精品解析：北京市通州区潞河中学2026-2027学年高一上学期期中质量检测数学试题

2026-2027学年第一学期期中质量检测 高一数学 第一部分 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回 第一部分（共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项， 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 使不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 9. 若，函数满足，函数，则（） A. B. C. D. 10. 学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为，，，，五个等级，某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生，其另外一科等级一定为．则该班（） 等级 科目 物理 化学 A. 物理化学等级都是的学生至多有人 B. 物理化学等级都是的学生至少有人 C. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人 D. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人 第二部分（共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为_________． 12. 设a为常数，函数，若为偶函数，则___________． 13. 已知，且则的最小值是_________；取到最小值时，__________. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中． ① _______； ②若的值域是，则的取值范围是_______． 15. 已知集合，.设集合A同时满足下列三个条件： ①；②若，则；③若，则. （1）当时，一个满足条件的集合A是__________；（写出一个即可） （2）当时，满足条件的集合A的个数为_________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知全集，集合， （1）求集合 （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知集合，且集合. （1）若命题“”是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题“”是真命题，求实数的取值范围. 18. 第20届亚洲夏季运动会，于2026年9月19日-10月4日在日本举行.中国代表团以169金89银83铜的成绩连续12届坐稳金牌榜第一，创下中国代表团境外参加亚运会的历史最佳战绩.霍诺洪（）是第20届亚运会的吉祥物，诞生于运动员内心炽热的激情.据说意为“火焰”的起源，意指火焰高高升起并燃烧得非常明亮，形状类似稻穗.赛事举办过程中，相关商品需求持续增长.已知中国某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且，已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式： （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 19. 已知函数，（）. （1）当时，解关于x的不等式； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若在上恒成立，求a的取值范围. 20. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求、的值； （2）判断的单调性并证明； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围. 21. 已知集合，集合为集合的m元子集，且中元素均为孤立元素．孤立元素的定义为：当，且时，则称x为集合A中的孤立元素． （1）列出所有符合题意的集合； （2）设为集合的所有可能的集合个数，求的最大值，并说明理由； （3）在集合的所有可能集合中，存在元素在所有可能的集合中出现的次数最少，求出这样的元素并指出其出现次数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中质量检测 高一数学 第一部分 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回 第一部分（共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项， 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题知，而，因此. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据命题否定的规则可知，的否定为. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例说明ABC不成立，根据不等式性质说明D成立. 【详解】当时，有，，所以A错误； 当时，由得，所以B错误； 当时，由得，所以C错误； 由不等式两边同时加上一个数，不等式号不变，D正确, 故选：D 4. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对A：的定义域为，不为偶函数，故A错误； 对B：，不为偶函数，故B错误； 对C：的定义域为， ，故为偶函数， 当时，单调递增，且在上单调递减， 故在上单调递减，故C正确； 对D：当时，， 在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 5. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在上单调递增，且，， 所以函数有且仅有1个零点，一定包含零点的区间是. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 令，该函数在定义域上单调递增， 因为，故，即； 令，该函数在上单调递减， 因为，故，即， 综上可得. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为. 因为， 所以函数是偶函数，图象关于轴对称，排除B、C选项； 当时，，，所以，排除A选项； 当时，，当从右侧趋近于时，趋向于负无穷大，符合D选项图象. 8. 使不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解给定一元二次不等式的解集，再依据充分不必要条件对应的集合为原解集真子集的逻辑关系，逐一匹配选项即可. 【详解】，，令，∴， ∵二次函数开口向上， 不等式解集：， 设原不等式解集集合 ， 若 ，且 ，即 （ 是 的真子集）， 则 为 的充分不必要条件， 选项A：， ，充分不必要条件 ， 选项B：，，充要条件， 选项C：，不是 子集，不满足， 选项D：， ，必要不充分条件. 9. 若，函数满足，函数，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过赋值法推导函数的对称性质，结合奇函数的化简规则，计算的定值. 【详解】由可得： ， 已知对任意，函数满足， 令，代入方程得：， 令，此时，代入原方程得：， 将代入上式，整理得：， 将代入上式，得：， 因此，. 10. 学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为，，，，五个等级，某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生，其另外一科等级一定为．则该班（） 等级 科目 物理 化学 A. 物理化学等级都是的学生至多有人 B. 物理化学等级都是的学生至少有人 C. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人 D. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人 【答案】C 【解析】 【分析】首先分别确定两科等级一科为，一科为的人数，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】两科等级均为的学生有人， 因为仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为， 所以物理等级为，化学等级为的有人人； 化学等级为，物理等级为的有人； 对于A，物理等级为的共有人，则化学等级也为的至多有人，A错误； 对于B，物理等级为的共有人，则化学等级也为的至少有人，B错误； 对于C，两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人，C正确； 对于D，两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人，D错误. 故选：C. 第二部分（共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数表达式可得，解不等式即可. 【详解】由，则， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 12. 设a为常数，函数，若为偶函数，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】先得到，利用函数为偶函数，得到，列出方程，得到，求出. 【详解】，， 因为为偶函数， 所以， 故， 故，解得：. 故答案为：1 13. 已知，且则的最小值是_________；取到最小值时，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用基本不等式求解并判定取等条件即可. 【详解】由可得，又，即， ，变形得：， 当且仅当“”，即时等式成立； 综上的最小值为，取到最小值时. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中． ① _______； ②若的值域是，则的取值范围是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用奇函数的定义，计算即可得到所求的值； ②由的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与轴的交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到答案. 【详解】①由题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，， 则； ②若函数的值域为R， 由函数的图象关于原点对称，可得当时，函数的图象与轴有交点，则，解得或， 即实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，及函数的值域的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 15. 已知集合，.设集合A同时满足下列三个条件： ①；②若，则；③若，则. （1）当时，一个满足条件的集合A是__________；（写出一个即可） （2）当时，满足条件的集合A的个数为_________. 【答案】 ①. ；（，，，任写一个即可） ②. 32 【解析】 【分析】（1）时，集合，则由题意可得1，4同属于集合，此时2属于的补集，或2属于集合，1，4同属于集合的补集，元素与集合的关系不确定，从而可求出集合， （2）当时，集合， ，必须同属于，此时属于的补集；或，必须同属于的补集，此时属于；当时，则；则，则； 当时，则；当，则；而元素，没有限制， 从而可得满足条件的集合 【详解】（）时，集合， 由①；②若，则；③若，则，可知： 当时，则，即，则，即，但元素与集合的关系不确定，故或； 当时，则，，元素与集合的关系不确定， 故，或． 综上，，或，或，或． （）当时，集合， 由①；②若，则；③，则，可知： 当时，则，即，则，即，， ，必须同属于，此时属于的补集；或，必须同属于的补集，此时属于； 此时的放置有2种； 当时，则；则，则；此时的放置有2种； 当时，则；当，则；此时的放置有2种； 而元素，没有限制，此时的放置，各有2种； 所以集合可能为 所以满足条件的集合共有32个． 故答案为：，（，，，任写一个即可）；32 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知全集，集合， （1）求集合 （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）分析可得，是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得，进而可得可得答案． （2）根据，利用区间端点值建立不等关系，最后解不等式组即可求实数的取值范围． 【详解】解：（1）因为全集，集合，所以或 所以，即集合 （2）因为，所以 解得 所以 【点睛】本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可，属于基础题． 17. 已知集合，且集合. （1）若命题“”是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题“”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） 实数的取值范围为； （2） 实数的取值范围为。 【解析】 【分析】（1）根据全称量词命题为真的定义得到，结合的前提列不等式组求解. （2）根据特称量词命题为真的定义得到，利用补集思想先求时的参数范围，再结合的前提取补集得到结果. 【小问1详解】 因为命题“”是真命题，根据全称量词命题的定义可知，且， 所以可列出不等式组：，解得，即. 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为集合，所以，解得. 因为命题“”是真命题，根据特称命题的定义可知. 采用补集思想，先求解满足时的参数范围. 两个闭区间无公共元素的情况分为两类： ①完全位于的左侧，即的右端点小于的左端点，即，解得. 又，此类情况的范围为； ②完全位于的右侧，即的左端点大于的右端点，即，解得. 又，此类情况的范围为. 因此，当时，的取值范围为或. 在大前提下，取上述范围的补集，可得时的取值范围为， 即实数的取值范围为. 18. 第20届亚洲夏季运动会，于2026年9月19日-10月4日在日本举行.中国代表团以169金89银83铜的成绩连续12届坐稳金牌榜第一，创下中国代表团境外参加亚运会的历史最佳战绩.霍诺洪（）是第20届亚运会的吉祥物，诞生于运动员内心炽热的激情.据说意为“火焰”的起源，意指火焰高高升起并燃烧得非常明亮，形状类似稻穗.赛事举办过程中，相关商品需求持续增长.已知中国某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且，已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式： （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】（1）； （2）当代加工量为30万件时，利润最大，最大值为95万元. 【解析】 【分析】（1）根据题目信息写出利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式，并根据信息求出参数的值； （2）分段函数求最值，第一段是开口向上的二次函数在给定区间求最大值；第二段是对勾函数结合基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元，所以， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知利润， 当时，，在时取到最大值55万元； 当时，， 当且仅当时取到最大值，又， 所以当代加工量为30万件时，利润最大，最大值为95万元. 19. 已知函数，（）. （1）当时，解关于x的不等式； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若在上恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)解分式不等式即可；(2)利用奇函数的定义证明;(3)利用基本不等式求出最小值即可求解. 【小问1详解】 当时, , 即,解得. 【小问2详解】 依题意，，判断函数为奇函数，证明如下： 令，定义域为， 因为， 所以函数为奇函数. 【小问3详解】 由题可知在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当且仅当，时取得等号， 所以要使在上恒成立， 则，即，解得. 20. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求、的值； （2）判断的单调性并证明； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 函数为上的减函数，理由如下： 任取，，且，则， 所以， ，即， 故函数在上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数性质，列式求参数值，即可得答案； （2）将化为，结合指数函数单调性，即可得出结论； （3）结合函数奇偶性以及单调性，将原不等式化简为存在，成立，结合二次函数的最值，即可求得答案. 【小问1详解】 因为函数是定义域为的奇函数，则，解得， 所以，， 因为，， 由奇函数的定义可得，可得，解得， 故，则，下面验证函数为奇函数， 因为函数的定义域为， 则，即函数为奇函数， 因此，满足题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，使， 则，所以，，则， 由题意可得，因此，实数的取值范围是. 21. 已知集合，集合为集合的m元子集，且中元素均为孤立元素．孤立元素的定义为：当，且时，则称x为集合A中的孤立元素． （1）列出所有符合题意的集合； （2）设为集合的所有可能的集合个数，求的最大值，并说明理由； （3）在集合的所有可能集合中，存在元素在所有可能的集合中出现的次数最少，求出这样的元素并指出其出现次数，并说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的最大值为21，理由见解析. （3）2和在所有可能的集合中只能出现一次，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）列出的二元子集，观察符合要求的子集. （2）转化为元素不相邻问题，采用插空法求解，可推导公式为； （3）取，，，说明除2和外的其它元素在所有集合中至少出现两次，再证明2只能出现一次. 【小问1详解】 ，所有的二元子集共有6个：，其中符合要求的有3个： 【小问2详解】 将中元素从小到大排列一队，共有8个位置， 由孤立元素的定义知中任何两个元素都不能为相邻的整数，因此可转化为两个元素不相邻问题，可用插空法解决： 第一步：将这个元素对应的位置取出来，剩下个位置； 第二步：将这个位置插入，保证它们互不相邻，只要从个空隙中选出个空放入，共有种方法. 因此， ，，，， 当时，任取出的个数都会有相邻的整数，不是孤立元素，故不存在. 综上：当时，的最大值为21. 【小问3详解】 取中两个集合：， 在这两个集合中除外的奇数出现2次； 再取中两个集合：，， 这两个集合中除2以外的偶数都出现了两次； 若中有2存在，则这样集合只有一个，因为大于2的第一个数必须为4，否则元素个数就不会凑够个，以此类推，后面元素分别为， 故含有2的集合只有一个.所以2在所有可能的集合中只能出现一次. 由位置对称性知：在所有可能的集合中只能出现一次. 综上：只有2和在所有可能的集合中只能出现一次. 【点睛】插空法，是用来解决某些元素不相邻的排列组合题，即不邻问题.在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略.用这种方法解题思路清晰、简便易懂.除了插空法，还有其他解排列问题的方法，如：插板法 ，用于处理分组问题；捆绑法，用于处理相邻问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $