精品解析：广东省“天天向上”教研体2027届高三上学期11月学情诊断训练数学试卷

“天天向上”教研体2027届高三11月学情诊断训练 （广州市玉岩中学、广州市培英中学、珠海市第二中学、人大附中深圳学校联考） 数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】由得， 故在复平面内对应的点为，位于第三象限． 2. 若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的概念求解即可. 【详解】命题的否定为：. 3. 已知，则与同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，则， 所以与同方向的单位向量． 4. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面位置关系判断ACD，利用线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理判断B，从而得解. 【详解】对于A：若，，则或与相交，故A错误； 对于B：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，若，则， 因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C：若，，则或，故C错误； 对于D：若，，则或或与相交，故D错误. 5. 已知数列，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系，归纳出数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列，进而可得数列的通项公式. 【详解】因为，，则， 又，则， 所以数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列， 由可得， 则数列的各项为， 其中奇数项的通项公式为， 偶数项的通项公式为， 所以数列的通项公式为. 故选：D 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值. 【详解】， . 故选：A 7. 已知双曲线的左顶点为，分别在的左右两支上，且轴.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设所在直线为，求与双曲线的交点坐标，再用即可求解. 【详解】 当时，代入双曲线中可得：， ，， 因，所以， 化简得：，所以，的离心率为. 8. 已知，若函数与有两个交点，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数图象交点问题转化为方程有两个不同的实数根的问题，构造函数，利用导数求出其极值点，由极小值小于即可求出的取值范围，同时验证根为正数且满足函数定义. 【详解】若函数与有两个交点，即方程有两个不同的实数根，且根为正数， 构造函数，求导得： 因为，所以，令，得， 由于，该方程有唯一解，设为， 解得：， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，在处取得极小值，也是最小值， 要使方程有两个不同的实数根，必须满足极小值， 即：， 将且代入，得：， 因为，两边同乘得：，，， 解得：，又已知，故， 当时，，从而， 此时，即极小值点为正， 又因为，且当时，， 由零点存在定理可知，在和上各有一个零点，即两个正根，满足题意， 若，此时最小值为，两图象相切于一点，只有一个交点，不符题意， 综上的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三组织了一次考试，随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. B. 估计该年级成绩的众数为70 C. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 D. 估计该年级学生成绩的平均数为76.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用各组频率之和为可判断A；根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断B；根据中位数的估计方法可判断C；根据平均数的估计方法可判断D． 【详解】根据频率分布直方图可知，，解得，A对； 由图易知成绩在分之间的人数最多，故可估计该年级学生成绩的众数为，B错； 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 故估计该年级学生成绩的中位数约为，C对； 根据频率分布直方图估计该年级学生成绩的平均数为： ， 又，代入可得平均数为，D对． 10. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用三角形内角的取值范围解不等式即可判断；对于B，利用正弦定理结合已知条件即可判断；对于C，将目标式表示成单变量形式，利用二次函数的单调性即可判断；对于D，直接举出反例即可判断． 【详解】对于A，由于， 故，解得，A正确； 对于B，由正弦定理得， 故，B正确； 对于C， 令，由得， 记，其对称轴为，故在上单调递增， 而，故，即，C错误； 对于D，当，时，， 此时，，，D错误． 11. 关于函数，则下列结论正确的是（） A. 函数有唯一零点，且 B. 当时，均有 C. 当时，均有 D. 当时，均有 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性可判断A；利用作差法及对数的性质可判断B、C；利用基本不等式及对数的性质可判断D， 【详解】已知函数，其定义域为， 求导得恒成立，所以在上单调递增， 对于A选项：由于在上单调递增，所以至多有一个零点， 又因为，， 根据函数零点存在定理，函数在内有唯一零点，因为，所以，故A正确； 对于B选项：当时， ， 因为，且在上单调递增，所以， 因此且，从而， 所以，故B正确； 对于C选项：右侧为：， 若要成立，即证， 取特殊值验证：令，，则， 左边；右边，显然，即左边大于右边，故C错误； 对于D选项：要比较与， 即比较与， 等价于比较与，即比较与， 由基本不等式可知，对于任意，都有：（当且仅当时等号成立）， 又因为是单调递增函数，所以：， 两边同时加上，即得：，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则在处的切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数解析式求得切点坐标，利用导数求切线斜率，可得切线方程. 【详解】函数，在处的切点坐标为， ，则在处的切点斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 13. 在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】表示5个相乘， 要想得到，需要两个因式取项，1个因式取项，剩余因式取项， 所以项的系数为. 14. 若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图象里的最值求出A，根据周期求出，根据最大值点或最小值点求出，从而确定的解析式，根据函数图象变换求出的解析式，最后结合图象及在上恰有3个零点即可求出m的范围． 【详解】记的最小正周期为，由题图可得， ∴， ∴， 又，∴， ∴． 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故． 当时，． ∵在上恰有3个零点，如图： 则，解得， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列满足，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项建立关于公比的方程，解方程即可得公比，再根据通项公式求解即可； （2）结合（1）得，进而根据分组求和与错位相减法求和求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为． 因为成等差数列，所以． 因为，所以，整理得， 解得或． 因为，所以， 故的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知． 记数列的前项和为，则． 因为， 所以两式相减得， 所以． 因为数列的前项和为， 所以． 16. 如图，矩形所在平面与所在平面垂直，， （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） 因为四边形为矩形， 所以， 因为，即， 又， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，，再由线面垂直的判断定理即可； （2）以分别为轴建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，根据平面与平面的夹角余弦值计算，然后计算异面直线与夹角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，平面平面,平面平面, 且, 所以平面, 所以. 因为, 所以平面, 又因为平面，所以. 所以. 如图所示以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，且， 则， 所以， 设为平面的法向量， 则，取， 则. 因为平面,则为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得. 即,,, 所以异面直线与夹角余弦值为 . 17. 2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由. 【答案】（1） （2） -3 1 5 9 （3）甲应选，理由： 当时，为甲答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲获奖励的概率， 当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲获奖励的概率，所以 ， 因为，所以，即， 所以甲应选. 【解析】 【分析】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； （3）由时，由甲答对题目的数量，确定甲获奖励的概率，再从①前8题答对题目的数量大于等于5，②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，讨论当时，甲获奖励的概率，比较大小即可求解. 【小问1详解】 设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，则，且两两互斥. 根据题意得，， 则， 所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以. 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）当过点的直线l不与x轴重合时， 设直线l的方程为，， 由，得， 整理得， 由韦达定理得， 因为为点A关于x轴的对称点，所以，所以， 所以直线的方程为， 由对称性，直线所过定点一定在轴上， 令，可得 ， 所以直线过定点； 当过点的直线与x轴重合时，显然过点； 综上所述：直线过定点； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而结合已知求得，可求C的方程； （2）（ⅰ）设l的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，进而求得直线的方程，由椭圆的对称性可证得结论；（ⅱ）记直线过定点为，利用计算，结合基本不等式可求面积的最大值. 【小问1详解】 因为，又，所以， 又面积取得最大值，所以， 在中，，所以，所以， 又，所以，所以，解得， 所以，所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）记直线过定点为， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 19. 已知函数，集合，集合. （1）若，求集合； （2）求集合； （3）记为中最大元素，数列满足，，求证：，. 【答案】（1） （2） （3）解法一： 由(2)可知，从而，此时 由(1)可知，时，单调递增，从而 从而当时，. 由知，若，则 进而有. 令，，，所以在上单调递增，所以，所以，即； 所以当时，， 时，，即 ，又由知， 令，则，即.又，所以： 故当时， ，. 解法二：由知，中的最大元素. 此时. 由，得. 首先证明对任意恒成立.当时，. 假设，令. .令，则. 所以，即，在上单调递增. 所以.故恒成立.因此. 由， 当时，证明，即证. 令，. 所以，不等式成立.从而对成立. 所以. 故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）代入参数构造差函数，通过导数判断单调性，结合已知零点确定方程的唯一解，得到集合； （2）将方程根的问题转化为函数零点问题，按导数中二次函数的判别式分类讨论单调性，结合零点个数反推参数的取值范围； （3）解法一：先证数列各项恒大于1以去掉绝对值，再通过对数不等式放缩得到相邻项差的等比递缩关系，最后用等比求和完成不等式证明； 解法二：用数学归纳法证明数列不小于 1以去掉绝对值，对递推式变形后构造函数证明递推放缩不等式，通过等比数列求和证得结论. 【小问1详解】 当时，，令，即. 令，由知 在上单调递增，又，进而有且仅有一解，故集合. 【小问2详解】 即，整理可得： 令，则 ， 记，其判别式. 当时，，，从而，所以在上单调递增，又，进而有且仅有一解， 故只有一个元素，符合题意. 当时，，故有两个零点，记为，又，，从而. 当时，，从而，单调递增；当时，，从而，单调递减； 当时，，从而，单调递增. 又，故在区间恰有一个零点 又时，， 且当时， ，结合，可知在上还有一个零点，因此共有 3 个零点，集合有3个元素，不符合题意. 所以在区间上恰有一个零点，从而在上至少有两个根，集合至少有两个元素，不合题意. 综上，集合. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “天天向上”教研体2027届高三11月学情诊断训练 （广州市玉岩中学、广州市培英中学、珠海市第二中学、人大附中深圳学校联考） 数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则与同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知数列，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左顶点为，分别在的左右两支上，且轴.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若函数与有两个交点，则的取值范围为（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三组织了一次考试，随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. B. 估计该年级成绩的众数为70 C. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 D. 估计该年级学生成绩的平均数为76.5 10. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于函数，则下列结论正确的是（） A. 函数有唯一零点，且 B. 当时，均有 C. 当时，均有 D. 当时，均有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则在处的切线方程为_________． 13. 在的展开式中，项的系数为________． 14. 若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列满足，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，矩形所在平面与所在平面垂直，， （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 17. 2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由. 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知函数，集合，集合. （1）若，求集合； （2）求集合； （3）记为中最大元素，数列满足，，求证：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $