精品解析：河南洛阳市伊川县2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年第一学期期中质量调研检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意． 2. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数轴可知，再根据化简二次根式，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图知， ∴，， ∴ ． 6. 如图，已知，，，线段的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“三贯二百一五十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱五文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为3250文．如果每株椽的运费是5文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意，设这批椽的数量为x，列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，关键是理解“剩下的运费等于一株椽的价钱”这一等量关系． 根据题意，少拿一株椽后，剩下的运费等于一株椽的价钱，可求出一株椽的价钱，再结合总价钱列方程，即可作答． 【详解】解：∵少拿一株椽后， ∴剩下的椽数量为株， ∵每株运费为5文， ∴ 剩下的运费为 文 又∵剩下的运费等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为文， ∵总价钱为3250文，等于椽的数量乘以每株价钱， 即， 故选：A． 8. 如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 9. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（ ） A. B. 9或6 C. 9或 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】∵在实数范围内有意义 ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 13. 已知，是方程的两个根．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子配方变形后代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 14. 如图，，，，，则的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据图形发现，代入已知条件得的值，再根据条件，，结合三角形相似判定定理可证明，根据相似三角形的性质求出的长，再根据，代入数据计算即可求出的长. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4. 15. 如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，分两种情况利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：设点的运动时间为秒， 由题意可得，， ∵是的中点， ∴， 当时， , ∴，解得， 当时， , ∴，解得， 综上可知，点的运动时间为或， 故答案为：或 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简，计算二次根式除法，再计算加减法即可； （2）先计算完全平方公式和二次根式乘法，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把括号内的式子通分，把除法变为乘法并利用平方差公式因式分解，再约分计算得出最简结果，最后代入的值计算即可得出答案． 【详解】解： 当时，原式 18. 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 （1）嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）一 （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时，方程两边才能同时除以，得 ， 当时，方程两边同时除以，无意义， ∴第一步就出现了错误，没分类讨论． 故答案为：一． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 19. 如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）20万元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 21. 已知：关于x的方程． （1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式列出关于k的式子． （1）根据根的判别式，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，利用，即可得到k的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系得： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即k的值为． 22. 如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：， ． 由（1）可知， ， ． 23. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； （2）如图2，在中，，，是的完美分割线，且是等腰三角形，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， 不是等腰三角形， 平分， ， ， 是等腰三角形， ，， ， 是的完美分割线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，分别证明为等腰三角形，，即可得出结论； （2）根据，得到，设，解方程求出，根据相似三角形的性质定理列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的完美分割线， ∴， ， ，， 设，则， ， 解得：， ， ， ， ， ，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中质量调研检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. 1 C. D. 6. 如图，已知，，，线段的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“三贯二百一五十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱五文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为3250文．如果每株椽的运费是5文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意，设这批椽的数量为x，列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 9. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（ ） A. B. 9或6 C. 9或 D. 3或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 若，则________． 13. 已知，是方程的两个根．则_______． 14. 如图，，，，，则的长为_______． 15. 如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 （1）嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 19. 如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 21. 已知：关于x的方程． （1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 22. 如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； （2）如图2，在中，，，是的完美分割线，且是等腰三角形，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $