4.2 指数函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2 指数函数（解析版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 指数函数的定义 一般地，函数 叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 。 规定 ：若 ，则 时无意义；若 ，x 取分数时可能无意义。规定 ：因为 恒成立，没有研究价值。判断指数函数同样看三条：系数为 1、底为常数、指数为自变量 x。 2. 图像与性质 图 1 指数函数的图像：都过定点 类别 a>1 0<a<1 定义域 R R 值域 定点 过 ，即 过 单调性 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 函数值分布 x>0 时 y>1；x<0 时 x>0 时 ；x<0 时 y>1 底数互为倒数的两个指数函数（如 与 ）的图像关于 y 轴对称。 3. 底数与图像的关系 在第一象限（即 时），底数越大，图像越高：对固定的 ，有 。在第二象限（x<0）结论相反。图 1 中四条曲线的位置关系正是如此。 4. 复合函数与图像变换 形如 的函数，其单调性由内外层共同决定，口诀"同增异减"：内外两层单调性相同时复合后递增，相反时递减。 图像变换： 的图像由 向右平移 h 个单位、向上平移 k 个单位得到，渐近线相应变为 ，且恒过定点 。 图 2 的图像恒过定点 5. 复合图像进阶：平移、对称与绝对值 （1）平移与渐近线。 的图像由 向右平移 、向上平移 得到，恒过定点 。关键规则：渐近线跟着图像一起平移——左右平移不改变水平渐近线的位置（仍是 ），上下平移 个单位后，水平渐近线从 跟到 。画平移后的图像，先画渐近线，再钉定点，最后描升降，三步成图。 图 3 与平移后的 ：渐近线跟着移动 （2）加绝对值的两种方式。①对自变量加：——保留 的右支，把右支关于 y 轴对称补到左侧，得"对号朝上的双枝"，是偶函数； 则是把上述双枝整体右移 ，对称轴变为 ，最低点（尖点）在 。②对函数值加：——先画 ，再把 x 轴下方的部分沿 x 轴翻上去，x 轴上的点（若有）保持不动。翻折会把原来的部分"抬高"，值域与交点个数都要重新分析。 （3）读图要点。带绝对值的复合图像与水平线的交点：交点个数可能比原函数更少（下方翻上去后两支重合），逐段列方程解出后再合并；平移后的尖点、渐近线位置先标注再作答。 6. 比较幂值大小的三种方法 （1）同底数：构造指数函数，用单调性比较； （2）不同底、不同指数：找中间量（常用 1 或 0）搭桥； （3）底数不同但可化同：先把底数化成相同再比。 二、典型例题 例 1 由"是指数函数"求参数 已知函数 是指数函数，求 的解析式。 【解】指数函数的系数必须为 1，且底数满足 且 ，故 解得 或 。由 舍去 ，故 ，。 【点评】注意底数的双重限制 且 ，两道闸门都要过。 例 2 比较大小 比较下列各组值的大小： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 ； （4） 与 。 【解】（1）考察 ，底数大于 1，单调递增，由 得 。 （2）考察 ，底数大于 0 小于 1，单调递减，由 得 。 （3）底数不同，用中间量 1 搭桥：，，故 。 （4）化为同指数：，。考察幂函数 ，它在 上递增，由 得 。 【点评】比较大小三步走：看底、看指数、找中间量；第（4）问的"同化指数"技巧值得积累。 例 3 求定义域与值域 （1）求 的定义域与值域；（2）求 的值域。 【解】（1）定义域需 。当 时 ，故 ，且值恒为正，值域为 。 （2）因 ，且 ，函数单调递减，故 ，值域为 。 【点评】指数函数值域的上限是"取不到的正无穷"、下限是"取不到的 0"，端点开闭由指数取值的范围决定。 例 4 恒过定点问题 求函数 （a>0 且 a≠1）的图像恒过的定点坐标。 【解】定点与 a 无关，只需令指数为零：令 即 ，此时 。故图像恒过定点 。 图4 无论 a 取何值，图像都过 【点评】一般地， 恒过定点 ；"令指数为零"是解这类题的钥匙。 例 5 复合函数的单调性与值域 求函数 的单调区间与值域。 【解】外层 单调递增，内层 在 上递减、在 上递增。由"同增异减"，f(x) 的递减区间为 ，递增区间为 。 因为 ，且外层递增，所以 ，值域为 。 【点评】复合函数先拆两层、各自分析，再"同增异减"合成；求值域先用内层的范围，再代入外层。 例 6 复合图像变换与交点分析 已知函数 。（1）画出 的草图并写出值域；（2）求 的图像与直线 的交点；（3）说明 的图像由 如何变换得到，并写出对称轴。 【解】（1）先画 ：过 ，渐近线 ，在 x 轴下方的部分（）沿 x 轴翻上去，得 的图像： 段保持 （从 0 起升）， 段是 （从 1 降到 0），尖点在原点。值域为 。 （2）令 ，即 或 。前者 得 ；后者 无解。故只有一个交点 ——翻折后交点比"想当然"的少，必须逐段解方程确认，不能凭图形感觉。 （3） 右移 1 个单位得 ，对称轴由 平移为 ，尖点 移到 ，水平渐近线 不变（左右平移不改变水平渐近线）。 【点评】"翻折减交点、平移移尖点"是绝对值复合图像的两大看点；求交点永远老老实实分段解方程，不要凭图形感觉。 三、易错警示 1. 值域写成 ：指数函数值恒正，0 取不到，应为 。 2. 底数含参数时不分类讨论：如问" 在 R 上递增的条件"，答案必须是 ，不能只写"a 为大于 1 的数或 a>0"。 3. 图像变换方向记反： 是向右平移 1 个单位（"左加右减"对 x 而言）。 4. 比较大小漏用中间量：不同底不同指数时硬套单调性而出错。 5. 复合函数写单调区间时超出定义域范围。 四、方法小结 任务 方法 判断指数函数 系数 1、底为常数、指数为 x，底数 且 比较大小 同底看单调；异底找中间量；可化同则化同 求值域 先求指数范围，再按底数大于 1 或小于 1 定方向 定点问题 令指数为 0，得 复合单调性 同增异减，区间受定义域约束 复合图像 渐近线跟图像一起平移（左右移不动水平渐近线，上移 k 渐近线到 y=k）； 偶对称； 下翻上 【考点精讲练】 考点一　指数函数的判断、求值、解析式及求参 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 【例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【详解】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断： 选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A符合； 选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B不符合； 选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C符合； 选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D符合. 【基础巩固练】 【变式训练1】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值. 【详解】由题知，即，，，. 【变式训练3】（26-27高一上·全国·课后作业）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．求分别经过3个小时和4个小时，这种细菌由1个可繁殖成（    ） A．511个 B．512个 C．4095个 D．4096个 【答案】BD 【详解】因为每20分钟分裂一次，故3个小时共分裂了9次，所以共繁殖细菌29＝512(个)；4个小时共分裂了12次，所以共繁殖细菌212＝4096(个)． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·宁夏陕西·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出 的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 【提升练2】（25-26高一上·广西玉林·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数衰减模型可得，根据半衰期为8天列方程求解. 【详解】设碘-131的衰减率为，则， 由半衰期为天，可得，解得， 所以，. 故选：A. 【提升练3】（26-27高一上·黑龙江大庆·期末）下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图象必过定点 【答案】CD 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，根据指数函数的单调性判断即可；C选项，根据复合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，当时，此时在定义域内单调递减，由，根据单调性可得，B错； C选项，函数中， 令，在上递增，在上递减， 又在R上单调递减， 因此函数的单调增区间是，C正确； D选项，函数中，由得， 即函数图象过点，D正确． 故选：CD 【提升练4】（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 【答案】1 【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数， 则①②④⑤均不符合题意，③符合题意，故指数函数的个数是1．故答案为1． 【提升练5】（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. (1)求的函数关系式； (2)求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 【答案】(1) (2)3.4小时 【分析】（1）根据函数图象的性质，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用每段曲线对应函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得， 则可得，； 又当时，曲线是函数，（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，又，所以， 则可得，； 综上可得. （2）由题意知，当药物浓度大于等于4时治疗有效， 当时，令， 解得：， 当时，令， 解得：， 综上可得，， ∵， ∴该药物的有效治疗时长约为小时. 考点二　指数函数的图像规律及图像过定点问题 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，此时， 所以函数（且）的图象过定点. 【例2】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 【基础巩固练】 【变式训练1】（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 【变式训练2】（26-27高一上·天津滨海新区·期中）若函数，且的图象恒过定点，则点的坐标为___________________________________． 【答案】 【分析】利用指数函数恒过的性质，令指数部分为0求出对应x值，再计算函数值即可得到定点坐标. 【详解】对于函数，令, 解得, 将代入函数表达式： ， 这说明，无论取何满足条件的值，当时，函数值恒为， 因此函数图象恒过定点. 【变式训练3】（25-26高一上·安徽亳州·期中）函数（，且）的部分图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先判断出为偶函数，再对分类讨论即可. 【详解】函数的定义域为，且， 则是偶函数，故D错误； ， 当时，在上单调递增，且，故A正确，B错误； 当时，在上单调递减，且，故C正确． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·甘肃庆阳·期中）若函数（，且）的图像不经过第一象限，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将函数变形为指数型函数，结合指数函数的单调性与图像平移规律，根据“图像不经过第一象限”的约束条件推导参数和的取值范围． 【详解】， 当时，指数函数单调递增，图像会经过第一象限，不合题意； 所以只有，此时必过点， 要使图像不经过第一象限，则， 所以当，时，的图像不经过第一象限． 【提升练2】（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 【提升练3】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任取，都有 B．函数的值域为 C．函数（且）的图象经过定点 D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称 【答案】BC 【详解】对于A选项，不妨取，则，A错； 对于B选项，因为， 且函数为上的减函数，故， 所以函数的值域为，B对； 对于C选项，对于函数（且），令可得， 故函数的图象过定点，C对； 对于D选项，函数过点，但函数不过点， 所以函数与函数的图象不关于轴对称，D错. 【提升练4】（26-27高一上·广东清远·期中）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为______；若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 9 【分析】由过定点，又，得，解得，即可算出定点的坐标，把点坐标代入，利用“”的妙用和基本不等式即可求出答案. 【详解】由恒过定点，对于，有，则， 解得，即点的坐标为， 因点也在一次函数的图象上，则， 又，则得，， 由， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以取得最小值为9. 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 【答案】 【分析】先根据递减的指数函数图像得到，再由幂函数单调性判断、，从而比较出，，，大小. 【详解】由指数函数，单调递减，则 当时，有，即，所以. 由，是幂函数，由单调递增，则， 根据的函数图像，可得，单调递减，则. 所以. 考点三　解指数不等式及根据指数函数单调性比较大小 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·广东东莞·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为指数函数在上单调递增，且， 所以，即. 因为，且， 所以. 综上所述，. 【例2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列不等式求解正确的有（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】A选项：将不等式转化为，因式分解可求解；B选项：将分式不等式转化为相乘的形式求解即可，注意分母不为0；C选项：将不等式转化为指数函数，根据指数函数单调性求解；D选项：化为同底后利用指数函数的单调性求解即可. 【详解】选项A：不等式等价于，即，解得：，故A正确； 选项B：不等式等价于，解得：，故B不正确； 选项C：不等式等价于，即，解得：，故C正确； 选项D：不等式等价于，即，解得，故D正确； 故选：ACD. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性判定. 【详解】由题，，函数在上是减函数，所以. 【变式训练2】（26-27高一上·浙江温州·期中）若，则x的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】将转化为，再考虑函数单调性，进一步转化为，求解该不等式即可. 【详解】由，可得， 因为在定义域单调增， 所以等价于， ，即， 解得. 【变式训练3】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知，，则下列不等式能使成立的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为为增函数，且，所以，故A正确； 因为为R上的减函数，所以由，得，故B正确； 因为为上的增函数，由，可得，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 在单调递减， ， ， 在单调递增， ， ， 在单调递增，， ， 综上：. 【提升练2】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对各数进行等价变形：，. ①比较与：，，指数函数在上单调递增. 因为，故，即. ②比较与：，，幂函数在上单调递增. 因为，故，即. 综上得，即. 【提升练3】（25-26高一下·江西九江·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据不等式的基本性质、幂函数与指数函数的单调性或可通过举反例判断各选项即可. 【详解】选项A：若取，，满足，但，故A错误； 选项B：由可得， 则，故，B正确； 选项C：幂函数在上单调递增， 当时，必有，故，C正确； 选项D：因为，指数函数单调递增，故等价于， 取，，满足， 但，此时，故D错误. 【提升练4】（2026高一上·全国·专题练习）已知，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【答案】(1)当时，，当时， ； (2) 【分析】（1）讨论的范围，结合单调性解不等式； （2）将式子化简即得到，通过换元令，即可得到关于的一元二次不等式，求解即可. 【详解】（1）①当时，为减函数， 则，解得； ②当时，为增函数， 则，∴， 综上，当时，， 当时，． （2）由 ，得， 即， 设，故有，， 即， ∴． 考点四　求指数型函数的单调性及求参 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若在R上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若在R上单调递增， 则，解得，即的取值范围是. 