专题4.2 指数函数 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.2 指数函数（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：指数函数的概念与图象性质（单调性·最值·奇偶性）、幂的大小比较、与指数函数复合的函数的单调性、指数增长模型； ▲难点：由图象确定底数、指数型函数的最值构造、不同底数幂的中间值比较法、指数增长模型中翻番时间的确定． 目录 专题4.2 指数函数（期中复习讲义） 1 知识点1 指数函数的概念 1 【题型1 指数函数的概念与判定】 2 知识点2 指数函数的图象与性质 3 【题型2 指数函数的图象与定点】 4 【题型3 指数函数的单调性】 5 【题型4 指数函数的最值与值域】 6 【题型5 指数函数的奇偶性与对称性】 7 知识点3 幂的大小比较 8 【题型6 同底数幂的大小比较】 9 【题型7 不同底数幂的大小比较（中间值法）】 10 知识点4 与指数函数复合的函数的单调性 11 【题型8 与指数函数复合的函数的单调性】 12 知识点5 指数增长模型 13 【题型9 指数增长模型的实际应用】 14 考点1 指数函数的概念 知识点1 指数函数的概念 【重难点】★重点：指数函数的定义（， 且 ）、定义域与值域、指数函数与幂函数的区分； ▲难点：指数函数形式的识别（底数必须是常数且），、等不是指数函数． 1．定义　形如（ 且 ）的函数叫做指数函数，其中是自变量，是底数． 2．定义域与值域　指数函数的定义域为，值域为． 3．辨识要点　①底数是常数且；②自变量必须在指数位置；③形如、、的函数都不是指数函数． 【题型1 指数函数的概念与判定】 【例1】下列函数中，是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】指数函数（且）的值域是______，且它的图象必定经过定点______． 【变式1-2】已知（且），则______． 【变式1-3】下列说法中正确的是（　　） A．函数是幂函数 B．函数是指数函数 C．指数函数（且）的定义域是 D．指数函数的值域是 考点2 指数函数的图象与性质 知识点2 指数函数的图象与性质 【重难点】★重点：指数函数 的图象经过定点 、单调性（ 时递增， 时递减）、值域 ；▲难点：由图象上点的坐标确定底数 ，最值的求解（利用 构造基本不等式）． 1．图象　指数函数的图象恒过点；当时图象在第一、二象限，当时图象在第三、四象限． 2．单调性　时在上单调递增；时在上单调递减． 3．对称性　，故 与 的图象关于 轴对称． 【题型2 指数函数的图象与定点】 【例2】已知指数函数（且）的图象经过点，则______． 【变式2-1】函数（且）的图象一定经过定点______． 【变式2-2】已知（且）的图象过点，则______． 【变式2-3】指数函数与（且均不为）的图象的交点坐标为______． 【题型3 指数函数的单调性】 【例3】已知指数函数（且）在上是增函数，则在上是（　　） A．增函数 B．减函数 C．既增又减 D．无法确定 【变式3-1】函数在上是______函数（填“增”或“减”）． 【变式3-2】设且，则函数的单调性与的单调性______（填“相同”或“相反”）． 【变式3-3】已知，，试比较与的大小． 【题型4 指数函数的最值与值域】 【例4】已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】函数的最小值是______． 【变式4-2】函数的最小值是______． 【变式4-3】已知，若，则实数的取值范围是______． 【题型5 指数函数的奇偶性与对称性】 【例5】已知，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】指数函数 与 （ 且 ）的图象关于______轴对称． 【变式5-2】函数是______函数（填“奇”或“偶”）． 【变式5-3】函数是______函数（填“奇”或“偶”）． 考点3 幂的大小比较 知识点3 幂的大小比较 【重难点】★重点：同底数幂的比较大小的依据（底数大于时指数大的大，底数在时指数大的小）； ▲难点：不同底数幂的比较方法——中间值法（取中间值或作桥梁）． 1．同底数幂　底数相同（底数大于或底数在）时，只需比较指数大小． 2．不同底数幂　常用中间值法：选取合适的中间值（如、、等），把两个数分别与中间值比较，从而得到结论． 【题型6 同底数幂的大小比较】 【例6】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与． 【变式6-1】比较与的大小． 【变式6-2】比较与的大小． 【变式6-3】比较与的大小． 【题型7 不同底数幂的大小比较（中间值法）】 【例7】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与． 【变式7-1】比较与的大小． 【变式7-2】比较与的大小． 【变式7-3】比较与的大小． 考点4 与指数函数复合的函数的单调性 知识点4 与指数函数复合的函数的单调性 【重难点】★重点：复合函数的单调性由与的单调性共同决定； ▲难点：指数型复合函数的单调性判断与单调区间的确定（把的值域作为新函数的定义域）． 1．判断法则　若且递增，则递增；若且递减，则递减． 2．底数在时　单调性与相反：递增则递减，递减则递增． 【题型8 与指数函数复合的函数的单调性】 【例8】已知且，讨论函数的单调性． 【变式8-1】函数的单调区间是______． 【变式8-2】函数在上是______函数（填“增”或“减”）． 【变式8-3】函数在上是______函数（填“增”或“减”）． 考点5 指数增长模型 知识点5 指数增长模型 【重难点】★重点：指数增长模型的建立（），增长量、翻番时间的计算； ▲难点：由图象或数据判断增长类型（指数增长与线性增长的区分），翻番时间的求解． 1．模型形式　（，），其中是初始量，是年（或期）增长率，是期数． 2．翻番时间　由得，再取满足条件的最小整数． 【题型9 指数增长模型的实际应用】 【例9】某种细菌在适宜条件下以倍的速度繁殖，若开始时共有个，则分钟后共有______个． 【变式9-1】某地区今年末人口为万人，若年增长率为，则年后的人口约为______万人（结果精确到万）． 【变式9-2】某厂去年产值为万元，若今年比去年增长，则今年产值为______万元（用含的式子表示）． 【变式9-3】某厂某种产品第一年产量为万件，以后每年比上一年增长，则第四年产量为______万件． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 指数函数（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：指数函数的概念与图象性质（单调性·最值·奇偶性）、幂的大小比较、与指数函数复合的函数的单调性、指数增长模型； ▲难点：由图象确定底数、指数型函数的最值构造、不同底数幂的中间值比较法、指数增长模型中翻番时间的确定． 目录 专题4.2 指数函数（期中复习讲义） 1 知识点1 指数函数的概念 1 【题型1 指数函数的概念与判定】 2 知识点2 指数函数的图象与性质 3 【题型2 指数函数的图象与定点】 4 【题型3 指数函数的单调性】 5 【题型4 指数函数的最值与值域】 6 【题型5 指数函数的奇偶性与对称性】 7 知识点3 幂的大小比较 8 【题型6 同底数幂的大小比较】 9 【题型7 不同底数幂的大小比较（中间值法）】 10 知识点4 与指数函数复合的函数的单调性 11 【题型8 与指数函数复合的函数的单调性】 12 知识点5 指数增长模型 13 【题型9 指数增长模型的实际应用】 14 考点1 指数函数的概念 知识点1 指数函数的概念 【重难点】★重点：指数函数的定义（， 且 ）、定义域与值域、指数函数与幂函数的区分； ▲难点：指数函数形式的识别（底数必须是常数且），、等不是指数函数． 1．定义　形如（ 且 ）的函数叫做指数函数，其中是自变量，是底数． 2．定义域与值域　指数函数的定义域为，值域为． 3．辨识要点　①底数是常数且；②自变量必须在指数位置；③形如、、的函数都不是指数函数． 【题型1 指数函数的概念与判定】 【例1】下列函数中，是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：指数函数必须是 （ 且 ）的形式． A： 是一次函数，自变量不在指数位置 B： 是幂函数，自变量在底数位置 C： 的底数为 且 ，是指数函数 D： 是二次函数，不是指数函数 故选 C． 【变式1-1】指数函数（且）的值域是______，且它的图象必定经过定点______． 【解析】由指数函数性质， 的值域为 ． 又 对任意 且 都成立，故图象恒过定点 ． 故填 ；． 【变式1-2】已知（且），则______． 【解析】，．所以 ．故填 ． 【变式1-3】下列说法中正确的是（　　） A．函数是幂函数 B．函数是指数函数 C．指数函数（且）的定义域是 D．指数函数的值域是 【解析】判定依据： 才是指数函数， 是幂函数． A： 是指数函数，不是幂函数 B： 是幂函数，不是指数函数 C：指数函数的定义域为 ，正确 D：指数函数的值域为 ，不是 故选 C． 考点2 指数函数的图象与性质 知识点2 指数函数的图象与性质 【重难点】★重点：指数函数 的图象经过定点 、单调性（ 时递增， 时递减）、值域 ；▲难点：由图象上点的坐标确定底数 ，最值的求解（利用 构造基本不等式）． 1．图象　指数函数的图象恒过点；当时图象在第一、二象限，当时图象在第三、四象限． 2．单调性　时在上单调递增；时在上单调递减． 3．对称性　，故 与 的图象关于 轴对称． 【题型2 指数函数的图象与定点】 【例2】已知指数函数（且）的图象经过点，则______． 【解析】图象过点 ，故 ，即 ． 所以 ．故填 ． 【变式2-1】函数（且）的图象一定经过定点______． 【解析】因为 对任意 且 恒成立， 所以 的图象恒过定点 ．故填 ． 【变式2-2】已知（且）的图象过点，则______． 【解析】图象过点 ，故 ，又 ，得 ． 所以 ．故填 ． 【变式2-3】指数函数与（且均不为）的图象的交点坐标为______． 【解析】由 得 ，又 ，故 ． 此时 ，所以两图象只有一个交点 ．故填 ． 【题型3 指数函数的单调性】 【例3】已知指数函数（且）在上是增函数，则在上是（　　） A．增函数 B．减函数 C．既增又减 D．无法确定 【解析】 在 上递增，故 ． ，底数 ，故 递减． A：与上述判断相反，错误 B： 在 上单调递减，正确 C：指数型函数在 上单调，不存在「既增又减」 D：底数已确定符号范围，单调性可以确定 故选 B． 【变式3-1】函数在上是______函数（填“增”或“减”）． 【解析】 的底数 ， 故 在 上单调递减．故填「减」． 【变式3-2】设且，则函数的单调性与的单调性______（填“相同”或“相反”）． 【解析】， 底数 与 分居 1 的两侧，即一增一减，故单调性相反．故填「相反」． 【变式3-3】已知，，试比较与的大小． 【解析】．． 因为 ，所以 ． 【题型4 指数函数的最值与值域】 【例4】已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解析】由基本不等式，． 当 ，即 时取等号，故最小值为 ． A： 与基本不等式所得下界一致，正确 B：，低于最小可能值，取不到 C：，不是最小值 D：，不是最小值 故选 A． 【变式4-1】函数的最小值是______． 【解析】由基本不等式，． 当 ，即 时取等号，故最小值为 ．故填 ． 【变式4-2】函数的最小值是______． 【解析】． 因为 ，当 时 ，此时 ， 故 ，最小值为 ．故填 ． 【变式4-3】已知，若，则实数的取值范围是______． 【解析】 在 上单调递增， 故 等价于 ，解得 ．故取值范围是 ． 【题型5 指数函数的奇偶性与对称性】 【例5】已知，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【解析】． A：，不成立 B： 与 不相等，不成立 C：，正确 D：右边是负值，与 矛盾 故选 C． 【变式5-1】指数函数 与 （ 且 ）的图象关于______轴对称． 【解析】因为 ，两图象上横坐标互为相反数的点纵坐标相同， 所以 与 的图象关于 轴对称．故填「」． 【变式5-2】函数是______函数（填“奇”或“偶”）． 【解析】，且定义域 关于原点对称， 故 是偶函数．故填「偶」． 【变式5-3】函数是______函数（填“奇”或“偶”）． 【解析】， 且定义域 关于原点对称，故 是奇函数．故填「奇」． 考点3 幂的大小比较 知识点3 幂的大小比较 【重难点】★重点：同底数幂的比较大小的依据（底数大于时指数大的大，底数在时指数大的小）； ▲难点：不同底数幂的比较方法——中间值法（取中间值或作桥梁）． 1．同底数幂　底数相同（底数大于或底数在）时，只需比较指数大小． 2．不同底数幂　常用中间值法：选取合适的中间值（如、、等），把两个数分别与中间值比较，从而得到结论． 【题型6 同底数幂的大小比较】 【例6】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与． 【解析】(1) 两边同取 10 次方：，． 因为 ，所以 ． (2) 两边同取 10 次方：，，因 ，故 ． (3) 指数相同， 在 上递增，底数 ， 所以 ． 【变式6-1】比较与的大小． 【解析】两边同取 10 次方：，． 因为 ，所以 ． 【变式6-2】比较与的大小． 【解析】底数 ，指数越大函数值越小． 因为 ，所以 ． 【变式6-3】比较与的大小． 【解析】，． 因为 ，所以 ，即 ． 【题型7 不同底数幂的大小比较（中间值法）】 【例7】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与． 【解析】(1) ， 又 且 ，故 ，所以 ． (2) ，所以 ． (3) ，所以 ． 【变式7-1】比较与的大小． 【解析】，且 ，所以 ． 【变式7-2】比较与的大小． 【解析】两边同取 10 次方：，．因为 ，所以 ． 【变式7-3】比较与的大小． 【解析】，且底数 、指数 ， 故 ，所以 ． 考点4 与指数函数复合的函数的单调性 知识点4 与指数函数复合的函数的单调性 【重难点】★重点：复合函数的单调性由与的单调性共同决定； ▲难点：指数型复合函数的单调性判断与单调区间的确定（把的值域作为新函数的定义域）． 1．判断法则　若且递增，则递增；若且递减，则递减． 2．底数在时　单调性与相反：递增则递减，递减则递增． 【题型8 与指数函数复合的函数的单调性】 【例8】已知且，讨论函数的单调性． 【解析】，其中 为常数， 故 的单调性与 相同． 当 时， 在 上递增，故 在 上递增； 当 时， 在 上递减，故 在 上递减． 【变式8-1】函数的单调区间是______． 【解析】，由 在 上递增， 知 在 上单调递增，故单调递增区间为 ． 【变式8-2】函数在上是______函数（填“增”或“减”）． 【解析】 在 上递减， 在 上递减， 两个递减函数之和仍递减，故 在 上是减函数．故填「减」． 【变式8-3】函数在上是______函数（填“增”或“减”）． 【解析】 在 上递增， 在 上递增， 故 在 上递增．故填「增」． 考点5 指数增长模型 知识点5 指数增长模型 【重难点】★重点：指数增长模型的建立（），增长量、翻番时间的计算； ▲难点：由图象或数据判断增长类型（指数增长与线性增长的区分），翻番时间的求解． 1．模型形式　（，），其中是初始量，是年（或期）增长率，是期数． 2．翻番时间　由得，再取满足条件的最小整数． 【题型9 指数增长模型的实际应用】 【例9】某种细菌在适宜条件下以倍的速度繁殖，若开始时共有个，则分钟后共有______个． 【解析】每分钟繁殖为原来的 2 倍，10 分钟后的数量为 ． ，故共有 个． 【变式9-1】某地区今年末人口为万人，若年增长率为，则年后的人口约为______万人（结果精确到万）． 【解析】5 年后人口为 ． ，故约为 万人． 【变式9-2】某厂去年产值为万元，若今年比去年增长，则今年产值为______万元（用含的式子表示）． 【解析】今年产值比去年增长 ，故今年产值为 （万元）． 【变式9-3】某厂某种产品第一年产量为万件，以后每年比上一年增长，则第四年产量为______万件． 【解析】第四年是第一年之后的第 3 次增长， 故产量为 （万件）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $