精品解析：湖南永州市东安县2026-2027学年九年级上学期11月期中质量监测数学试题

2026年东安县期中质量监测九年级上期数学科目数学（试题卷） （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新教材湘教版九年级上册数学第1章~第2章 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论． 【详解】解：A．由可得，，不合题意； B．由可得，，符合题意； C．由可得，，不合题意； D．由可得，，不合题意； 故选：B． 2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按成比例线段的给定字母顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵线段，，，为成比例线段， ∴． ∵，，， ∴． 3. 如图，直线，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 4. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意，得设， 在中，根据勾股定理，得， ∴． 5. 若，则锐角α的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角（如、、）的三角函数值是解题的关键．先通过等式变形求出的值，再根据特殊角的三角函数值，结合锐角条件确定角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵为锐角，且， ∴， 故选：C． 6. 在中，，，，则的长为（） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 7. 已知公式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把转化为，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 8. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，由相似三角形的判断方法，即可判断．关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、，，故该选项不符合题意； B、，，故该选项不符合题意； C、，，故该选项不符合题意； D、由可得，，，故该选项符合题意； 故选：D． 9. 如图，在中，，分别是边，的中点．下列结论不正确的是（） A. B. C. 的周长＝的周长的一半 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线定理得到，，判定，利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方逐一判断． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，故A正确； ∵， ∴，故B正确； ∵的周长的周长， ∴的周长的周长，故C正确； ∴，， ∴， ∴，故D错误． 10. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E,点D，当点D在线段上时，连接，若点D为的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长，相交于点P，过点C作于点H，先根据图形旋转的性质及等腰三角形的性质证明，然后证明，求得，，再根据三线合一性质求得，，即可根据勾股定理求得答案． 【详解】解：延长，相交于点P，过点C作于点H， 绕点C顺时针旋转到， ，，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点D为的中点， ， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， 在中，． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 已知实数，满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，由可得，将其代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 如图，四边形和相似，则________． 【答案】##81度 【解析】 【分析】由相似多边形的性质得出，再由四边形的内角和即可得解． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． 13. 如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为⁠___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心的两个图形，对应点的坐标比等于位似比．由点和点的坐标求出位似比，再利用位似比计算点的对应点的坐标． 【详解】解：与是以原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为， 位似比． 点的坐标为，且点是点的对应点， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 14. 如图，在中，，，，则⁠___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对边相等的性质得出 ，，过点作于点，利用锐角三角函数定义求出高，最后根据平行四边形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在直角三角形中，， ∴， ∴． 15. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为___________米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 16. 若规定：锐角，满足，则称锐角，互为六分平角．在中，，互为六分平角，且，如图，则⁠___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作 交 的延长线于点 ，根据新定义得出 ，利用三角形内角和定理求出 ；结合已知边长比例和勾股定理求出与 的关系，最后利用正弦定义求解． 【详解】解：过点 作 交 的延长线于点 ，    ， 互为六分平角， ， ． 设 () ， ， ， 在 中，，， ， ， ． 在 中，由勾股定理得 ， ． 三、解答题（共8小题，计72分） 17. 计算：； 【答案】6 【解析】 【分析】先计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再去括号，计算乘法，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 已知，，为的三边长，且，，求三边的长． 【答案】、、 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，三角形的周长，通过设比例系数，将各量转化为含的表达式是解题关键． 采用等比设法，设（），将三边表示为，，，结合三角形周长列方程，求出，进而得到三边长度． 【详解】解：设（），则，，， ， ，即， 解得， ，，， 故三边的长分别为、、． 答：、、． 19. 在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【解析】 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求，再结合锐角三角函数求解未知边长． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． （1）请画出； （2）与的周长之比为______； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 【答案】（1） 即为所求： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据位似的性质解答即可； （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，与位似，且位似比是． ∴与的周长之比为 【小问3详解】 解：∵，与位似，且位似比是． 又∵点M的坐标为 ∴点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 21. 如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为，求乙楼的高（参考数据：，，）． 【答案】乙楼的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 22. 如图，A是直线上一点，，过点B作于点D，过点C作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明，即可得出结论； （2）先由勾股定理求出，再结合相似三角形的性质得出比例式，再代入相关数值即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，证明是解答本题的关键． 23. 小明和爸爸去鱼塘钓鱼，如图2，斜坡的坡度为，长为8米，钓竿与水平线的夹角是，其长为7米，若钓竿与钓线的夹角是． （1）求点到水平面的距离； （2）求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）点到水平面的距离为4米． （2）浮漂与斜坡下端之间的距离为2米． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）过点的水平线交于点，过点作于点，得出四边形为矩形，得出相等边，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴点到水平面的距离为4米． 【小问2详解】 解：如图所示，设过点的水平线交于点，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴浮漂与斜坡下端之间的距离为2米． 24. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，则的值为______． （2）如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接． ①的长度为______． ②求证：． （3）若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①； ②证明：如图1，过点作于点， 由旋转可知，， ， ， ， ， 平分 又，， 由旋转可知，， ，， ， ； ②略 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到； （2）①根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到； ②如图1，过点作于点，由旋转可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分根据角平分线的性质得到由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到； （3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得 【小问1详解】 解：由旋转的性质知，，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：四边形是矩形， ，， ， ， 故答案为：； ② 【小问3详解】 解：的长为或，理由如下， 由旋转得，，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， 为等边三角形， , , , 又, 为等边三角形． 如图2，令与的交点为， ，， ， ， 如图3，同理可得， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年东安县期中质量监测九年级上期数学科目数学（试题卷） （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新教材湘教版九年级上册数学第1章~第2章 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 4. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 若，则锐角α的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则的长为（） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 7. 已知公式，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别是边，的中点．下列结论不正确的是（） A. B. C. 的周长＝的周长的一半 D. 10. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E,点D，当点D在线段上时，连接，若点D为的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 已知实数，满足，则的值为_____． 12. 如图，四边形和相似，则________． 13. 如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为⁠___________． 14. 如图，在中，，，，则⁠___________． 15. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为___________米． 16. 若规定：锐角，满足，则称锐角，互为六分平角．在中，，互为六分平角，且，如图，则⁠___________． 三、解答题（共8小题，计72分） 17. 计算：； 18. 已知，，为的三边长，且，，求三边的长． 19. 在中，，，，解这个直角三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． （1）请画出； （2）与的周长之比为______； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 21. 如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为，求乙楼的高（参考数据：，，）． 22. 如图，A是直线上一点，，过点B作于点D，过点C作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 小明和爸爸去鱼塘钓鱼，如图2，斜坡的坡度为，长为8米，钓竿与水平线的夹角是，其长为7米，若钓竿与钓线的夹角是． （1）求点到水平面的距离； （2）求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 24. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，则的值为______． （2）如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接． ①的长度为______． ②求证：． （3）若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $