精品解析：湖南省永州市第一中学2026-2027学年高二上学期11月核心素养测试数学试题

2026年高二年级11月核心素养测试 数学 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 样本数据4，5，9，7，2的第60百分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 3. 已知直线，向量是该直线的一个方向向量，则实数（ ） A. B. 10 C. D. 4. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 5. 已知为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆在第一象限的一个交点为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 点坐标为 B. C. 右焦点坐标为 D. 椭圆的方程为 6. 三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A. B. C. D. 7. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 若函数有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列选项中正确的有（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知圆：，，，下列说法正确的有（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线：的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 圆上存在点，满足 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：和下部分曲线：（，．）构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为（） B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则______ 13. 已知向量，，共面，则实数的值是__________． 14. 设点 ， 为椭圆的右焦点，点为椭圆上动点，当 取最小值时，点 的坐标为 __________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）已知点，若圆上存在点满足（），求实数的取值范围． 16. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次竞赛情况，年级从中抽取了名学生的成绩进行统计.将成绩进行整理后，分为五组：，，其中第组频数是第组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）已知落在的平均成绩是，标准差是，落在的平均成绩为，标准差是，求两组成绩的总平均数和总方差； （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 18. 截止到2026年7月1日，张雪机车在2026年世界超级摩托车锦标赛WSBK中已实现六冠，标志中国摩托车首次在顶级赛事上打破欧美日品牌长期垄断.为纪念这一历史性突破，特将下列函数命名为“ZX函数”：对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数为“ZX函数”. （1）已知，判断是否是“ZX函数”，并说明理由： （2）已知是定义在上的“ZX函数”，且在上是增函数，判定并证明在上的单调性； （3）若是“ZX函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二年级11月核心素养测试 数学 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 样本数据4，5，9，7，2的第60百分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】样本数据为， ， 所以第百分位数为. 3. 已知直线，向量是该直线的一个方向向量，则实数（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线方向向量与法向量垂直的性质，通过向量点积为0求解参数. 【详解】直线的一个法向量为， 已知是该直线的方向向量， 可得，即，解得. 4. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的并集公式和独立事件的定义求解.根据且可以判断事件与互斥但不对立；根据且可以判断事件与对立；根据判断事件与独立. 【详解】，，， ， ，， ，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 5. 已知为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆在第一象限的一个交点为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 点坐标为 B. C. 右焦点坐标为 D. 椭圆的方程为 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线性质结合面积求出c，得到A点坐标，代入椭圆方程联立解出参数，逐一验证选项． 【详解】由题意知，是直角在点的直角三角形，是中点，由直角三角形的性质得， ， 直线倾斜角为，故点， 则，解得， 故，故A正确； 把代入椭圆方程得，解得， 故，故B错误； 右焦点坐标为，故C正确； 椭圆方程为，故D正确． 6. 三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得三棱锥为正三棱锥，即可得三棱锥的高，设点在底面上的射影为，即可得，进而可得点的轨迹及其长度. 【详解】   如图所示， 由，， 可知三棱锥为正三棱锥， 设中点为， 则，，， 设点在底面上的射影为， 则平面，， 又为内部及边界上的动点，， 所以， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内部及边界上的部分， 如图所示，    ， ， 即，， 所以点的轨迹长度为. 7. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点，然后结合圆的切线性质计算点引出的切线长即可. 【详解】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线. 由题意得，解得， 即， 设圆的圆心为C，则，，， 故， 根据对称性，光线经过的路程即为. 8. 若函数有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断分段函数在部分单调且仅有一个零点，因此在区间上需有3个零点，将区间代入，令其包含正弦函数的三个零点但不包含第四个，得到关于的不等式组，通过求解该不等式组确定的取值范围，结合单调性与零点分布求出的取值范围. 【详解】函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，而， 则存在，使得，函数在上有个零点， 由函数有4个零点，则函数在有个零点， 由，得， 则，解得，所以正数的取值范围是． 故选：A 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列选项中正确的有（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】A利用基本不等式即可；B利用“1”的妙用把2代换，再利用基本不等式即可；C平方再利用基本不等式即可；D把化成，相乘，再利用基本不等式即可. 【解答】A项：由得， 当且仅当时取等号，即的最大值为（当时，无最小值），A错误； B项：因为，， 所以， 当且仅当（即，）时取等号，B正确； C项：， 所以，当时取等号，C正确； D项：由，得， 又因为，， 故， ， 所以，当且仅当，即，时取等号，D正确． 10. 已知圆：，，，下列说法正确的有（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线：的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 圆上存在点，满足 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，即，令，即直线过定点， 又，点在圆内，所以直线与圆相交，必有两个交点，正确； 对于B，圆心到直线的距离为，圆的半径为2，为圆心到直线距离的两倍，所以圆上最多有三个点到直线的距离为1，错误； 对于C，圆的圆心为，半径为， 两圆心距离为5，当两圆有三条公切线时，两圆外切时满足，解得，正确； 对于D，设，若，则，结合化简可得，正确. 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：和下部分曲线：（，．）构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为（） B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或， 直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3，故C不正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则______ 【答案】 【解析】 【详解】， ， ， 所以， 已知， 所以. 13. 已知向量，，共面，则实数的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由空间向量共面定理列出等量关系求解. 【详解】由向量，，共面，设， ，，. 实数的值为. 14. 设点 ， 为椭圆的右焦点，点为椭圆上动点，当 取最小值时，点 的坐标为 __________． 【答案】 【解析】 【详解】由题椭圆中， 离心率 记点到右准线的距离为 则根据圆锥曲线的统一定义，得 可得，从而得到， 由此可得：当 同时在垂直于右准线的一条直线上时，取得最小值，此时的纵坐标与的纵坐标相等，即 ，代入到椭圆方程，解得 而点在第一象限，可得 即答案为. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）已知点，若圆上存在点满足（），求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据相切求出，得到圆心坐标以及半径，即可表示出圆的方程； （2）设，由得到，圆上存在点等价于直线与圆有交点，利用点到直线的距离公式得到，求出的范围，进而求出的范围. 【小问1详解】 设圆心，由垂直于直线， 得，解得，故． 所以半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 设，，， 则， 由圆的方程得， 代入得，即， 设，直线与圆有交点，故，解得， 由，得，所以，所以. 16. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次竞赛情况，年级从中抽取了名学生的成绩进行统计.将成绩进行整理后，分为五组：，，其中第组频数是第组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）已知落在的平均成绩是，标准差是，落在的平均成绩为，标准差是，求两组成绩的总平均数和总方差； （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 【答案】（1）， （2）总平均数是62，总方差是26． （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图面积为1计算可求得结果； （2）利用样本平均数和方差求总体平均数和方差公式直接计算可得结果； （3）由对立事件、独立事件乘法公式计算可求得结果. 【小问1详解】 由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又， 解得， 【小问2详解】 由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故 ， ， 所以两组成绩的总平均数是，总方差是． 【小问3详解】 记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面，所以平面. （2） （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角. （3）假设在棱上存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为坐标原点，以，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，. 设平面的法向量， 则，令，则，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 即平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由题，，，， 则，， 假设存在这样的点，设， 则， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，；当时，， 故存在一点满足条件，线段的长为或. 18. 截止到2026年7月1日，张雪机车在2026年世界超级摩托车锦标赛WSBK中已实现六冠，标志中国摩托车首次在顶级赛事上打破欧美日品牌长期垄断.为纪念这一历史性突破，特将下列函数命名为“ZX函数”：对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数为“ZX函数”. （1）已知，判断是否是“ZX函数”，并说明理由： （2）已知是定义在上的“ZX函数”，且在上是增函数，判定并证明在上的单调性； （3）若是“ZX函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由. 【答案】（1）不是， 理由如下： 由于不恒成立， 所以不是“函数”. （2）函数在上单调递增. 理由如下： 由函数是定义在上的“”函数，得，即， 任取，则， 由，得，由在上单调递增，得， 则，即， 所以在上单调递增. （3），没有正整数解; 理由如下： 当时，，则当时，， ，当时，，解得， 所以函数的解析式为； 假设方程有正整数解， 则， 要使上式能成立，则必有， 所以， 明显为单调递增函数，又当时，， 当时，， 故方程没有正整数解. 【解析】 【分析】（1）根据给定函数，利用“函数”的定义直接判断. （2）利用函数单调性定义判断并推理证明. （3）当时，此时，当时，，即可得到再求的整数解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】（1） （2）(ⅰ) (ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【小问1详解】 由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 (ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $