湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段考试数学试卷

2026年下学期高二年级第一次阶段考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B D B A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中第14小题第一个空2分，第二个空3分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为F为的中点，结合已知坐标有， 则； （4分） （2）由，，，由，， 知是直角三角形．又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （9分） （3）由于D，E分别为，的中点，所以是的中位线，则，所以， 故直线的斜率为． （13分） 16．（1）设直线m的方程为，直线m与l之间的距离为，解得或，所以直线m的方程为或． （2）如图，设点关于直线l的对称点为， 则解得即，而， 当且仅当，，三点共线时取等号，直线的方程为，即，由解得即，，三点共线时，点P的坐标为，所以取得最大值时点P的坐标为． 17． （1）证明：在矩形中，，，，，．∵平面平面，平面平面， 平面，平面，平面，． （2）如图，取的中点O，连接，作，交于点F，则， ∵平面平面，平面平面，，平面， 平面，，以O为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，设平面的法向量为，则令，则， 设，即，则，设直线与平面所成的角为，则，解得，∴存在点P，使直线与平面所成角的正弦值为，此时． 18．（17分） （1）在圆台中，，分别为上下底面的圆心，有平面，由于平面，所以．且，，平面，， 所以平面． （4分） （2）由圆台体积公式可得解得． （6分） 由于，，两两相交且垂直，则以为一组正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， 因F为的中点，则． （8分） （ⅰ）设，则．则，， 由于，即存在，使得， 即，解得，，，即， （10分） 所以半径． （11分） （ⅱ）由于平面， 不妨设平面的一个法向量． （12分） 设平面的一个法向量， 有，即，故可取 （14分） 设平面与平面的夹角为， 则， （16分） 即平面与平面夹角的余弦值为． （17分） 19．（17分） 【解析】（1），，设是平面的一个法向量， 则令，得，，所以． （2分） 设点是平面内任意一点，，由，得， 所以平面的方程为． （4分） （2）方程经过点，，，，，， 则集合所围成的几何体为如下图的正八面体． （6分） 则的内切球球心为，半径为点到平面的距离． 由，，得． 由 （8分） 得，则，解得． 所以的内切球的表面积为． （10分） （3）记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点，，则有 因为，， 所以． 所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量． 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为； 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为． 由已知得，， 设为平面的一个法向量，则 令，得，，所以． 设直线的一个方向向量为，则 令，得，，所以． 因为平面， 所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期临澧一中高二年级第一次阶段考试 数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 3．经过三点，，的圆的面积（ ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，点E为棱的中点，点F为棱上靠近C的三等分点．若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知点，点P为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 6．已知的三个顶点，，，将绕顶点A逆时针旋转，此时边上的中线所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 7．某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地(边长为8米)，如图所示，E，F，G分别是边，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆H，圆H与直线相切于点E．比赛中，机器人从F点出发，经过线段上一点，然后到达圆H，则机器人的最短路程是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．正四棱锥底面边长与侧棱长均为2，为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（ ） A．空间中不相交的两条直线是异面直线 B．已知，，，，是空间中的任意五点，则 C．若两个非零向量，满足，则，，，四点共线 D．若，，，四点共面，且点，，不共线，则存在，使得，且 10．下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D．设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围 11．在长方体中，，底面是边长为3的正方形，，则下列选项正确的有（ ） A．，三棱锥的体积是定值 B．当时，存在唯一的使得平面 C．为棱的中点，当时，的周长取最小值 D．当直线与所成角的余弦值为时，的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点的直线l在x轴、y轴上的截距之比为，则直线l与两坐标轴围成的三角形面积为________． 13．正四棱柱中，与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为________． 14．数学家莱昂哈德·欧拉在他的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，其欧拉线方程为，则的外接圆半径________，顶点C的坐标为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的顶点，，，F为的中点． （1）求直线的斜率； （2）判断的形状； （3）设D，E分别为，的中点，求直线的斜率． 16．(15分)已知直线l：． （1）若直线m与l平行，且m与l之间的距离为，求直线m的方程； (2)若P为l上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 17．(15分)如图1，在矩形中，，E为的中点，现将沿折起，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，点P为棱上一点． （1）求证：； （2）是否存在不与点D重合的点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18．（17分）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为．为下底面圆周上一点，，为的中点，连接． （1）证明：平面； （2）若在下底面以为圆心，以为半径的圆上存在一点，使得． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分）在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似地，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． （1）若点，，，求平面的方程； （2）若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积， （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $