4.3.1 对数的概念 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 4.3.1　对数的概念

 必修第一册　第四章　指数函数与对数函数

[学习目标]

1．结合指数函数的图象与增长率背景，理解对数的定义，能指出对数式中的底数与真数，会进行指数式与对数式的互化。

2．理解对数式中 且 、 这些限制条件的由来，会求含字母的对数式中字母的取值范围。

3．了解常用对数与自然对数的记法，掌握 、 与对数恒等式，会用对数定义求简单的对数值。

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 1．对数的定义

由 4.2.2，函数 的图象是一条从左向右不断上升的曲线（图 1）。在图象上找纵坐标为 8 的点：因为 ，这个点就是 (3,8)，它的横坐标 3 能算出来。再找纵坐标为 6 的点：水平直线 与该图象仍有一个公共点，说明使 成立的 存在且唯一，但 6 不是 2 的整数次幂，这个 用已经学过的运算写不出来。

同类情形在实际问题中大量出现。设某地区国民生产总值的年平均增长率约为 ，把现在的国民生产总值看作 1，那么经过多少年它分别是现在的 2 倍、3 倍、4 倍，就是要分别从 ，， 中求出 。这几个问题的共同特征是已知底数与幂的值，要求指数。为了表示这样的指数，需要引入一种新的运算。

图 1: 直线 、 与 的图象都只有一个公共点

(1) 定义：一般地，如果 （，且 ），那么数 叫做以 为底 的，记作 ，其中 叫做， 叫做。

(2) 按此记法，图 1 中水平直线 与 图象交点的横坐标 就是 。求 的值，就是求使 的 ，由 得 。

(3) 对数式 是一个数，不是 与 相乘，也不是 除以 。读作“以 为底 的对数”。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 表示一个数，这个数就是使 成立的 。（　　）

(2) 因为 ，所以 。（　　）

 2．指数式与对数式的互化

定义中的 与 说的是同一件事：前者把 写在指数位置，后者把 单独写在等号左边。同一个底数 、同一个数 ，两种写法可以互相转化，各部分名称的对应关系如下表。

(1) 互化方法：指数式化成对数式，底数 不变，把幂 作为，把指数 作为；对数式化成指数式，底数 不变，把真数 作为，把对数 作为。

 提醒： 位置关系是“底数不动，指数与对数互换，幂与真数互换”。 中 在等号左边， 在右边，不要与指数式 中 、 的位置混为一谈。

判断

(1) 指数式 化成对数式是 。（　　）

(2) 对数式 化成指数式是 。（　　）

 3．对数式中底数与真数的取值范围

观察图 2 中 与 的图象：两条曲线都在 轴上方，与 轴没有公共点，也与水平直线 没有公共点。这就是 4.2.2 得到的结论：当 且 时， 对一切实数 恒成立， 取不到 0 和负数。

图 2: 两条指数曲线都在 轴上方，与直线 无公共点

定义：要使 有意义，必须 ，且 ，并且 。换句话说，和没有对数，即对数式中的真数必须是正数。

这三个条件是对数定义自带的要求，不是解题时才附加的： 时 对部分实数没有意义， 时 恒为 1， 时找不到实数 使 。

判断

(1) 有意义。（　　）

(2) 因为 ，所以 。（　　）

 4．常用对数与自然对数

底数 取遍一切大于 0 且不等于 1 的常数，其中两个数用得最多：10 与无理数 。为了书写方便，教材对这两个底数的对数规定了专门的记号，把底数省略不写。

(1) 定义：通常，将以 10 为底的对数叫做，并把 记作；在科学技术与经济领域中经常使用以 为底的对数，叫做，记作。

(2) 例如 记作 ， 记作 ； 记作 ， 记作 。在 与 中，真数仍是 ， 这一限制照常有效。

判断

(1) 以 为底的对数叫做常用对数。（　　）

(2) 与 表示同一个对数。（　　）

 5．对数的基本性质与对数恒等式

回到图 1： 的图象经过点 (0,1)，即 ，按对数定义就是 ；图象经过点 (1,2)，即 ，按定义就是 。把底数换成任意满足条件的 ，用 、 得到两条一般结论。

(1) ，（，且 ）。

(2) 对数恒等式：设 ，由对数定义得 ，再把 的整体代回指数位置，得 （，且 ，）。反过来，设 ，则 ；由 4.2.2， 在 上单调，同一个函数值只对应一个自变量，所以 ，即 。

判断

(1) （，且 ）。（　　）