【例2】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D． 【答案】BCD 【分析】代入直接计算判断A；根据奇函数的定义判断B；根据，结合指数函数的单调性判断C；根据的单调性与奇偶性解不等式判断D. 【详解】对于A，因为，故，显然（），故A选项错误； 对于B，由题意函数的定义域为，关于原点对称，，故为奇函数，B选项正确； 对于C，，由于，故为上的单调递减函数，为上的单调递增函数，为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数，C选项正确； 对于D，由于为上的单调递减函数，且为奇函数， 所以， 所以，即，显然恒成立 所以恒成立，D选项正确. 故选：BCD 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·辽宁·期中）下列函数中在定义域上是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，根据幂函数的图象和性质可得，在上单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数图象和性质可得，为减函数，故B错误； 对于C，由二次函数图象和性质可得，在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，由幂函数的图象和性质可得为增函数，故D正确. 【变式训练2】（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 【答案】2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 【变式训练3】（25-26高一上·山西长治·期末）函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可知，，所以， 所以，对比选项可知ABD满足题意，C不符合题意. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·广东广州·期中）已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为满足对任意都有，可知在R上单调递减， 则，解得，即 【提升练2】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解． 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 【提升练3】（26-27高一上·全国·课后作业）函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（ ） A． B． C．0 D． 【答案】AB 【分析】首先求函数，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，求的取值范围. 【详解】由题意得与在区间上单调性相同， 若函数单调递增，则需使，， 即在区间上恒成立，即，， 可得，； 若函数单调递减，则在区间上恒成立，同理可得，，无解. 综上，实数a的取值范围是，所以A，B选项符合题意. 故选：AB 【提升练4】（26-27高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】本题为复合函数单调性求解问题，需先确定函数定义域，再依据复合函数“同增异减”的判定规则，逐层分析各层函数的单调性，最终结合定义域取交集得到目标单调递减区间. 【详解】即 ，解得或，因此原函数的定义域为， 令，，则， 外层在定义域上为单调递减函数； 中间层在定义域上为单调递增函数； 内层，开口向上，对称轴为，因此该函数在上单调递减，在上单调递增； 因此原函数的单调递减区间为. 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】令，可得，结合指数函数性质和二次函数性质及复合函数的单调性判断方法即可确定结论. 【详解】函数的定义域为， 令，时，． ，， 函数为增函数， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 由复合函数法可知函数在上单调递减，在上单调递增． 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 考点五　指数型复合函数的值域、最值及求参 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合题设可得答案. 【详解】因对任意实数，，从而，则的值域为. 【例2】（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：函数定义域为R，，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为减函数， 则为增函数，则在上单调递减，故D正确. 【基础巩固练】 【变式训练1】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是______，值域是______. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义和图象、结合换元法求解定义域和值域. 【详解】由指数函数的概念可得：定义域为， 令，则， 根据指数函数的图象可得：， 故函数的值域是． 【变式训练3】（26-27高一上·河南南阳·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．当时，是偶函数 C．若的值域为，则 D．若，则在上单调递增 【答案】AC 【分析】选项A，代入直接计算，验证是否恒等于; 选项B，当时化简为，检验是否成立; 选项C，的值域为等价于最小值为，即有实根，转化为判别式求解; 选项D，时开口向下，分析在上的分段单调性，结合外层的递增性判断. 【详解】选项A，，与无关，故A正确； 选项B，当时，，取得，，不满足偶函数定义，故B错误； 选项C，令，则，由于恒成立，， 要使值域恰为，需能取到，即有实根， 当时，有解； 当时，，即.综上，故C正确； 选项D，时开口向下，对称轴，且，有两个交点， 在上，且单调递减，递减，故递减; 在上，且单调递减，递增，故递增， 因此在上先减后增，并非单调递增，故D错误. 【能力提升练】 【提升练1】（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 【提升练2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 【提升练3】（25-26高一上·云南德宏·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．在上是减函数 【答案】BC 【分析】利用特殊值判断A，根据奇函数的定义判断B，求出的取值范围，即可求出的值域，即可判断C，根据复合函数的单调性判断D. 【详解】对于A：因为，， 所以，则不是偶函数，故A错误； 对于B：函数的定义域为， 且，所以是奇函数，故B正确； 对于C：因为，所以，则，， 所以，即， 所以的值域为，故C正确； 对于D：因为，函数在上单调递增且， 又在上单调递增， 所以在R上是增函数，故D错误； 故选：BC 【提升练4】（26-27高一上·上海虹口·期中）设且，若函数在区间上的最大值为21，则实数的值为_______． 【答案】或 【分析】通过换元法令将指数型函数转化为二次函数，结合指数函数的单调性，讨论与两种情况即可求解. 【详解】令，则 当时，在区间上单调递增，故， 函数在区间上单调递增，， 解得 或（舍）； 当时，在区间上单调递减，故， 函数在区间上单调递增，， 解得 或（舍）； 综上，实数的值为或. 【提升练5】（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 考点六　指数函数的最值与不等式的综合问题 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在上递增，则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增，所以，解得. 综上所述，． 【例2】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（   ） A． B． C． D．（表示不大于的最大整数） 【答案】AD 【分析】根据有界函数的定义，对每个选项中的函数逐一分析其绝对值是否有界，即判断是否存在常数使得对定义域内任意，均有成立即可. 【详解】选项A：定义域：， 因为，指数函数在时单调递减，所以； 又因为，因此，即，存在，满足有界性定义，A正确； 选项B：定义域：， 当（或）时，，因此，即可以无限增大， 不存在固定的使得恒成立，不是有界函数，B错误； 选项C：定义域：， 当时，，故；当时，，故， 可以无限增大，不存在固定的满足， 不是有界函数，C错误； 选项D：定义域：， 由取整函数的定义，，因此，即， 所以，存在，满足有界性定义， D正确. 故选：AD. 【基础巩固练】 【变式训练1】（25-26高一上·湖南·期中）对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意转化为有非零解，分类讨论，分离参数后由基本不等式可得解. 【详解】当是定义在上的伪偶函数时， 则存在非零实数满足，即有解， 当时，，与题意不符，舍去； 当时，，其中． 又因为，所以，即. 故选：B 【变式训练2】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 【变式训练3】（25-26高一上·云南·阶段检测）关于函数，下列选项中正确的有（    ） A．当时，函数的增区间是 B．，使得函数是偶函数 C．当时，函数的值域是 D．若恒成立，则 【答案】ABD 【分析】指数型函数的单调性、奇偶性、值域的性质，结合指数函数单调性和一元二次不等式的解集性质逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，设，则在上单调递减， 在上单调递增，因为是上的减函数，可知的递增区间为，则A正确； 对于B：若是偶函数， 则，即， 对恒成立，所以，则B正确； 对于C：当时，由A选项，可知， 又因为，所以值域是，则C错误； 对于D：若恒成立，即恒成立， 所以，即恒成立， 所以，解得，则D正确， 故选：ABD 【能力提升练】 【提升练1】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知实数满足，则（   ） A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数单调性得出，再由指数函数单调性求最值. 【详解】令，由指数函数的单调性可知单调递增， 单调递减，所以为上的增函数， 由可得， 即，所以，即， 所以， 故选：A 【提升练2】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值. C．最小值 D．最大值 【答案】A 【分析】先判断出函数是上的奇函数且单调递增，将原不等式形为恒成立，再令，判断出为R上奇函数，且单调递增，从而可得不等式恒成立，最后令，将问题转化为恒成立，结合及二次函数的性质，求出的最小值，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以函数是上的奇函数， 又因为， 因为在R上单调递增，所以在R上单调递减， 所以在R上单调递增， 又因为 ， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令， 则， 所以为R上奇函数， 又因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令，即有恒成立， 即 ，所以恒成立， 所以恒成立， 因为，所以， 所以，当时，等号成立， 所以，所以实数有最大值. 故选：A. 【提升练3】（25-26高一上·河北承德·期末）取整函数又称“高斯函数”，表示不超过的最大整数（例如）．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间与上均为减函数 B．的值域是 C．方程的所有实根为0，1 D．当关于的方程有2个实根时，实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据题意，当时，；当时，，结合选项，利用指数函数的图像与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当时，可得，则， 由指数函数的性质，可得在上为单调递减函数； 当时，可得，则， 由指数函数的性质，可得在上也为单调递减函数， 所以函数在和上均为减函数，所以A正确； 对于B，当时，，可得， 当时，，可得， 当时，，， 综上可得，的值域为，所以B正确； 对于C，当时，令，解得， 当时，，解得， 当时，， 所以方程的所有实数根为，所以C错误； 对于D，由方程，即，则，可得， 令， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 要使得方程有2个实根时，即和的图像有两个公共点， 作出函数的图像，如图所示， 结合图像，可得实数的取值范围是，所以D正确. 故选：ABD. 【提升练4】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，若，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用奇偶性的定义与复合函数的单调性法则可得到的奇偶性与单调性，并利用奇偶性与单调性分类讨论解不等式即可. 【详解】的定义域为，当时， ；当时，， 故为上的偶函数； 当时，令，由，得，则， 此时，由对勾函数的性质知在上单调递增， 而在上单调递减， 所以由复合函数单调性法则，得在上单调递减， 又因为为上的偶函数，所以 在上单调递增， 由题意得，所以， 若，则，成立； 若，则，成立； 若均不为0，则，两边平方化简得， 解得； 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 【提升练5】（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）令，可得，分三种情况求解可得的最大值. 【详解】（1）因为函数且）的图象过点， 所以，所以，所以 （2）， 令，则， 当时，对称轴为，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以在上单调递增，所以， 当时，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，， 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上的最大值为. 【真题回顾】 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 指数函数（原卷版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 指数函数的定义 一般地，函数 叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 。 规定 ：若 ，则 时无意义；若 ，x 取分数时可能无意义。规定 ：因为 恒成立，没有研究价值。判断指数函数同样看三条：系数为 1、底为常数、指数为自变量 x。 2. 图像与性质 图 1 指数函数的图像：都过定点 类别 a>1 0<a<1 定义域 R R 值域 定点 过 ，即 过 单调性 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 函数值分布 x>0 时 y>1；x<0 时 x>0 时 ；x<0 时 y>1 底数互为倒数的两个指数函数（如 与 ）的图像关于 y 轴对称。 3. 底数与图像的关系 在第一象限（即 时），底数越大，图像越高：对固定的 ，有 。在第二象限（x<0）结论相反。图 1 中四条曲线的位置关系正是如此。 4. 复合函数与图像变换 形如 的函数，其单调性由内外层共同决定，口诀"同增异减"：内外两层单调性相同时复合后递增，相反时递减。 图像变换： 的图像由 向右平移 h 个单位、向上平移 k 个单位得到，渐近线相应变为 ，且恒过定点 。 图 2 的图像恒过定点 5. 复合图像进阶：平移、对称与绝对值 （1）平移与渐近线。 的图像由 向右平移 、向上平移 得到，恒过定点 。关键规则：渐近线跟着图像一起平移——左右平移不改变水平渐近线的位置（仍是 ），上下平移 个单位后，水平渐近线从 跟到 。画平移后的图像，先画渐近线，再钉定点，最后描升降，三步成图。 图 3 与平移后的 ：渐近线跟着移动 （2）加绝对值的两种方式。①对自变量加：——保留 的右支，把右支关于 y 轴对称补到左侧，得"对号朝上的双枝"，是偶函数； 则是把上述双枝整体右移 ，对称轴变为 ，最低点（尖点）在 。②对函数值加：——先画 ，再把 x 轴下方的部分沿 x 轴翻上去，x 轴上的点（若有）保持不动。翻折会把原来的部分"抬高"，值域与交点个数都要重新分析。 （3）读图要点。带绝对值的复合图像与水平线的交点：交点个数可能比原函数更少（下方翻上去后两支重合），逐段列方程解出后再合并；平移后的尖点、渐近线位置先标注再作答。 6. 比较幂值大小的三种方法 （1）同底数：构造指数函数，用单调性比较； （2）不同底、不同指数：找中间量（常用 1 或 0）搭桥； （3）底数不同但可化同：先把底数化成相同再比。 二、典型例题 例 1 由"是指数函数"求参数 已知函数 是指数函数，求 的解析式。 【解】指数函数的系数必须为 1，且底数满足 且 ，故 解得 或 。由 舍去 ，故 ，。 【点评】注意底数的双重限制 且 ，两道闸门都要过。 例 2 比较大小 比较下列各组值的大小： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 ； （4） 与 。 【解】（1）考察 ，底数大于 1，单调递增，由 得 。 （2）考察 ，底数大于 0 小于 1，单调递减，由 得 。 （3）底数不同，用中间量 1 搭桥：，，故 。 （4）化为同指数：，。考察幂函数 ，它在 上递增，由 得 。 【点评】比较大小三步走：看底、看指数、找中间量；第（4）问的"同化指数"技巧值得积累。 例 3 求定义域与值域 （1）求 的定义域与值域；（2）求 的值域。 【解】（1）定义域需 。当 时 ，故 ，且值恒为正，值域为 。 （2）因 ，且 ，函数单调递减，故 ，值域为 。 【点评】指数函数值域的上限是"取不到的正无穷"、下限是"取不到的 0"，端点开闭由指数取值的范围决定。 例 4 恒过定点问题 求函数 （a>0 且 a≠1）的图像恒过的定点坐标。 【解】定点与 a 无关，只需令指数为零：令 即 ，此时 。故图像恒过定点 。 图4 无论 a 取何值，图像都过 【点评】一般地， 恒过定点 ；"令指数为零"是解这类题的钥匙。 例 5 复合函数的单调性与值域 求函数 的单调区间与值域。 【解】外层 单调递增，内层 在 上递减、在 上递增。由"同增异减"，f(x) 的递减区间为 ，递增区间为 。 因为 ，且外层递增，所以 ，值域为 。 【点评】复合函数先拆两层、各自分析，再"同增异减"合成；求值域先用内层的范围，再代入外层。 例 6 复合图像变换与交点分析 已知函数 。（1）画出 的草图并写出值域；（2）求 的图像与直线 的交点；（3）说明 的图像由 如何变换得到，并写出对称轴。 【解】（1）先画 ：过 ，渐近线 ，在 x 轴下方的部分（）沿 x 轴翻上去，得 的图像： 段保持 （从 0 起升）， 段是 （从 1 降到 0），尖点在原点。值域为 。 （2）令 ，即 或 。前者 得 ；后者 无解。故只有一个交点 ——翻折后交点比"想当然"的少，必须逐段解方程确认，不能凭图形感觉。 （3） 右移 1 个单位得 ，对称轴由 平移为 ，尖点 移到 ，水平渐近线 不变（左右平移不改变水平渐近线）。 【点评】"翻折减交点、平移移尖点"是绝对值复合图像的两大看点；求交点永远老老实实分段解方程，不要凭图形感觉。 三、易错警示 1. 值域写成 ：指数函数值恒正，0 取不到，应为 。 2. 底数含参数时不分类讨论：如问" 在 R 上递增的条件"，答案必须是 ，不能只写"a 为大于 1 的数或 a>0"。 3. 图像变换方向记反： 是向右平移 1 个单位（"左加右减"对 x 而言）。 4. 比较大小漏用中间量：不同底不同指数时硬套单调性而出错。 5. 复合函数写单调区间时超出定义域范围。 四、方法小结 任务 方法 判断指数函数 系数 1、底为常数、指数为 x，底数 且 比较大小 同底看单调；异底找中间量；可化同则化同 求值域 先求指数范围，再按底数大于 1 或小于 1 定方向 定点问题 令指数为 0，得 复合单调性 同增异减，区间受定义域约束 复合图像 渐近线跟图像一起平移（左右移不动水平渐近线，上移 k 渐近线到 y=k）； 偶对称； 下翻上 【考点精讲练】 考点一　指数函数的判断、求值、解析式及求参 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【基础巩固练】 【变式训练1】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______． 【变式训练3】（26-27高一上·全国·课后作业）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．求分别经过3个小时和4个小时，这种细菌由1个可繁殖成（    ） A．511个 B．512个 C．4095个 D．4096个 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·宁夏陕西·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【提升练2】（25-26高一上·广西玉林·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·黑龙江大庆·期末）下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图象必过定点 【提升练4】（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 【提升练5】（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. (1)求的函数关系式； (2)求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 考点二　指数函数的图像规律及图像过定点问题 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【基础巩固练】 【变式训练1】（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·天津滨海新区·期中）若函数，且的图象恒过定点，则点的坐标为___________________________________． 【变式训练3】（25-26高一上·安徽亳州·期中）函数（，且）的部分图象可能是（　　） A． B． C． D． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·甘肃庆阳·期中）若函数（，且）的图像不经过第一象限，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【提升练2】（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【提升练3】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任取，都有 B．函数的值域为 C．函数（且）的图象经过定点 D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称 【提升练4】（26-27高一上·广东清远·期中）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为______；若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 考点三　解指数不等式及根据指数函数单调性比较大小 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·广东东莞·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列不等式求解正确的有（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则有（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·浙江温州·期中）若，则x的取值范围是_____________． 【变式训练3】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知，，则下列不等式能使成立的有（     ） A． B． C． D． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【提升练2】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【提升练3】（25-26高一下·江西九江·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【提升练4】（2026高一上·全国·专题练习）已知，则不等式的解集为________． 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 考点四　求指数型函数的单调性及求参 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若在R上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·辽宁·期中）下列函数中在定义域上是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 【变式训练3】（25-26高一上·山西长治·期末）函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·广东广州·期中）已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【提升练2】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·全国·课后作业）函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（ ） A． B． C．0 D． 【提升练4】（26-27高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为______． 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 考点五　指数型复合函数的值域、最值及求参 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【基础巩固练】 【变式训练1】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是______，值域是______. 【变式训练3】（26-27高一上·河南南阳·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．当时，是偶函数 C．若的值域为，则 D．若，则在上单调递增 【能力提升练】 【提升练1】（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【提升练2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【提升练3】（25-26高一上·云南德宏·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．在上是减函数 【提升练4】（26-27高一上·上海虹口·期中）设且，若函数在区间上的最大值为21，则实数的值为_______． 【提升练5】（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 考点六　指数函数的最值与不等式的综合问题 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（   ） A． B． C． D．（表示不大于的最大整数） 【基础巩固练】 【变式训练1】（25-26高一上·湖南·期中）对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【变式训练3】（25-26高一上·云南·阶段检测）关于函数，下列选项中正确的有（    ） A．当时，函数的增区间是 B．，使得函数是偶函数 C．当时，函数的值域是 D．若恒成立，则 【能力提升练】 【提升练1】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知实数满足，则（   ） A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 【提升练2】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值. C．最小值 D．最大值 【提升练3】（25-26高一上·河北承德·期末）取整函数又称“高斯函数”，表示不超过的最大整数（例如）．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间与上均为减函数 B．的值域是 C．方程的所有实根为0，1 D．当关于的方程有2个实根时，实数的取值范围是 【提升练4】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，若，则的取值范围为______. 【提升练5】（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 【真题回顾】 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $