-6, 数学试题第6页（共12页） 又因为当a=-6时，b2=-12,所以不合题意， 综上，不存在满足条件的a,b…… 15分 19.解：(1)由题知屋子的前面墙的长度均为 12 米(2≤x≤6)，……1分 记甲工程队报价为y元 12 y=3× ×400+2×150×3x+7200=900 0tz+7200,2≤t≤6，… 16 900+x+7200≥900 ·x+7200=14400 x 当且仅当 16 =x,即x=4时等号成立， 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为14400元.……7分 (I）根据题意可知900 16 +x+7200> 900a(1+对任意的x∈2,6l恒成立，…8分 所以a<+42 对任意的x∈[2,6恒成立， ……9分 1+x 因为+42 =(x+1)+ 9 1+x c+1+6≥2V9+6=12, 当且仅当x+1= 即x=2时等号成立，… 9 …12分 所以0<a<12,即当0<a<12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞 标成功.………………………13分 20.解：(I)法1：函数g(x)=x2-2mx+4图象的对称轴为直线x=m,所以 △≥0， 4m2-16≥0， m>1, 即 m>1, 9(1)>0. 1 -2m+4>0. 解得m∈》 ………………4分 法2：设方程g(x)=0的两个实数根分别为c1,x2,则m满足： 4≥0， 4m2-16≥0， x1-1+x2-1>0, 即 2m-2>1, (c1-1)(x2-1)>0 4-2m+1>0. 解得m∈ 2, 5 ……5分 数学试题第7页（共12页） 四法1：当m<1时90=-2+5>0.解得m<号 所以m的取值范围是(-0∞，1)；…………………6分 当1≤m≤2时，g(m)=-m2+4>0,解得-2<m<2, 所以m的取值范围是[1,2)；………7分 当m>2时，g(2)=-4m+8>0,解得m<2,不成立.……8分 综上，m的取值范围是(-0∞，2)……………9分 法2：考虑x>0,则原问题等价于m< 2+4对任意的x1,到恒成立，6分 x 2 2 当且仅当x=2时等号成立， ……8分 所以m<2,即m的取值范围是(-o,2).…… …9分 (III)若存在xo∈R,使得g(x)<0成立，则△=4m2-16>0, 解得m<-2,或m>2.…… …10分 当m<-2时，因为存在xo∈R,使得f(x)<0成立，所以mxo-2m<0,即x>2. 因为g(x)=x2-2mx+4在区间(m,+o∞)上单调递增，且g(1)=-2m+5>0, 所以当x>2时，不存在x∈R,使得g(x)<0成立：……12分 当m>2时，因为存在xo∈R,使得f(xo)<0成立， 所以mc0-2m<0,即co<2. 因为g(x)=x2-2mx+4在区间(-∞，m)上单调递减， 只需g(2)=8-4m<0,解得m>2,故成立.…………14分 综上，m的取值范围是(2，十∞).……………………15分 21.解：(I)S3={1,2,3}的分离子集为{1}，{2}，{3}，{1,3}，……2分 S3的饱和分离子集为{2}，{1,3}，……………4分 (II)设A是Sg的饱和分离子集. 先求元素个数的最大值.将Sg分成如下五组： {1,2},3,4},{5,6},{7,8},{9} 由于A中不含两个相邻的整数，每组中至多有一个元素属于A,故A≤5.…5分 取A={1,3,5,7,9},则它是Sg的饱和分离子集，且A=5 因此，元素个数的最大值为5.…………………………6分 数学试题第8页（共12页） 再求元素个数的最小值.将Sg分成三组 {1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}. 每组中至少有一个元素属于A. 否则，若第一组中没有元素属于A,则1,2,3生A, 此时可将2加入A,所得集合仍为分离子集，与饱和性矛盾， 同理，若第二组或第三组中没有元素属于A,则分别可将5或8加入A,也与饱和性矛盾 因此，A≥3.…………8分 取A={2,5,8},其元素两两不相邻，且S,1A中每个元素均与A中的某个元素相邻，故 它是饱和分离子集， 因此，元素个数的最小值为3.………………………………………9分 (II)法1：递推法 记Sn的饱和分离子集个数为Pn: 由第(I)知p3=2. 又S1的饱和分离子集只有{1}，S2的饱和分离子集为{1}，{2}， 故P1=1,p2=2,p3=2. 当n≥4时，按n-1是否属于饱和分离子集A,分为以下两类 第一类：n-1华A. 由饱和性，必有n∈A.令B=A\{n}. 若B=⑦，则A={n} 因n≥4，可将1加入A,与饱和性矛盾， 因此B非空，且是Sn-2的分离子集 对于任意x∈S-2\B,由A的饱和性，x必与A中某个元素相邻： 又因x≤n-2,它不与n相邻，所以必与B中某个元素相邻. 因此B是Sn-2的饱和分离子集 反过来，对于Sm-2的任意饱和分离子集B,集合BU{n}都是S,的饱和分离子集，且不 含n-1. 这是因为原有未选元素仍不能加入，而新增的未选元素n一1与n相邻，也不能加入. 因此，第一类共有pn-2个 第二类：n-1∈A. 由分离性，n-2A且n年A.令B=A\{n-1} 若B=⑦，则A={n-1: 因n≥4，可将1加入A,与饱和性矛盾. 因此B非空，且是Sn-3的分离子集， 对于任意x∈Sn-3\B,由A的饱和性，x必与A中某个元素相邻： 数学试题第9页（共12页） 又因x≤n-3,它不与n一1相邻，所以必与B中某个元素相邻 因此B是Sn-3的饱和分离子集 反过来，对于Sn-3的任意饱和分离子集B,集合BU{n-1}都是Sn的饱和分离子集， 原有未选元素仍不能加入，新增的未选元素n-2,n均与n一1相邻，也不能加入 因此，第二类共有pn-3个 两类互不重叠，且包含全部情形，故pn=pn-2十pn-3(n≥4).…13分 据此依次计算得 P4=p2+P1=3,P5=p3十P2=4, P6=P4+P3=5,p7=P5+p4=7, P8=P6+P5=9,P9=p7十p6=12, p10=p8+p7=16,P11=pg+P8=21, P12=P10+P9=28,P13=P11+P10=37. 因此，S13的饱和分离子集共有37个……………………15分 法二：按集合的元素个数分类 设A={a1,a2,…,ak}是S3的饱和分离子集，其中a1<a2<…<ak 由于相邻整数不能同时属于A,将S13分成{1,2}，{3,4}，…，{11,12}、{13}七组，可得 k≤7。 由饱和性，每个未选元素必须与某个已选元素相邻，而一个已选元素连同它左右相邻的整数 至多覆盖三个位置， 故13≤3k,从而k≥5. 因此，k只能取5,6,7.……………… ……………10分 下面确定饱和分离子集的间隙结构： 相邻两个已选元素之间必须有一个或两个未选元素. 若没有未选元素，则违反分离性： 若有三个或更多连续的未选元素，则其中必有一个可加入A,违反饱和性 同理，第一个已选元素之前和最后一个已选元素之后，都只能有零个或一个未选元素， 反过来，具有上述间隙结构的子集必为饱和分离子集，因为其任意未选元素都与某个已选元 素相邻，不能再加入 用·表示已选元素，用。表示未选元素 先在相邻两个已选元素之间各放置一个未选元素，形成基本结构 ●0●0…0●. 该结构有k个已选元素，k一1个未选元素，共占2k一1个位置 再在首端、尾端以及内部的k一1个间隙中补入未选元素，共有k+1处可补，每处至多补 入一个. 数学试题第10页（共12页） 将形成的十三个位置从左到右依次标为1,2，…，13，即可唯一确定A; 反之，每个饱和分离子集也唯一确定这样一种补法，因此计数不重不漏.··…11分 当k=5时，基本结构占2×5-1=9个位置，还需补入4个未选元素 共有6处可补，每处至多补入一个，故恰有两处不补 将这六处从左到右编号为1,2，…，6. 按两处不补位置中靠前一处的编号分类： 当它的编号依次为1,2,3,4,5时，另一处分别有5,4,3,2,1种选择 故此时共有5+4十3+2十1=15个饱和分离子集.…………………… 12分 当k=6时，基本结构占2×6-1=11个位置，还需补入2个未选元素.共有7处可补， 每处至多补入一个 将这七处从左到右编号为1,2，…，7. 按两处补入位置中靠前一处的编号分类： 当它的编号依次为1,2,3,4,5,6时，另一处分别有6,5,4,3,2,1种选择 故此时共有6+5+4+3+2+1=21个饱和分离子集.…13分 当k=7时，基本结构恰好占2×7-1=13个位置，无需补入元素，只有A={1,3,5,7,9,11,13} 这一种.………………………14分 综上，S13的饱和分离子集共有15+21+1=37个.…15分 法三：按元素个数分类（差分数列） 设S13的饱和分离子集为A={a1,a2,…,ak},其中a1<a2<…<ak, 则a+1-a,∈{2,3}(i=1,2,…,k-1): 显然a1≤2且a≥11，否则{1}UA或AU{13}也是其分离子集..…10分 令b:=a+1-a(i=1,2,…,k-1), 则10≤ak-a1=b1+b2+…+bk-1≤3(k-1),所以k≥5， 另一方面，2(k-1)≤b1+b2十…+bk-1=a-a1<13,所以k≤7 因此k=5,6,7.………11分 考虑k=5的情况， 若a1=2,a5=12,则b1+b2+bg+b4=10, 因此，b1,b2,b3,b4的取值有2个2,2个3， 对应地，共有饱和分离子集有C=6个； 若a1=1,a5=12或a1=2,a5=13,则b1+b2+b3+b4=11, 因此，b1,b2,b3,b4的取值有1个2,3个3， 对应地，共有饱和分离子集有2C4=8个： 若a1=1,a5=13,则b1+b2+b3+b4=12, 因此，b1,b2,b3,b4的取值均为3， 数学试题第11页（共12页） 对应地，共有饱和分离子集只有1个， 因此共有饱和分离子集15个.…………………………………………12分 考虑k=6的情况， 若a1=2,a6=12,则b1+b2+b3+b4+b5=10, 因此，b1,b2,b3,b4,b5的取值均为2， 对应地，共有饱和分离子集有1个： 若a1=1,a6=12或a1=2,a6=13,则b1+b2+b3+b4十b5=11, 因此，b1,b2,b3,b4,b5的取值有4个2,1个3， 对应地，共有饱和分离子集有2C号=10个； 若a1=1,a5=13,则b1+b2+b3+b4+b5=12, 因此，b1,b2,b3,b4,b5的取值取值有3个2,2个3， 对应地，共有饱和分离子集有C号=10个， 因此共有饱和分离子集21个………………13分 考虑k=7的情况，只可能为A={1,3,5,7,9,11,13}一种情形.…14分 综上，共有饱和分离子集15+21十1=37个.………15分 数学试题第12页（共12页）