精品解析：河南省洛阳市伊川县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河南省洛阳市伊川县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数，如果所给的式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【详解】解：若代数式在实数范围内有意义，则，， ∴实数x的取值范围是且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意； C.原式==，所以C选项错误，不符合题意； D.原式==2，所以D选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4. 已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 5. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解： ，即， ， 解得： 故选：D． 6. 将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】据题意，可以将方程转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况． 【详解】解：∵方程， ∴x2﹣4x＝﹣3， ∴x2﹣4x+3＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0， ∴方程两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况． 7. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：现在有一扇不知道高度和宽度的门和一根不知道长度的竹竿（如图）．将竹竿横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确运用勾股定理，关系是解答本题的关键． 设门对角线长为尺，表示出门高和门宽，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：∵设门对角线长为尺， ∴竿的长度为尺，门高为尺，门宽为尺， 根据题意得：， 故选：A． 8. 如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若 ∴，， ∴，， ∴， 解得， 故选：D． 9. 如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取AC的中点M，连接EM设由中位线性质可得再根据，可得出从而得到FC的长，即可得到的结果． 【详解】解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设 ∵点是中点， ∴EM是的中位线， 四边形是菱形， ，∠AMD=90°， ， ∴DM=， ∴AM= 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 10. 如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】因为点为线段的三等分点，没有指明线段的占比情况，所以需要分两种情况讨论：①；② ．然后由一线三垂直模型可证 ∽，再根据相似三角形的性质求得 的值，最后由 即可求得 的长． 【详解】当点为线段的三等分点时，需要分两种情况讨论： ①如图1，当时， ∵∥，， ， ∴四边形为矩形， ∴， ， ． 由折叠的性质可得，． 在中，． ∵， ， ∴， ∴∽， ∴，即 ，解得 ， ∴． ②如图2，当时， ∵∥，， ， ∴四边形为矩形， ∴， ， ． 由折叠的性质可得，． 在中，． ∵， ， ∴， ∴∽， ∴，即 ，解得， ∴． 综上所述，的长为或 ． 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由为线段的三等分点，分两种情况讨论线段的占比情况，以及利用型相似进行相关计算是解决此题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，然后解方程即可． 【详解】解：， 又与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 12. 已知，那么代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，比例的性质，设，则，代入计算即可，熟练掌握等比性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系．根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 则 ， 故答案为． 14. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，中，，，点D在线段上运动点D和B、C均不重合，DE交于点E，，当是等腰三角形时，的长度为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和直角三角形的性质，结合题目给出的条件，分情况讨论为等腰三角形时的长度是解题关键． 当时，，因此，即．由于是等腰直角三角形，，所以，从而．因此，． 当时，，则．又因为，所以，从而．结合和，可以证明，因此，．由于，所以，因此． 【详解】分以下三种情况讨论： ①当时，，如图 可知，即． ，，， ， ，； ②当时，如图 ， ． ，， ， ， ． 又，， ， ，． ， ， ； ③当时，点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 故答案为1或． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. 已知，矩形，点E是上一点，将矩形沿折叠，点A恰好落在上的点F处． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若点F恰好是的中点，点M是上一点，过点M作交于点N，连接，若平分，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：F为的中点，， ， ， ， ． 又平分， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出的值，再证得线段成比例，设，列方程求解即可； （2）根据条件推理证明即可． 【小问1详解】 解：矩形中，，，，， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ，解得， ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质、折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，掌握这些是解题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算的计算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法公式去括号，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：（1﹣），x＝． 【答案】， 【解析】 【分析】根据运算顺序，将括号内的代数式通分，再根据因式分解的方法计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝， 当x＝时，原式＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握通分的方法及平方差公式． 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法解方程是解题的关键． 先移项，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以． 20. 如图，在锐角中，D，E两点分别在边上，于点M，于点N，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形判定定理，熟悉掌握定理是关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可求解； （2）由得，进而证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ． ∵， ∴． ． 21. 如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），设花圃垂直于墙的边长为x米．当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ 【答案】当为7米时，所围成花圃面积为105平方米 【解析】 【分析】用篱笆的总长减去3段垂直于墙的边长，然后加上两个门的长可表示出的长，然后再根据长方形面积公式列一元二次方程求解即可；本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出的长是解答本题的关键． 【详解】 解：设花圃垂直于墙的边长为x米，则长（米）， 由题意可得， 整理得， 因式分解得， 解得， ∵当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，符合题意， ∴（米）． 答：当为7米时，所围成花圃面积为105平方米． 22. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键． （1）根据根的判别式得出，解不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出，，将已知的等式通分后，再将，的值代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：存在， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， ， 解得，， 经检验，，，是分式方程的解， ， ， 即存在实数，使得等式成立，此时． 23. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：平行四边形中，， ， ，， ， ， 又， ； （2）24 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，找出相似三角形是解题的关键． （1）由可得，由三角形外角的性质可得，结合可得，进而可得，即可证明； （2）设，则，根据推出，可求x的值，再证，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 设，则， ，， 由（1）知， ， ， ， 解得（负值舍去）， ，． ， ， ，， ， 又平行四边形中，， ， ， 又， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省洛阳市伊川县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 4. 已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：现在有一扇不知道高度和宽度的门和一根不知道长度的竹竿（如图）．将竹竿横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 12. 已知，那么代数式的值是_____． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 14. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为___________． 15. 如图，中，，，点D在线段上运动点D和B、C均不重合，DE交于点E，，当是等腰三角形时，的长度为______． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. 已知，矩形，点E是上一点，将矩形沿折叠，点A恰好落在上的点F处． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若点F恰好是的中点，点M是上一点，过点M作交于点N，连接，若平分，求证：． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：（1﹣），x＝． 19. 解方程： 20. 如图，在锐角中，D，E两点分别在边上，于点M，于点N，． （1）求证：； （2）若，求的值． 21. 如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），设花圃垂直于墙的边长为x米．当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ 22. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 23. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． （1）求证：； （2）若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $