精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高二上学期第三次阶段性考试数学试题

临澧一中2027届高三第一期第三次阶段性考试 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 二．选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，且存在，，使得，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为 C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. 4是的一个周期 D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是纯虚数，则__________． 13. 已知，若，，则_____． 14. 已知平面单位向量，满足．若对任意单位向量，不等式与中至少有一个成立，则实数的最小值为_______________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件． （1）求； （2）若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望． 16. 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 17. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为12，原点到短轴端点与焦点连线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在轴上的定点，使得的内心在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 在中，，为边上一点，且，. （1）若，求： ①； ②的面积； （2）求的取值范围. 19. 对实数，定义． （1）求； （2）证明：函数在上严格递增； （3）设，在曲线上依次取点，其中．记曲线在区间上的图象与弦的最大铅直距离为．求的最小值，并确定此时的所有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2027届高三第一期第三次阶段性考试 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题为，， 所以为，. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过诱导公式统一角的形式，再利用同角三角函数关系，把弦的齐次分式转化为只含 tanα 的式子代入计算. 【详解】，则. 3. 已知函数是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，解得. 所以实数的取值范围是. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和奇偶性排除选项A，C ，然后利用函数在无穷远处的变化趋势确定最终选项. 【详解】函数的定义域为. ，都有， 且， 所以为偶函数，的图象关于轴对称. 所以A，C错误． ， 当时，， 所以，单调递增. 所以排除D，B符合. 5. 已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值，再由投影向量公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 即，解得， 所以， 设为向量在上的投影向量， 则. 6. 在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】借助图像的旋转与已知条件求出三角形面积. 【详解】已知在直角中，，所以为等腰直角三角形， 因为，所以，将绕点 顺时针旋转 ，使与 重合，得到，连接， 由旋转性质知：，是等腰直角三角形， 因为在中，，所以是等腰直角三角形， 所以， 在中，由余弦定理：， 所以的面积为. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求得，由，利用正弦函数与余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为，可得，， 所以，，且，且， 又因为，且，所以， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以. 8. 已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可知函数的零点成对出现且互为倒数，由于零点个数为奇数，必有一个零点为，结合大小关系和已知条件可表示出所有零点，进而通过列举法求得乘积集合的元素个数. 【详解】注意到 若是的一个零点，则也是的零点. 这说明零点关于互为倒数. 由于，显然. 又因为，因此五个零点均为正数. 由五个零点互为倒数且知，，，，即. 设，则由得. 代入倒数关系得，. 此时五个零点构成的集合为. 集合中的元素() 共有个，分别为：，，，；，，；，；. 去重后. 由于，上述个元素互不相同，故的元素个数为. 二．选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由充分不必要条件的定义逐项验证求解即可. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误 由得，能推出，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 若不成立，故充分性不成立， 若不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； ，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，且存在，，使得，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先用降幂公式、二倍角公式与辅助角公式把 化为正弦型函数，再逐项判断：A 看最小正周期，B 由 的范围求相位的范围，C、D 利用 的两解关于直线 对称. 【详解】. 对于 A， 的最小正周期 ，A 错误. 对于 B，当 时，. 因为 ，，，所以 在 上的值域为 ，B 正确. 对于 C，令 ，当 时，. 的图象在区间 内关于直线 对称，方程 恰有两解 ，，且 . 又 ，，所以 ，解得 ，C 正确. 对于 D，由 得 ，结合 与 知 . 此时 ，又 ，所以 ，D 正确. 11. 已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. 4是的一个周期 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据题意条件相互转换求得函数的周期，再利用周期，对称的性质逐项求解即可. 【详解】对于C选项，由得， 代入得， 又因为的图像关于直线对称，则，于是， 令，得到即 可得，所以的周期为4. 从而的周期也为4. 对于B选项，由，令换为，得， 结合对称轴得， 于是，所以图像关于对称. 对于D选项，由，及得， 由对称性且得，于是. 因此一个周期内的和为， 又，所以. 对于A选项，，， 若关于对称，则，矛盾. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是纯虚数，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】， 若是纯虚数，则，解得. 13. 已知，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】由，， 则， 故，， ， 由，所以. 14. 已知平面单位向量，满足．若对任意单位向量，不等式与中至少有一个成立，则实数的最小值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】条件"对任意单位向量 ， 与 中至少有一个成立"的几何意义是：单位圆上的任意一点，至少落在以 的终点为圆心、半径为 的圆与以 的终点为圆心、半径为 的圆的并集之内. 【详解】 由 ，两边平方得 ， 其中 为 与 的夹角，解得 ，. 如图建立坐标系，令 ，则由夹角 得 . 单位圆上一点 ，到两圆心的距离平方分别为 ， . 要使单位圆上每一点至少被一个圆覆盖，只需保证单位圆上离两圆心均最远的临界点到两圆心的距离不超过 . 令两距离相等，即， 化简得 ，即 .结合几何位置取 ，此时 ，. 代入得， . 故该临界点到两圆心的距离均为 .若 ，则此点不满足任何一个不等式，与题设矛盾. 综上， 的最小值为 . 【点睛】"至少一个成立"的向量不等式问题，本质是圆覆盖问题，找两圆覆盖边界的交点（临界点）是求最小半径的关键。 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件． （1）求； （2）若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 【解析】 【详解】（1）从5架无人机中随机抽取2架共有种等可能的抽法，恰抽到1架甲种无人机的抽法有种，所以 ． （2）由（1）及随机抽样的等可能性， ，，． 的所有可能取值为0，1，2． 表示“抽到的2架都是甲种无人机且都试飞合格”，故 ． 有两种情形：①恰抽到1架甲种无人机且该机合格（另一架为乙种无人机）；②抽到的2架都是甲种无人机且恰有1架合格．所以 ． 由对立事件得． 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望 ． 16. 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 【答案】（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在等边中，，则. 由（1）知，平面，因为平面，所以. 在中，，则. 在中，，所以. 如图，以为坐标原点，为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 设，则，， 所以，即 设为平面的一个法向量， 因为，， 由，得，取，得. 记直线与平面所成角为，则， 所以， 整理得，解得或. 17. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为12，原点到短轴端点与焦点连线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在轴上的定点，使得的内心在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义，可知的周长为，从而求得，再由点到直线的距离公式求出原点到短轴端点与焦点连线的距离，列出关于，的方程，然后结合离心率范围确定，的取值，从而求得椭圆方程； （2）由于可能存在定点在轴上，使得的内心在轴上，此时轴平分，则斜率满足，设出与直线方程，其与椭圆方程联立后，结合韦达定理代入，即可求得值，从而求得点坐标． 【小问1详解】 由椭圆的定义，可知的周长为，得． 取短轴端点，焦点，则直线：， 原点到该直线距离为． 由题意可得，则． 联立，解得或， 当时，离心率； 当时，离心率（舍去）． 故，椭圆的方程为． 【小问2详解】 若的内心在轴上，则轴平分，故斜率满足． 设定点，易知直线的斜率不为0． 设：，，， 联立， 消元整理，得． 恒成立， 由韦达定理，得，， 由，得， 代入，，整理，得， 所以，化简，得． 要对任意实数成立，则，解得， 综上，存在定点符合题意． 18. 在中，，为边上一点，且，. （1）若，求： ①； ②的面积； （2）求的取值范围. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）（i）已知，，可求得的大小；在中，利用正弦定理可得，即可得；（ii）根据已知边、角关系，先求出，的长度，再利用三角形面积公式计算的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，，则，且为锐角， 在中，由正弦定理得，解得， 且，可得，则； （ii）因为，，， 所以， 又因为，可得. 且， 则， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， 则， 因为，则，且， 可得 ， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 19. 对实数，定义． （1）求； （2）证明：函数在上严格递增； （3）设，在曲线上依次取点，其中．记曲线在区间上的图象与弦的最大铅直距离为．求的最小值，并确定此时的所有． 【答案】（1） （2）因为，，， 令，，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 因为，则，可得，， 所以，且，可得， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则在处取得最大值，所以． 设，，则， 设，，则 可知在内单调递减，则， 即，可知在内单调递减， 又因为，且在内单调递减， 所以在上严格递增． （3），． 【解析】 【分析】（1）记，．可得，，求导，利用导数判断原函数单调性和最值，即可得结果； （2）求导，利用导数判断的单调性和最值，可得，设，，利用导数结合复合函数单调性分析证明； （3）令，可得，结合（2）知严格递增，可得，即可得结果. 【小问1详解】 记，． 当时，则，，， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则在处取得最大值， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，在第个区间中作代换， 则曲线与弦的铅直距离为，故． 又因为，所以至少有一个． 由（2）知严格递增，因此． 当且仅当时等号成立． 此时．故，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $