精品解析：北京市清华大学附属中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

高一第一学期期中试卷 数学 2026.11 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集与补集的定义，即可得到正确答案. 【详解】，. 2. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题：，则为：. 3. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为， 且，所以是奇函数，但它在定义域上不单调，故A错误； 对于B，令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以是奇函数. 当时，，且在上单调递增；当时，， 且在上单调递增；又，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，设，其定义域为，关于原点对称. ，故为奇函数. 取，，满足，此时，， 则，不满足增函数定义，故C错误； 对于D，令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以是偶函数，故D错误. 4. 已知函数下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A：根据零点存在性定理分析判断；对于BCD：根据函数值的符号分析判断. 【详解】函数， 对于选项A：因为，， 所以在内存在零点，故A正确； 对于选项B：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故B错误； 对于选项C：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故C错误； 对于选项D：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故D错误； 故选：A. 5. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为是偶函数，所以，且函数图象关于轴对称， 又因为在上单调递减，根据偶函数的对称性可知在上单调递增， 不等式等价于， 由于在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为. 6. “”是“关于的不等式解集为”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【详解】先求不等式解集为时的取值范围， ①当时，不等式化为，恒成立，解集为， ②当时，该二次不等式恒成立，需要满足， ，解得， 故， 记集合，， 若，取，代入不等式， ，解集为，不是， 所以充分性不成立； 若不等式解集为，则，不满足，所以必要性不成立； 因此“”是“关于的不等式解集为”的既不充分也不必要条件. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由"1的代换"得. 当且仅当，即，时取等号. 代入得，，等号条件满足， 故最小值为. 8. 函数，若对于，（），都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的图像求解. 【详解】首先，对任意，等价于在上为严格单调递减函数， 所以上单调递减，上递减，所以， 从左侧无限趋近于时，函数值必须 大于或等于， 所以，解得，即，所以， 综上，实数的取值范围是. 9. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图像，求得结果. 【详解】分两种情况讨论： （1）当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为， 从而可以求得， （2）当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形， 可求得， 所以， 从而可选出正确的图象， 故选A. 【点睛】该题所考查的是有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，有关函数解析式的求法，根据解析式选择合适的函数图象，属于 中档题目. 10. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（    ） A. B. C. 在上为增函数 D. 解集为或 【答案】C 【解析】 【分析】对于A用赋值法即可求值；对于B对条件进行适当变形即可得结论；对于C根据增函数的定义证明即可；对于D对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，即，故B正确； 对于C，令，则，，即，所以函数为减函数，故C错误； 对于D，由，得，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：C 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有意义建立不等式组，结合二次不等式的解，分析得出函数的定义域. 【详解】要使函数有意义则，解得：或， 所以函数的定义域：. 12. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的属于关系分类讨论的取值，再结合集合元素的互异性验证筛选得到正确结果． 【详解】由，可知集合中存在元素为0，分两类讨论： 若，则，与矛盾； 若，而，解得， 此时集合，满足集合元素的互异性，符合题意， 综上，． 13. 能够说明“设是任意实数，若，，则”是假命题的，一组整数，，，的值依次为__________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】取，显然满足，，但， 即时，命题“若，，则”是假命题. 14. 已知，函数． （1）当时，不等式的解集是______ （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）分别求解两个不等式得到两段上的解集，再求其并集即得； （2）结合函数图象，可将函数恰有2个零点分成有1和4两个零点或有1和3两个零点两种情况分别考虑，即得参数a的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，由可得，则有； 当时，由可得，则有. 综上，不等式的解集为； （2）因有一个零点为4，而有两个零点，分别为1和3. 若函数恰有2个零点,可以分成两种情况： ①当函数有1和4两个零点时，如图1所示，需使； ②当函数有1和3两个零点时，如图2所示，需使. 综上可得，. 【点睛】思路点睛：本题主要考查分段函数的由零点个数求参问题，属于难题. 一般先求出每段上函数的零点，结合函数图象，由题意中零点个数分析分段点的临界位置，动态理解图象即可求得参数范围. 15. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“单调增函数”．对于“单调增函数”，有以下四个结论： ①函数是“单调增函数”（其中表示不大于的最大整数）； ②函数是“单调增函数”； ③“单调增函数”一定在上单调递增； ④“单调增函数”，一定是“单调增函数”（其中，且）. 其中，所有正确结论的序号是__________________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】通过举反例结合函数新定义逐项分析即可. 【详解】①函数的定义域为，当时， 对于任意，都有， 即成立，所以函数是“单调增函数”， ①正确； ②当时，函数，， 此时， 因为，所以， 所以，即， 与要求矛盾，故不存在这样的，②错误； ③例如，定义域为，存在， 对于任意，都有，但在上不单调递增，③错误； ④因为是“—单调增函数”， 所以存在实数，使得对于任意，都有， 因为，所以， 故一定是“—单调增函数”；④正确； 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 设集合，． （1）求集合、； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） 或， （2） 实数的取值范围是 【解析】 【小问1详解】 由，得或，解得或， 故或， 由，二次方程的两根为与，且开口向上，故，即 【小问2详解】 由，得. (1) 当时，需，解得，此时显然成立. (2) 当时，需，即. 由，得 ，即. 结合，得. 综上，取(1)(2)的并集，得，即的取值范围为. 17. 解关于的不等式． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式的解法，即可求解； （2）利用一元二次不等式的解法，对分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 由得，等价于，且， 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由得到， 当时，原不等式为，解得， 当时，由，解得或， 若，则，不等式的解集为， 若，当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式，即，原不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）任取、且，即， 则 ， 因为，所以，， ，，所以，则， 所以，即，所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得出，可求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可； （2）任取、且，作差，变形，然后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）由奇函数的性质得出，再结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，且，所以， 当时，， 对任意的都有，即函数为奇函数，符合题意. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数为奇函数，由可得， 又因为函数是定义域为上的增函数， 所以，解得，故实数的取值范围是. 19. 已知二次函数的图象过点，满足，且最小值是． （1）求的解析式； （2）若的两根为，，且，求实数的取值范围； （3）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由对称性得对称轴，设顶点式，代入求参数，得解析式； (2)转化为一元二次方程，由及韦达定理，结合求范围； (3)根据对称轴与区间的位置分类讨论单调性，求最小值. 【小问1详解】 由可知，二次函数的对称轴为， 又最小值为， 设， 函数图象过点，代入得，，解得， ， 所以. 【小问2详解】 由，得， 整理得， 该方程有两个实数根，则，解得或， 由韦达定理，，， ， ，解得， 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 ，开口向上，对称轴为， ①当时，即， 在上单调递减， ， ②当时，即， ， ③当时，在上单调递增， ， 综上： 20. 设函数，其中． （1）对于任意，都有，求t的值； （2）若存在，使得关于x的方程有4个不同的实数根，直接写出t的范围： （3）若对于任意，都有，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解； （2）根据图象变换结合题意可得，解不等式即可求解； （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则任意，都有，等价于，根据二次函数的性质，分，，和来讨论即可求解. 【小问1详解】 函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 即，解得或， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 则任意，都有，等价于， ①当时，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以； ②当，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 所以， ③当，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以， ④当时，在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以； 综上：的取值范围是. 21. 设集合是正整数集的非空子集，对任意，，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． （1）当时，写出集合的差倍集； （2）设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； （3）设，若存在两个正整数，使，中均恰有两个元素，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）基础枚举法：差倍集问题只需按 枚举所有元素对，计算 后去重，即可得到差倍集；（2）分类讨论思想：含参数的差倍集元素个数问题，需按参数与集合已有元素的大小分类，通过“运算结果相等”建立方程求解参数；（3）一般化与函数值域：多参数范围问题先推导一般规律，将多参数统一为单一变量，结合约束条件利用函数单调性求值域. 【小问1详解】 根据“差倍集”定义：对任意且，计算，所有运算结果构成集合， 枚举中所有满足的元素对并计算： ：，：， ：， 对结果去重，得差倍集 【小问2详解】 由集合元素的互异性，且，按的大小分两类讨论， 当，此时正整数或， 若，，运算结果为：，，，去重得，恰有2个元素，符合条件； 若，，运算结果为：，，，去重得，有3个元素，不符合条件； 当，此时所有的运算结果为：，，， 三个结果中且，即是唯一最大值， 要使恰有两个元素，需剩余两个结果相等，即 ， 时，运算结果为，，恰有2个元素，符合条件； 综上，满足条件的的值为2和10. 【小问3详解】 先推导一般规律：对集合（，，），差倍集恰有两个元素的充要条件. 当，此时所有的运算结果为：，，， 其中是唯一最大值（且）， 要使差倍集恰有两个元素，需剩余两个结果相等，即 ， 此时差倍集为，恰有2个元素； 当，此时所有的运算结果为：，，，其中是唯一最大值（）， 要使差倍集恰有两个元素，需剩余两个结果相等，即， 此时需为正整数，即能被3整除（），差倍集为，恰有2个元素； 由题意，存在使两个集合的差倍集均恰有两个元素，因此必满足， 设（，由得），则较小值，较大值， 代入条件，得，展开整理得， 得，因为，且，故的取值集合为， ，该函数是关于的严格增函数， 当时，取最小值，当时，取最大值， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一学期期中试卷 数学 2026.11 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“关于的不等式解集为”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若对于，（），都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为　　 A. B. C. D. 10. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（    ） A. B. C. 在上为增函数 D. 解集为或 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为________________________． 12. 已知集合，，则______． 13. 能够说明“设是任意实数，若，，则”是假命题的，一组整数，，，的值依次为__________________． 14. 已知，函数． （1）当时，不等式的解集是______ （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是______ 15. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“单调增函数”．对于“单调增函数”，有以下四个结论： ①函数是“单调增函数”（其中表示不大于的最大整数）； ②函数是“单调增函数”； ③“单调增函数”一定在上单调递增； ④“单调增函数”，一定是“单调增函数”（其中，且）. 其中，所有正确结论的序号是__________________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 设集合，． （1）求集合、； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 17. 解关于的不等式． （1）； （2）． 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）若，求实数的取值范围． 19. 已知二次函数的图象过点，满足，且最小值是． （1）求的解析式； （2）若的两根为，，且，求实数的取值范围； （3）求函数在区间上的最小值． 20. 设函数，其中． （1）对于任意，都有，求t的值； （2）若存在，使得关于x的方程有4个不同的实数根，直接写出t的范围： （3）若对于任意，都有，求实数t的取值范围． 21. 设集合是正整数集的非空子集，对任意，，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． （1）当时，写出集合的差倍集； （2）设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； （3）设，若存在两个正整数，使，中均恰有两个元素，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $