精品解析：广东省深圳市光明区第二中学等校2026-2027学年八年级数学第一学期学科素养期中试卷

2026—2027学年第一学期学科素养期中诊断试卷 八年级数学（第一章~第四章） 说明：全卷共5页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列实数中，为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（　　） A. B. C. D. 5. 已知是关于的正比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 0 6. 如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 甲,乙两人以相同路线前往距离单位10的培训中心参加学习.图中分别表示甲，乙两人前往目的地所走的路程s随时间(分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8后遇到甲;④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 的平方根是___________． 10. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是_____. 11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值是________． 12. 如图，点是直线上一动点，当线段最短时，的长为______． 13. 四边形是边长为4的正方形，点E在线段上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，如图，当时，则______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题12分，第15题5分，第16题7分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分） 14. 计算： （1） （2）； （3）． 15. 已知：点，根据下列条件，解答下列各题． （1）当点在轴上时，写出点的坐标为 ； （2）若点的坐标是，且轴，求点坐标． 16. 按要求完成作图． （1）作关于轴对称的； （2）的面积为 ； （3）在轴上找出点，使．最小，在图中描出满足条件的点（不要求写出作图步骤，只保留作图痕迹）． 17. 某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少？ （2）若绿地铺设费用为30元每平方米，请问铺设这块绿化用地的费用是多少？ 18. 为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 （1）户居民本月用水量为，求户居民本月的水费为 元． （2）设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． （3）若户居民本月的水费为54元，求户居民本月用水量． 19. 【探索新知】著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个图形的面积从而得到等式或方程的方法，我们称之为“等面积法”． （1）图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，梯形的面积可表示为： ，也可以表示为： ，由此可以推出； （2）【方法迁移】如图，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得．求边上的高； （3）【方法拓展】如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点． （1）直接写出点的坐标 ，并求直线的函数表达式（写出解答过程）； （2）若点是线段上一点，且，求点的坐标； （3）若点是轴上方一个动点，且时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒），请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期学科素养期中诊断试卷 八年级数学（第一章~第四章） 说明：全卷共5页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列实数中，为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简含二次根式的选项，再根据无理数的定义判断． 【详解】解：A.是分数，属于有理数； B.，是整数，属于有理数； C.3.14是有限小数，属于有理数； D.，是开方开不尽的数，为无理数． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义解答A，再根据二次根式的加减法计算B，然后根据二次根式的乘除法解答C，D即可． 【详解】解：因为和不是同类二次根式，不能合并，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：∵ A中为分数，B、D中含无理数，均不是正整数， ∴排除A、B、D； ∵7,24,25均为正整数，且， ∴ C选项符合要求． 4. 如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案． 【详解】解：∵“将”位于点，“象”位于点 ∴如图所示，“炮”位于点． 5. 已知是关于的正比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，指数为1，系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴且， 解得m=-1， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 6. 如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质． 根据、两种情况作答即可． 【详解】解：当时，经过一、三象限，经过一、二、三象限，无符合的选项； 当时，经过二、四象限，经过一、三、四象限，D选项符合； 故选：D． 8. 甲,乙两人以相同路线前往距离单位10的培训中心参加学习.图中分别表示甲，乙两人前往目的地所走的路程s随时间(分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8后遇到甲;④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是读函数的图象，首先要理解横纵坐标表示的含义，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，理解问题叙述的过程，能够通过图象知道函数是随自变量的增大而增大，然后根据图象上特殊点的意义进行解答: 【详解】①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确； ②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度=10÷40÷60=15千米/时； ③设乙出发x分钟后追上甲，则有：×x=×（18+x），解得x=6，乙第一次遇到甲时，所走的距离为：6×=6km，故③错误； ④由③得知正确． 因此正确的结论有三个：①②④．故选B 考点：函数的图像． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方根，准确把握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，结合平方运算的结果特征，得出正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是_____. 【答案】 【解析】 【分析】方程即，即一次函数与x相交，求出交点横坐标即可. 【详解】由图可知，函数与x轴相交于（3,0），与y轴相交于（0，-2）.当时，，关于的方程的解是. 故答案为 【点睛】本题考查了直线方程与坐标轴的相交，相交点坐标为（a，0），，.需要注意的是，题干中要求关于的方程的解，即解的形式要写成. 11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值是________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征列方程求出m、n的值，再代入代数式计算的结果． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，即，， 解得，， ∴． 12. 如图，点是直线上一动点，当线段最短时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求出AB的长度，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，利用三角形的面积列式即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得， ∴点A、B的坐标是，， ∴， 根据垂线段最短的性质，时，最短，如点所示 此时，， 即， 解得，即． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了一次函数的问题，主要利用勾股定理，垂线段最短的性质，根据直线解析式求出点A、B的坐标是解题的关键． 13. 四边形是边长为4的正方形，点E在线段上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，如图，当时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，属于基础题，作辅助线构建直角三角形全等是解决问题的关键．过作交的延长线于点，作于，则，，证明，得出，；求出，，由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：过作交的延长线于点，作于，如图所示： 可得四边形是矩形， 则，， ，， ， 四边形与四边形是正方形， ，， ， ，， 即点到的距离为3； ，， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题12分，第15题5分，第16题7分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分） 14. 计算： （1） （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 15. 已知：点，根据下列条件，解答下列各题． （1）当点在轴上时，写出点的坐标为 ； （2）若点的坐标是，且轴，求点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据y轴上点的横坐标为0，列方程求出的值，再代入计算得到点的横纵坐标即可解答； （2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得：， 点坐标为； 【小问2详解】 解：的坐标是，，且轴， ， 解得， 点坐标为． 16. 按要求完成作图． （1）作关于轴对称的； （2）的面积为 ； （3）在轴上找出点，使．最小，在图中描出满足条件的点（不要求写出作图步骤，只保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到对应点的坐标，再作图即可； （2）利用割补法求解即可； （3）作点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，由轴对称的性质可得，则，故当P、C、D三点共线时最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 略 17. 某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少？ （2）若绿地铺设费用为30元每平方米，请问铺设这块绿化用地的费用是多少？ 【答案】（1） （2）3420元 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）证明，得到，再求出绿地的面积，进而求出对应的费用即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 由两点之间线段最短可知，从点到点的小路的最短长度即为线段的长， 答：这条小路的最短长度是； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， （元）， 答：铺设这块绿化用地的费用是3420元． 18. 为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 （1）户居民本月用水量为，求户居民本月的水费为 元． （2）设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． （3）若户居民本月的水费为54元，求户居民本月用水量． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据A户居民本月用水量为处于超过但不超过进行计算即可； （2）根据进行求解即可； （3）先算出和的水费，结合B户居民本月的水费为54元判断出处于超过但不超过的挡位进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵A户居民本月用水量为， ∴A户居民本月的水费为： （元）； 【小问2详解】 解：∵， ∴水费为： ； 【小问3详解】 解：∵B户居民本月的水费为54元， ∴当时，水费（元）； 当时，水费（元）， ∵， ∴用水量在区间， ∴将代入得：， ， ∴B户本月用水量为． 19. 【探索新知】著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个图形的面积从而得到等式或方程的方法，我们称之为“等面积法”． （1）图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，梯形的面积可表示为： ，也可以表示为： ，由此可以推出； （2）【方法迁移】如图，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得．求边上的高； （3）【方法拓展】如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：梯形的面积为：， 也可以表示为， ∴， 即； 【小问2详解】 解：设边上的高为h，则： ， ， ∴， ∴， 即边上的高是； 【小问3详解】 解：∵是边上的高， ∴， 设，则， 在和中，根据勾股定理得： ，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点． （1）直接写出点的坐标 ，并求直线的函数表达式（写出解答过程）； （2）若点是线段上一点，且，求点的坐标； （3）若点是轴上方一个动点，且时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒），请直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出直线与y轴的交点坐标可得点A的坐标，再利用待定系数法求出对应的直线的解析式即可； （2）求出点C的坐标，再求出的面积，根据求出的面积，进而可求出点P的坐标； （3）由（2）得，则可求出，即点P在直线上；作点B关于直线的对称点，连接，则当P、C、D三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时， ∵直线过点，且点在y轴上， ∴点A的坐标为； ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）得，， ∴， ∴， ∴点P在直线上； 如图所示，作点B关于直线的对称点，连接， 则，， ∴， ∴当P、C、D三点共线时，有最小值，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴点M的运动路程的最小值为， 又∵点M的运动速度为每秒1个单位长度， ∴t的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $