精品解析：江苏省南京市江宁区东山外国语学校2024-2025学年上学期八年级第二次月考数学试卷

2024-2025学年八年级数学第一学期第二次练习卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 2. 若，则下列说法正确的是（ ） A. a是x的平方根 B. x是a的平方根 C. x是a的算术平方根 D. a是x的算术平方根 3. 在平面直角坐标系中，若点P（a-1，a）在第二象限，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，－1），B（－1，3）两点，则（ ） A. k＜0，b＞0 B. k＜0，b＜0 C. k＞0，b＞0 D. k＞0，b＜0 5. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 6. 如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 8. 地球上海洋的总面积约为，精确到为_____（用科学记数法表示）． 9. 一水库水位在最近内持续上涨．下表记录了这内6个时间点的水位高度，其中表示时间，表示水位高度．根据表格中的变化规律，则与的函数表达式为_____． 0 1 2 3 4 5 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 10. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过、两点，若，则___．（填“”“”“”） 11. 函数与的图象如图所示，则______． 12. 如图，在中，，，点是的中点，点是的中点，连接和，若的周长是11，则_____． 13. 如图，五边形中有一等边三角形．若，，，则的度数是__． 14. 一块钢板的形状如图所示，已知AB＝12cm，BC＝13cm，CD＝4cm，AD＝3cm，∠ADC＝90°，则这块钢板的面积是 ______cm2． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（n，4），若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的取值范围为_____． 16. 如图，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是钝角三角形时，满足的条件是_____． 三、解答题（本题共9小题，共计64分） 17. （1）计算：． （2）求的值：． 18. 如图是的正方形网格，每个小方格都是边长为1的正方形，、是格点（网格线的交点）．以网格线所在直线为坐标轴，在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为． （1）在网格中，画出这个平面直角坐标系； （2）在第二象限内的格点上找到一点，使、、三点组成以为底边的等腰三角形，且腰长是无理数，则点的坐标是_____． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线．求证：BD=CE． 20. 如图，已知线段，，．求作，使，，且分别满足下列条件： （1）上的中线为． （2）上的高为． （说明：①尺规作图，保留作图痕迹；②可以有必要的作图说明；③每小题满足条件的一个三角形即可．） 21. 已知与成正比例，当时，． （1）求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图像； （2）结合图像，写出当时自变量的取值范围：_____． 22. 一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上，如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． （1）求直线的表达式； （2）求的长． 23. 甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． （1）地与地之间的距离为______． （2）求线段对应的函数表达式． （3）已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 24. 课本P152有段文字：把函数的图像分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图像． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示：如图，在函数的图像上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图像沿轴向右平移3个单位长度后得到的图像． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【解决问题】 （2）已知一次函数的图像与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 25. 若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当时，；当时，，可以记作分段函数． （1）若时，画出与之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质． （2）正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为，当时，的取值范围是______； （3）已知点，函数的图像与线段的交点个数随的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级数学第一学期第二次练习卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理进行计算可得答案．此题主要考查了勾股定理逆的定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 【详解】解：A．，，，， ， 满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，不符合题意． B．，，，， ， 满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，不符合题意． C．， 设，，， ， ， 满足勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意． D．， 设，，， ， ， ， 不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 2. 若，则下列说法正确的是（ ） A. a是x的平方根 B. x是a的平方根 C. x是a的算术平方根 D. a是x的算术平方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平方根的定义．根据平方根及算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：， 是的平方根． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，若点P（a-1，a）在第二象限，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 【详解】解：由点P（a﹣1，a）在第二象限，得 解得0＜a＜1． 故选C． 考点：点的坐标． 4. 已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，－1），B（－1，3）两点，则（ ） A. k＜0，b＞0 B. k＜0，b＜0 C. k＞0，b＞0 D. k＞0，b＜0 【答案】A 【解析】 【分析】把A（1，－1），B（－1，3）代入y＝kx＋b，求出k和b的值，即可作出判断. 【详解】把A（1，－1），B（－1，3）代入y＝kx＋b， ， 解之得 . 故选A. 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数图像上点的坐标满足一次函数解析式. 5. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及角平分线，对选项依次判断即可． 【详解】垂直平分， ， ， ， ， 故选项A正确； ， ， 故选项D正确； ， 平分， 故选项C正确； 由题目的条件无法判断出， 故选项B不成立． 故选：B． 6. 如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①无法证明；②条件不足，无法证明；③依据，运用勾股定理即可得到；④依据，且，运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到． 【详解】解：在四边形中，与不一定相等， 故①；②都不一定成立， ∵， ∴中，； 中，； 中，； 中，； ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰三角形，， 是等腰三角形，， ∴ ，故④正确． 综上所述，真命题的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握勾股定理以及等腰三角形的性质． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 8. 地球上海洋的总面积约为，精确到为_____（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法和近似数，先将原数用科学记数法表示，再根据精确要求四舍五入． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 一水库水位在最近内持续上涨．下表记录了这内6个时间点的水位高度，其中表示时间，表示水位高度．根据表格中的变化规律，则与的函数表达式为_____． 0 1 2 3 4 5 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据记录表由待定系数法就可以求出y与x的函数表达式．在解答时确定两个变量是一次函数关系是解题关键． 【详解】解：根据表格信息可知，每小时水位上升，则y是x的一次函数， 设y与x的函数表达式为，把和代入， 则， 解得， ∴， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过、两点，若，则___．（填“”“”“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，熟悉性质是关键． 11. 函数与的图象如图所示，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式；先求出交点坐标，再求k即可． 【详解】解：如图，设两直线交于， 当时，， ， 把代入得， 解得， 故答案为：2． 12. 如图，在中，，，点是的中点，点是的中点，连接和，若的周长是11，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键． 根据线段中点与三角形中位线性质可得，根据的周长是11，得的周长为22，根据，求解即得． 【详解】解：∵，是的中点，点是的中点， ∴． ∵的周长是11， ∴的周长为22． ∴． ∵， ∴． 故答案为：8． 13. 如图，五边形中有一等边三角形．若，，，则的度数是__． 【答案】125 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，然后利用SSS即可证出，从而可得，，，然后求出，即可求出的度数． 【详解】解：△是等边三角形， ，， 在与中 ， ， ，，， ， ， 故答案为：125 【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握等边三角形的性质、利用SSS判定两个三角形全等和全等三角形的对应角相等是解决此题的关键． 14. 一块钢板的形状如图所示，已知AB＝12cm，BC＝13cm，CD＝4cm，AD＝3cm，∠ADC＝90°，则这块钢板的面积是 ______cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】连接AC．利用勾股定理可求出AC的长，根据△ABC的三边关系可得△ABC是直角三角形，根据三角形的面积公式可求出△ABC与△ACD的面积，进而求出四边形ABCD的面积． 【详解】连接AC，由勾股定理得：AC5． ∵AB=12，BC=13，AC2+AB2=BC2，即52+122=132，故△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，故四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=AB•ACAD•CD=12×54×3=30﹣6=24（cm2）． 故答案为24． 【点睛】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用．解题的关键是首先证明△ABC是直角三角形，从而利用三角形面积公式求出S△ABC． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（n，4），若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的取值范围为_____． 【答案】n≥2 【解析】 【分析】由直线y=2x与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图像上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论． 【详解】∵直线y=2x与线段AB有公共点，∴2n≥4，∴n2． 故答案为n≥2． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，用一次函数图像上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键． 16. 如图，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是钝角三角形时，满足的条件是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，过点A作于D，交射线于E，则，进而可得，可推出当点P在点D左侧和点P在点E右侧时是钝角三角形，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于D，交射线于E， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在点D左侧时，，则此时是钝角三角形， ∴当时，是钝角三角形； 当点P在点D和点E之间时，，则此时不是钝角三角形，不符合题意； 当点P在点E右侧时，，则此时是钝角三角形， ∴当时，是钝角三角形； 综上所述，当或时，是钝角三角形； 故答案为：或． 三、解答题（本题共9小题，共计64分） 17. （1）计算：． （2）求的值：． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】本题考查了实数运算和平方根、立方根的概念，正确化简各数和正确理解平方根的概念是解题的关键． （1）直接利用求一个数的算术平方根，立方根、去绝对值符号求解即可； （2）根据平方根的概念解方程即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解： 或． 18. 如图是的正方形网格，每个小方格都是边长为1的正方形，、是格点（网格线的交点）．以网格线所在直线为坐标轴，在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为． （1）在网格中，画出这个平面直角坐标系； （2）在第二象限内的格点上找到一点，使、、三点组成以为底边的等腰三角形，且腰长是无理数，则点的坐标是_____． 【答案】（1） 平面直角坐标系如图． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是网络作图．熟知平移变换的性质，等腰三角形性质，是解答此题的关键． （1）由点坐标为，可建立平面直角坐标系；（2）根据等腰三角形的定义作图可得，再写出点C的坐标． 【小问1详解】 解：∵点坐标为， ∴原点在点A向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度处． 【小问2详解】 解：∵以为底边的等腰三角形腰长是无理数， ∴． ∴． 故答案为：． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线．求证：BD=CE． 【答案】 证明∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． ∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠CBD∠ABC，∠BCE∠ACB， ∴∠CBD=∠BCE． 又∵BC=CB， ∴△BCE≌△CBD， ∴BD=CE． 【解析】 【分析】根据条件只要证明△BCE≌△CBD，写出理由即可解决问题． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型． 20. 如图，已知线段，，．求作，使，，且分别满足下列条件： （1）上的中线为． （2）上的高为． （说明：①尺规作图，保留作图痕迹；②可以有必要的作图说明；③每小题满足条件的一个三角形即可．） 【答案】（1） 解：如图：即为所求： （2） 解：如图：即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，掌握相关结论是解题关键． （1）作线段，分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；作射线，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，即可完成作图； （2）作线段，作出以为直径的，以点为圆心，为半径画弧，交于点，作射线，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，即可完成作图； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知与成正比例，当时，． （1）求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图像； （2）结合图像，写出当时自变量的取值范围：_____． 【答案】（1）， 函数图象如下所示： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，求正比例函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法求出对应的解析式，再画出对应的函数图象即可； （2）求出函数值为时，自变量的值，再根据增减性即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时自变量的取值范围． 22. 一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上，如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． （1）求直线的表达式； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行列式计算，得出直线的表达式为， （2）先得出，再结合折叠性质得，，运用勾股定理列式计算，得，即可得的长． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点． ∴， 解得， ∴直线的表达式：． 【小问2详解】 解：∵点和点． ∴， 则， ∵将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． ∴，，， 则，， ∴， 故在中，， ∴， 解得， 则． 23. 甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． （1）地与地之间的距离为______． （2）求线段对应的函数表达式． （3）已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、行程问题等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图即可得到答案； （2）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，利用待定系数法将、代入解二元一次方程组即可得到答案； （3）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，数形结合，分四类讨论，列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知地与地之间的距离为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，线段过、， 设线段对应的函数表达式为， 则，解得， 线段对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：地距离地， 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车的速度为， 当时，甲乙两公司运输车相距； 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车从地到地的时间是，则乙车在地休息的时间是， 在线段过程中，当离地的距离为时，两车相遇，此时， 在相遇前，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， 当，解得，即当时，甲乙两公司运输车相距； 在相遇后，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， ，解得，根据可知，此情况不存在； 设乙车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系式为， 将、代入可得，解得， ， 在时，当，解得，根据可知，此情况不存在； 综上所述，当或时，甲乙两公司运输车相距． 24. 课本P152有段文字：把函数的图像分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图像． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示：如图，在函数的图像上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图像沿轴向右平移3个单位长度后得到的图像． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【解决问题】 （2）已知一次函数的图像与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【答案】（1）C；（2） 【解析】 【分析】本题考查图形变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标“左减右加”；纵坐标“上加下减”．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要弄清楚平移前后的解析式有什么关系． （1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； 【详解】解：（1）∵函数的图像沿轴向右平移3个单位长度 ∴ 故选：C. （2）在函数的图像上取两个点，关于x轴对称的点的坐标， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴一次函数的表达式为. 25. 若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当时，；当时，，可以记作分段函数． （1）若时，画出与之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质． （2）正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为，当时，的取值范围是______； （3）已知点，函数的图像与线段的交点个数随的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的的取值范围． 【答案】（1） 函数图象作图如下： 性质1：当时，随的增大而增大； 性质2：当时，函数有最小值2． （2）或 （3）当时，没有交点；当时，1个交点；当时，2个交点 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握描点法画函数解析式，利用数形结合的思想解决不等式以及图像的交点问题． （1）列表，描点，连线画出函数图像，根据图像写出函数的两条性质即可； （2）利用交点求出的值，进而求出两个函数图像的另一个交点，图像法求不等式的解集即可； （3）求出函数图像经过两点时的值，画出图像，利用数形结合的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 当时，， 列表如下： 0 1 2 3 【小问2详解】 ∵正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴正比例函数的图像与函数的图像交点为，， 由图可知：时，或； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，， ∴函数图像一点过点， 如图，当与交于点时，，解得：， 当与交于点时，，解得：， 由图可知：当时，与没有交点， 当时，与有1个交点， 当时，与有2个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $