精品解析：广西来宾市金秀瑶族自治县民族高中2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

2029届高一上学期期中测试（数学） （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【详解】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C 2. 设．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求解不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式， 因此，而不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定规则，即可求解. 【详解】全称量词命题的否定一是量词改为存在量词，二是改成命题的否定， 所以命题的否定是“，”. 故选：B 4. 若，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一分析即可. 【详解】若，则，故A正确； 当时，，故BC错误； 当时，，故C错误. 故选：A. 5. 不等式的解集不为空集，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式即得解. 【详解】不等式的解集不是空集, 所以, 所以， ∴或. 所以的取值范围是或. 故选：D 6. 若函数，满足，且，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解. 【详解】因为，所以， 联立可得，所以，， 因为，所以，则， 所以. 故选：C. 7. 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数是定义在上的减函数，除了两段函数均为单调递减，还要考虑点要在点上方或两点重合. 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ， 所以的取值范围为. 8. 已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用立方和公式和均值不等式先求出，转变成解， 便可解得正数的最大值. 【详解】因为对满足的所有正实数，都成立， 可得对满足的所有正实数，都成立. 由得，即. 由，得，即， 当且仅当时取等号. 所以 ，则. 则有，即，则，解得. 所以正数. 故选：B. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先化简集合B，结合选项验证即可. 【详解】对于A，由可知，故A正确； 对于B，由得，于是，故B正确； 对于C，由得，故C错误； 对于D，或，故或，故D错误. 故选：AB. 10. 已知集合，下列选项正确的是（ ） A. 集合A中的元素个数为6个 B. 集合B的非空真子集个数为6个 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】解分式不等式可求得集合，可判断A；根据，可求得集合，可判断B；进而可求得交集与并集判断CD. 【详解】由，可得，解得， 又，所以，所以， 集合A中的元素个数为5个，故A错误； 由，解得，又，所以，所以， 所以集合B的非空真子集个数为个，故B正确； 所以，故C正确； 所以，故D错误. 故选：BC. 11. 把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“类增函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（ ） A. 若为“类增函数”，则 B. 若为“类增函数”，则不一定是增函数 C. 函数在上是“类增函数” D. 函数在上不是“类增函数”（表示不大于x的最大整数） 【答案】CD 【解析】 【分析】对A选项通过条件及赋值得到，对B通过构造函数即可判断，对C举反例，通过计算即可判断，对D选项，显然取整函数满足条件（1），通过设字母，将分整数与小数部分即可证明，即可判断. 【详解】对于A，若函数为“类增函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确； 对于B，若，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法正确； 对于C，当时，，不满足条件（2），所以不是“类增函数”，故C说法错误； 对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“类增函数”，故D说法错误. 故选：CD. 【点睛】关键点睛：本题为新定义函数，对于A,B选项通过合理赋值即可求出，而从B,C选项的判断可以给我们一些启示，对于一些新定义问题，我们可以通过举一些正例或是反例来判断选项，本题C选项和D选项融合了另外两个常考的新定义函数，狄利克雷函数与高斯取整函数，而C选项我们通过举例两个无理数即可反驳，D选项的难点在于其证明，其关键点在于我们需要设出数的正数部分与小数部分，结合分类讨论这样得到与，的关系. 三、填空题（共15分） 12. 设全集是实数集，，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据补集的概念求解. 【详解】根据补集的概念：或. 故答案为：或 13. 已知幂函数的图象过点，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】设函数，， 因为幂函数的图象过点，则，可得， 可得，所以. 14. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“YL函数”.已知函数在定义上为“YL函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，则实数s的最大值为______. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据“YL函数”的定义，结合二次函数性质判断出，继而判断的单调性，即可得，求出a，根据不等式恒成立，结合判别式得，求出函数的值域，结合存在实数，使得不等式成立，即可求得s的最大值. 【详解】由于函数图象的对称轴为，且， 故当在定义上为“YL函数”时，必有， 此时在上单调递增，且， 由于，根据“YL函数”定义可知函数对定义域内的每一个值， 在其定义域内都存在唯一的，使成立， 可知，则必为上函数的最大值，即， 即，所以，即得， 由于对任意的，不等式都成立， 即恒成立， 故，即得， 令，该函数上单调递增， 故， 由于存在实数，使得成立， 故，即实数s的最大值为， 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，． （1）求，； （2）求． 【答案】（1），． （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集、并集运算即可求解； （2）根据集合的补集、交集运算即可求解. 【小问1详解】 ，，． 【小问2详解】 或，或， 或． 16. 利用基本不等式求下列式子的最值： （1）若，求的最小值； （2）已知，且，求的最大值； （3）若，求的最大值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可求解. （2）利用基本不等式即可求解. （3）利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. 【小问2详解】 因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. 【小问3详解】 因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 17. 已知函数，且， （1）求解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据已知及求参数值，即可得解析式； （2）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集. 【小问1详解】 由，则， 令，则，即，得，经检验符合题意， ； 【小问2详解】 原不等式可化为，即， 若，即，则原不等式无解， 若，即，则原不等式解为， 若，即，则原不等式解为， 综上， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18. 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元. （1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算？请说明理由. 【答案】（1）3年 （2）方案①较为合算 【解析】 【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利. （2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万，比较时间长短，进而得到方案①较为合算. 【小问1详解】 由题意可得，即， 解得，， 该车运输3年开始盈利.； 【小问2详解】 该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算. 19. 定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界． （1）已知函数． ①若函数为奇函数，求实数的值； ②若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）①；②存在， （2） 【解析】 【分析】（1）①由为奇函数，得，化简变形后可求出的值；②先对变形，然后根据其单调性结合有界函数的定义分析判断； （2）由在上恒成立，可得在上恒成立，则，然后构造函数利用函数的单调性可求得结果. 【小问1详解】 ①由，得 所以， 化简得， 所以，即． ②， ∵， ∴在上递增， ∴， ∴，∴， ∵，∴，所以， ∴存在上界，的范围是． 【小问2详解】 由题意可知在上恒成立， ， 即， ∴在上恒成立， ∴． 设， 由，得． ∵和在上递减， ∴在上单调递减， 任取，且， 则 ， ∵，且， ∴，∴， ∴在上是单调递增， ∴在上，． 所以实数的取值范围是． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2029届高一上学期期中测试（数学） （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集不为空集，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若函数，满足，且，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，下列选项正确的是（ ） A. 集合A中的元素个数为6个 B. 集合B的非空真子集个数为6个 C. D. 11. 把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“类增函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（ ） A. 若为“类增函数”，则 B. 若为“类增函数”，则不一定是增函数 C. 函数在上是“类增函数” D. 函数在上不是“类增函数”（表示不大于x的最大整数） 三、填空题（共15分） 12. 设全集是实数集，，则________. 13. 已知幂函数的图象过点，则_____． 14. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“YL函数”.已知函数在定义上为“YL函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，则实数s的最大值为______. 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，． （1）求，； （2）求． 16. 利用基本不等式求下列式子的最值： （1）若，求的最小值； （2）已知，且，求的最大值； （3）若，求的最大值. 17. 已知函数，且， （1）求解析式； （2）求不等式的解集． 18. 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元. （1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算？请说明理由. 19. 定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界． （1）已知函数． ①若函数为奇函数，求实数的值； ②若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $