精品解析：江苏 南京市联合体江宁区将军山中学2026-2027学年八年级上学期学情自测数学练习（一）

2026将中八上第一次月考 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分） 1. 下列长度的线段中，不能组成三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 2，4，5 C. 3，3，5 D. 3，4，5 2. 如图，很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 3. 如图，在中，，的垂直平分线l交BC于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 到三边距离相等的点是（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条内角角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 5. 如图，将直角三角尺的斜边靠在刻度尺上，斜边上三个点对应的刻度分别为（单位：），则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列三角形中，不一定是等边三角形的是（ ） A. 三个角都相等的三角形 B. 有两个角等于的三角形 C. 一边上的高也是该边上的中线的三角形 D. 有一个外角等于的等腰三角形 7. 如图，在中，，D是的中点，E，F分别在边上，且．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 如图，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交，于点F，G，且．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分） 9. 等腰三角形的顶角为，则它的底角为__________°． 10. 如图，已知，用“”定理证明，还需添加条件：____________． 11. 若一个等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为___________． 12. 如图,中,DE是AC的垂直平分线,,的周长是30,则的周长是______． 13. 如图，一棵树在一次强台风中折断，已知折断处与地面的距离为，倒下部分与地面的夹角为，则这棵树在折断前的高度是______m（假设该树在折断前与地面垂直）． 14. 如图，在中，以O为圆心，为半径画弧，分别交，于点D，B．若，，则____________． 15. 如图，在中，，，BD平分交AC于点D，若E为BD的中点，，则________． 16. 如图，是的角平分线，，垂足为E．若的面积为10，，，则的长为______________． 17. 如图，的边的垂直平分线相交于点．若，则=________°． 18. 如图，AB，BC是两条互相垂直的线段，垂足为B，且.已知平面内有一点P，使得与均为等腰三角形，则所有满足条件的点P有______个． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 如图，与交于点O，，求证：． 20. 如图，点在同一直线上，．求证：． 21. 填空并证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是______． 已知：如图，在中，______． 求证：是______． 证明： 22. 如图，在中，，D是边AB的中点．．求证：E是AC边的中点． 23. 如图，在中，平分是边上的中线．求证：是等腰三角形． 24. 已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N. 求证：（1）AE=DB； （2）△CMN为等边三角形. 25. 如图，已知线段和．在边上作点，在边上作点，分别满足下列条件： （1）在图①中，． （2）在图②中，．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 26. 如图，分别是和中上的中线． （1）若．求证：． 证明的过程可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）若将（1）中的条件改为，判断与是否仍然全等，并说明理由． （3）下列命题中是真命题的是_________．（填写相应的序号） ①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等； ②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等； ③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等； ④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等； ⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026将中八上第一次月考 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分） 1. 下列长度的线段中，不能组成三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 2，4，5 C. 3，3，5 D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，正确把握定义是解题关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐项验证求解即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中的三条线段不能组成三角形，该选项符合题意； B、，选项中的三条线段能组成三角形，该选项不符合题意； C、，选项中的三条线段能组成三角形，该选项不符合题意； D、，选项中的三条线段能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性及其应用．根据三角形的稳定性，判断即可． 【详解】解：很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性； 故选：A． 3. 如图，在中，，的垂直平分线l交BC于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 到三边距离相等的点是（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条内角角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到三角形三边距离相等的点应为三个内角角平分线的交点． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点称为三角形的内心．内心是三角形三个内角平分线的交点，根据角平分线的性质，该点到各边的距离相等．选项C对应三条内角角平分线的交点，符合题意． 故选：C． 5. 如图，将直角三角尺的斜边靠在刻度尺上，斜边上三个点对应的刻度分别为（单位：），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据刻度尺读数求出的长及为中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：由题意可知， 点对应的刻度分别为， ， ，即点是的中点， ． 6. 下列三角形中，不一定是等边三角形的是（ ） A. 三个角都相等的三角形 B. 有两个角等于的三角形 C. 一边上的高也是该边上的中线的三角形 D. 有一个外角等于的等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，准确分析判断是解题的关键；根据等边三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，故A不符合题意； B、有两个角等于的三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、一条边上的高也是这条边的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故C符合题意； D、有一个外角等于的等腰三角形，则其相邻的内角为，有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故D不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，，D是的中点，E，F分别在边上，且．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，根据等腰三角形的性质可得，，可证明，再根据全等三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，D是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，，故①正确； ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 故选：D 8. 如图，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交，于点F，G，且．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分） 9. 等腰三角形的顶角为，则它的底角为__________°． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为计算求解即可． 【详解】解：等腰三角形的顶角为， ∴底角为． 10. 如图，已知，用“”定理证明，还需添加条件：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，掌握两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等是解题的关键．根据定理解答． 【详解】解：需添加条件是， 在和中， ， ， 故答案为：． 11. 若一个等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为___________． 【答案】3或4##4或3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系；分两种情况讨论：腰长为4、底边为4，先根据每种情况得到三条边长，再根据三角形三边关系判定三角形是否存在即可． 【详解】解：当腰长为4时，，则等腰三角形三边边长分别是4，4，2， ， 此时等腰三角形存在，腰长为4； 当底边为4时，，则等腰三角形三边边长分别是3，3，4， ， 此时等腰三角形存在，腰长为3； 故答案为：3或4． 12. 如图,中,DE是AC的垂直平分线,,的周长是30,则的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到,,而,代换即有,从而得到的周长． 【详解】解：是AC的垂直平分线, ,, 而的周长是30,即, , , 即的周长是20． 故答案为20． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等也考查了三角形周长的定义． 13. 如图，一棵树在一次强台风中折断，已知折断处与地面的距离为，倒下部分与地面的夹角为，则这棵树在折断前的高度是______m（假设该树在折断前与地面垂直）． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：如图，根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， 即这棵树在折断前的高度是． 故答案为：6． 14. 如图，在中，以O为圆心，为半径画弧，分别交，于点D，B．若，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角定理；先根据等腰三角形的性质及三角形的外角定理得到，再根据三角形内角和定理求解，最后求出答案即可． 【详解】解：如图，连接， 由题可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，BD平分交AC于点D，若E为BD的中点，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题的关键． 在中，平分得出，结合等腰三角形的性质求出的长度． 【详解】∵，点为的中点， 平分， 故答案为：． 16. 如图，是的角平分线，，垂足为E．若的面积为10，，，则的长为______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能根据角平分线的性质求出DE=DF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．过D作于F，根据角平分线的性质求出，设，根据的面积为10得出，再把，，代入求出a即可． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，，， ∴， 设， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 即， 故答案为：2． 17. 如图，的边的垂直平分线相交于点．若，则=________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，的垂直平分线，相交于点， ，， ，， ， ， 故答案为：． 18. 如图，AB，BC是两条互相垂直的线段，垂足为B，且.已知平面内有一点P，使得与均为等腰三角形，则所有满足条件的点P有______个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判断，分①的垂直平分线的交一点，②以点C为圆心，为半径的圆G与以点为圆心，为半径的圆相交于一点，且与的垂直平分线相交于两点；③以点为圆心，为半径的圆与的垂直平分线相交于一点；④以点为圆心，为半径的圆与以点为圆心，为半径的圆交于两点，则可得答案． 【详解】解：如图①②③④，所有满足条件的点P共有8个， ，此时点P的位置有1处； ，此时点P的位置有3处； ，此时点P的位置有2处； ，此时点P的位置有2处； ∴点P的位置共有（个） 故答案为：8． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 如图，与交于点O，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直接利用证明，即可证明． 【详解】略 20. 如图，点在同一直线上，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】先由推导出，再根据得到内错角相等，结合，证明与全等，最后利用全等三角形对应边相等证得． 【详解】略 21. 填空并证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是______． 已知：如图，在中，______． 求证：是______． 证明： 【答案】直角三角形；是的边上的中线，且；直角三角形； 证明：∵， ∴， 同理， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理．根据等边对等角以及三角形内角和定理即可证明． 【详解】略 22. 如图，在中，，D是边AB的中点．．求证：E是AC边的中点． 【答案】 证明：连接，如图， ∵， ∴是直角三角形， ∵D是边的中点， ∴， ∴是的斜边中线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴E是边的中点． 【解析】 【分析】连接，由是直角三角形， D是边的中点，可得，即有是的斜边中线，则有，即可证明是等腰三角形，根据“三线合一”即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键． 23. 如图，在中，平分是边上的中线．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：延长，在的延长线上截取，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】延长，在的延长线上截取，连接，根据证明，得出，，根据平分，得出，即可证明，得出，即可证明结论． 【详解】略 24. 已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N. 求证：（1）AE=DB； （2）△CMN为等边三角形. 【答案】证明略 【解析】 【分析】证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形， ∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE， 即∠ACE＝∠DCB． 在△ACE和△DCB中， ∴△ACE≌△DCB(SAS)． ∴AE＝DB． (2)由(1)可知：△ACE≌△DCB， ∴∠CAE＝∠CDB， 即∠CAM＝∠CDN． ∵△DAC、△EBC均是等边三角形， ∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°． 又点A、C、B在同一条直线上， ∴∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°， 即∠DCN＝60°． ∴∠ACM＝∠DCN． 在△ACM和△DCN中， ∴△ACM≌△DCN(ASA)． ∴CM＝CN． 又∠DCN＝60°， ∴△CMN为等边三角形． 【详解】请在此输入详解！ 25. 如图，已知线段和．在边上作点，在边上作点，分别满足下列条件： （1）在图①中，． （2）在图②中，．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求， 先作出的角平分线，在角平分线上取一点，过点作的垂线，然后作出线段的垂直平分线，在垂线上截取，过点作直线的垂线交射线于点，过点作射线的垂线，交射线于点． 【解析】 【分析】（1）先在射线上截取，然后作出线段的垂直平分线，与射线的交点即为点，由线段垂直平分线的性质即可得到； （2）设直线交射线于点，根据作图步骤可得四边形为长方形，则，然后可证明，则，那么． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，分别是和中上的中线． （1）若．求证：． 证明的过程可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）若将（1）中的条件改为，判断与是否仍然全等，并说明理由． （3）下列命题中是真命题的是_________．（填写相应的序号） ①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等； ②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等； ③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等； ④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等； ⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等． 【答案】（1）①，②，③，④． （2），理由如下： 如图，延长到，使，连接；延长到，使，连接． ∴，， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 同理：， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴即 在和中 ∵， ∴； （3）①②③⑤ 【解析】 【分析】（1）根据中线定义得到，，结合推出，先用证，得到，再用证，补全框图； （2）延长中线构造全等三角形，转化线段，证明角相等，再用证明两个大三角形全等； （3）逐个分析命题，结合全等三角形判定定理判断真假． 【小问1详解】 证明：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 故填空如下图， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等，说法正确，符合题意； ②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等，说法正确，符合题意； ③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；说法正确，符合题意； ④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等，说法错误， 如图，在与中，，高相同，但是与不全等．故④不符合题意； ⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等，说法正确，符合题意． 故答案：①②③⑤． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $