精品解析：云南大理白族自治州大理市大理新世纪中学初中部2026-2027学年度九年级上数学期中考试卷

2026-2027学年度九年级上数学期中考试卷 本卷满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. “无体育，不清华；无运动，不西联．”下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 4. 圆的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 7. 如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把绕点C顺时针旋转得到，交于点D，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数图像与x轴有2个交点 D. 当时，y随x的增大而减小 12. 在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 13. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 14. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（共8分） 16. 抛物线的对称轴是_______． 17. 从宋代开始，折扇逐渐进入国人的生活，由于折扇扇面多为纸质，能够绘制细腻的书面，因此在近千年来折扇广泛受到中国人特别是古代文人的喜爱，逐渐成为文人精神和追求的象征．如图，是一个折扇作品，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是______．（结果用表示） 18. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气体压强为时，的值是___________． 19. 在平行四边形中，如，，，则平行四边形的周长是：___________． 三、解答题（共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，求的值和另一个根． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． （1）求直线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，轴，交于点，求的最大值． 24. 如图，直线与反比例函数的图象交于两点，、两点的横坐标分别是和． （1）求点坐标与的值； （2）在轴上有一点，使的面积是，求点的坐标； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 25. 云南鲜花饼是“云品出滇”的代表性伴手礼．某超市购进一种品牌的鲜花饼，每盒进价是50元，规定每盒的售价不低于60元．试销后发现，当每盒售价定为60元时，日销售量为600盒，每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． （1）当每盒的售价为_________元时，日销售量为300盒． （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大日销售利润是多少？ （3）小明说：“当日销售利润不低于10000元时，每盒售价的范围是．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 26. 如图，已知四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接、，连接交于点F，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长为40，，求的面积． 27. 如图，已知抛物线经过点，与轴的交点，其顶点为．设是抛物线与轴一个交点的横坐标． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求的面积． （3）记，求的值，并比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度九年级上数学期中考试卷 本卷满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. “无体育，不清华；无运动，不西联．”下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项D是轴对称图形，其余选项图形均不是轴对称图形，故选项D符合题意． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，分别对A、B、C、D各选项的方程进行判断即可得答案． 【详解】解：A. 只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，故A正确． B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故B错误． C. 中未知数最高次数为3，不是一元二次方程，故C错误． D. 含有两个未知数，且不是整式方程，不是一元二次方程，故D错误． 3. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用已知点求出k的值，再根据k的符号判断函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限． 4. 圆的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小来确定，当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴点到圆心的距离与圆的半径相等， ∴点在上． 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得，再向下平移3个单位，得． 6. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 【答案】C 【解析】 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 7. 如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆周角定理求出，然后根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵，弦， ∴， 由圆周角定理得：， ∴. 8. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】解：当时，设 将，两点代入得， 解得， 于是， 当时，， 当时，设，将代入得：， 于是， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题． 故选：C． 9. 如图，把绕点C顺时针旋转得到，交于点D，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用旋转的全等性质，直角三角形的两个锐角互余性质计算即可． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的全等性质，直角三角形的两个锐角互余性质，熟练掌握性质是解题的关键． 10. 若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长的性质，结合弧长公式列方程求解母线长． 【详解】解：设该圆锥的母线长为 ∵圆锥底面半径为 ∴圆锥底面周长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图圆心角为直角，即， ∴ 解得 ∴该圆锥母线长为． 11. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数图像与x轴有2个交点 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 12. 在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合图形，求出，，再根据勾股定理计算出即可得菱形的边长. 【详解】解：如图， 设菱形的对角线与交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴. ∴菱形的边长为5. 13. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵中， ∴该反比例函数图象位于第一、三象限． 14. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ， ∵由折叠的性质可知：， ， 在和中 ， ， ， 设：，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小．  【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 二、填空题（共8分） 16. 抛物线的对称轴是_______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 根据抛物线对称轴为直线 求解． 【详解】解：∵ ， 抛物线对称轴为直线 ． 故答案为：直线 ． 17. 从宋代开始，折扇逐渐进入国人的生活，由于折扇扇面多为纸质，能够绘制细腻的书面，因此在近千年来折扇广泛受到中国人特别是古代文人的喜爱，逐渐成为文人精神和追求的象征．如图，是一个折扇作品，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是______．（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式，用大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 ． 故答案为：． 18. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气体压强为时，的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意设出反比例函数解析式，利用待定系数法求出比例系数，确定函数解析式，再将代入解析式求出的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为． 由图象可知，函数图象经过点． 将代入，得． 解得． 函数关系式为． 当时，． 解得． 19. 在平行四边形中，如，，，则平行四边形的周长是：___________． 【答案】52或44 【解析】 【分析】本题需构造直角三角形，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，再根据平行四边形对边相等的性质计算周长． 【详解】解：过点A作于点E， ，，， 在中，， ， 由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得或， 平行四边形对边相等，周长， 当时，； 当时，． 三、解答题（共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）移项后，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解： 移项得， 因式分解得，，即， ∴或， 解得，． 21. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，求的值和另一个根． 【答案】的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系计算的值和另一根即可． 【详解】解: 设方程的另一个根为. 根据根与系数的关系得： 解得： 答：的值为，方程的另一个根为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称与坐标，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据横坐标不变，纵坐标变相反，确定各点的对称的位置，描点即可； （2）根据（1）中的图形解答即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标分别为； 【小问3详解】 解：的面积为． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． （1）求直线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，轴，交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）首先确定两点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先确定为等腰直角三角形，进而可得，故当的值最大时，的值也最大；设，则，进一步可得，即可确定答案． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，得， ， 令，得， 解得， ∵点B在点A右侧， ， 设直线的表达式为， 将代入， 得，解得， 直线的表达式为． 【小问2详解】 解：， ， 为等腰直角三角形， ， ∵轴，轴，， ， ， ， 当的值最大时，的值也最大， 设，则， ， 当时，的值最大，最大值为， 的最大值为． 24. 如图，直线与反比例函数的图象交于两点，、两点的横坐标分别是和． （1）求点坐标与的值； （2）在轴上有一点，使的面积是，求点的坐标； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）在直线解析式中令可求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求； （2）设直线与轴交于点，先求出，设，则，得到关于的方程，解方程即可得解； （3）结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：令，则， ， 将代入得 解得； 【小问2详解】 设直线与轴交于点， 令，则， ， 设， ， 的面积是， ， 即， 解得或， 点的坐标为或； 【小问3详解】 直线与反比例函数的图象交于两点，、两点的横坐标分别是和， 关于的不等式的解集为或． 25. 云南鲜花饼是“云品出滇”的代表性伴手礼．某超市购进一种品牌的鲜花饼，每盒进价是50元，规定每盒的售价不低于60元．试销后发现，当每盒售价定为60元时，日销售量为600盒，每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． （1）当每盒的售价为_________元时，日销售量为300盒． （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大日销售利润是多少？ （3）小明说：“当日销售利润不低于10000元时，每盒售价的范围是．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）90 （2）当每盒售价定为85元时，日销售利润最大，最大日销售利润是12250元 （3）解：不正确，理由： 当时，， 解得，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当日销售利润不低于10000元时，每盒售价的范围是． 小明的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）根据“日销售量为300盒”列出一元一次方程求解； （2）首先表示出日销售量，然后表示出日销售利润，然后利用二次函数的性质求解； （3）将代入求出，，然后根据二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得 ∴当每盒的售价为90元时，日销售量为300盒； 【小问2详解】 解：由题意知，， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值为12250． 答：当每盒售价定为85元时，日销售利润最大，最大日销售利润是12250元； 【小问3详解】 略 26. 如图，已知四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接、，连接交于点F，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长为40，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，最后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； （2）根据菱形四条边相等，可得的长度，结合勾股定理，可求得，算得，接着证明，可得，从而推出，最后结合中线的性质，可得，最后求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形的周长为40， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 如图，已知抛物线经过点，与轴的交点，其顶点为．设是抛物线与轴一个交点的横坐标． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求的面积． （3）记，求的值，并比较与的大小． 【答案】（1）． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）把、两点的坐标分别代入，先得、再得； （2）配方求顶点的坐标，以为底、点到轴的距离为高求面积； （3）是抛物线与轴交点的横坐标，故，用它把逐次降为一次式，再整体代入约分；比较时把写成． 【小问1详解】 解：抛物线与轴的交点为， ． 抛物线经过点， ， ， 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：， 顶点的坐标为． ， ，点到轴的距离为， ． 【小问3详解】 解：是抛物线与轴一个交点的横坐标， ，即，且． ． ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $