精品解析：河南开封市金明中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

金明中学2026-2027学年第一学期期中 九年级数学试卷 满分：120分 考试时间：100分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3份，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对每个选项，先判断能否沿着某条直线折叠，使直线两旁的部分完全重合，以此确定是否为轴对称图形；再将图形绕某一点旋转，观察旋转后的图形能否与原图形完全重合，以此确定是否为中心对称图形，筛选同时满足两个条件的图形即可． 【详解】选项中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；选项中图形不是轴对称图形，是中心对称图形；选项中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；选项中图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 3. 用配方法解一元二次方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键； 根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】解：由， 得， ， ． 故选：C． 4. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 5. 下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④三个点确定一个圆 ⑤长度相等的两条弧是等弧．正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①②中，直径是过圆心的特殊弦，故①正确，②错误； ③∵半圆是弧的一种，弧包含优弧、劣弧，∴该说法正确； ④∵共线的三个点不能确定一个圆，∴该说法错误； ⑤∵长度相等的弧不一定能完全重合，∴该说法错误； 综上，正确的命题共2个． 6. 如图，已知四边形内接于，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴  ∴  7. 已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象经过的象限可判断出的符号，则可确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴； ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于y轴的正半轴，对称轴在y轴左侧，且开口向下， ∴四个选项中只有B选项中的函数图象符合题意． 8. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴点为顶点，其纵坐标为最大值；点、在对称轴右侧， 时，随增大而减小， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的值可能是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：，解得， 可知若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是， 则a的值可能是1． 10. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此求出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得， 因此可取，符合要求即可． 12. 若是一元二次方程的解，则m的值__________________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：将代入得，， 解得． 13. 如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知，结合已知面积求出，再根据图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：， ， ． 由图象可知，反比例函数图象位于第二象限， ， ． 14. 点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的性质求出点的坐标，再结合点在第三象限列出关于m的不等式，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为点， ∵点在第三象限，且， ∴， 解得． 15. 如图，在矩形中，，点在边上，，动点，分别在边和上，且，点在上，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，设，根据矩形的性质，求出，根据等腰三角形的性质，推出，根据平行线的性质，推出，根据勾股定理求出，，根据三角形的面积公式，得到，根据函数的最值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，设． 四边形为矩形， ，，， ． ， ， ． ， ， ， 由勾股定理得． ， ， ， ，由勾股定理， ， 当时，存在最大值，最大值为． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式可得：， 可得：或， 解得：，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； （2）将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； （3）若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）将三个顶点向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点A，B绕点C顺时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）和的垂直平分线的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，和的垂直平分线交于点， ∴旋转中心的坐标是． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵一元二次方程为，其中，，， ∴ ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，配方后证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系表示出两根和与两根积，代入已知等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵ 无论取何值方程均有两个实数根， ∴的值为或. 19. 如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，是圆的直径， ， ； （2）6 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理可得，即可解答； （2）连接，根据勾股定理求出，然后利用垂径定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 阅读材料： 信息一 美的风扇灯是风扇和灯一体的双功能家用电器，既可以照明又可以降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档是800转/分，三档是1152转/分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进购这种商品，进货价为250元/件，售价为290元/件，每天可售80件．当每降价1元时，可多售8件． 根据以上材料，解决下列问题： （1）求一档至三档转速的平均增长率； （2）该商店要尽快清理该电风扇库存，且使该电器每天的利润达到4800元，应降价多少元？ 【答案】（1） （2）应降价元 【解析】 【分析】（1）根据“一档转速增长率三档转速”列一元二次方程，舍去负根，得到平均增长率； （2）根据“每件利润销量总利润”列一元二次方程，得到两个解，根据“尽快清理库存”的要求选择销量更高的方案． 【小问1详解】 解：设一档至三档转速的平均增长率为，根据题意得方程： ， 解得：，（舍去）， 答：一档至三档转速的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设应降价元，根据题意得方程：， 方程整理得：， 解得：，， 当时，销量为（台）， 当时，销量为（台）， 为了尽快清理库存，则应选择销售量高的方案，故应降价元． 答：要尽快清理库存且使该电器每天的利润达到元，应降价元． 21. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 1 4 … … 2 3 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是________（填序号）； ①； ②； ③当时，有最大值3； ④当时，随的增大而增大． （3）将二次函数的图象向上平移4个单位长度得到新函数的图象，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①③④ （3）或 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据描点，连线画图即可； （2）根据开口方向可判断①；根据与x轴的交点个数可判断②；根据对称性求出对称轴，结合增减性可判断③和④； （3）求出平移前抛物线的解析式，进而得到平移后的抛物线解析式，求出平移后抛物线与x轴的交点的横坐标即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵函数图象开口向下， ∴，故①正确； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ∵和时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∵函数图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∴当时，有最大值3，故③正确 ∵函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故④正确； 综上所述，正确的有①③④； 【小问3详解】 解：由（2）得可设平移前的函数解析式为， 把代入得， ∴， ∴平移前的函数解析式为， ∴平移后的函数解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴当时，的取值范围为或． 22. 综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）【建立模型】求抛物线的解析式． （2）【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，把代入，求出，即可求出抛物线的解析式； （2）令，得出，解方程求出符合题意的，根据即可得出答案； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为，由（2）可知，代入，解方程可求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度． ∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴当时，， 解得，（舍去）， ∵壶口的宽度， ∴． 【小问3详解】 解：∵仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变， ∴设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 把代入得，， 解得， ∴再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 当时，，即， ∴时，箭刚好由点处擦边投入壶中， 由（2）可知，时，箭刚好由点处擦边投入壶中， ∴． 23. 根据题目条件，解答下列各题 （1）【感知】如图①，在平行四边形纸片中，，，对角线，则________； （2）【操作一】如图②，将图①中的平行四边形纸片沿剪开得到两个全等的三角形，将绕点D逆时针旋转得到．当点在的延长线上时，的长为________； （3）【操作二】在图②的旋转过程中，连接，如图③，当点在的延长线上时，求证：四边形是矩形； （4）【应用】在图②的旋转过程中（旋转角小于），连接，，当时，直接写出的长． 【答案】（1）4 （2） （3）证明：∵将绕点D逆时针旋转得到． ∴， ∴是等腰三角形， ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （4） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可求出答案； （2）连接，由平行四边形的性质得到，由旋转得到，利用勾股定理即可得到； （3）由旋转可知，证明是等腰三角形，根据四边形是平行四边形得到，由等腰三角形的性质得到，则，证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （4）证明与重合，即三点共线，则，，在中，由勾股定理即可得到． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，如图： 四边形是平行四边形， ， 将绕点D逆时针旋转得到， ， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图所示，连接，，当时，则， 将绕点D逆时针旋转得到， ， ∴， 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 与重合，即、D、C三点共线， ， ， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金明中学2026-2027学年第一学期期中 九年级数学试卷 满分：120分 考试时间：100分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3份，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④三个点确定一个圆 ⑤长度相等的两条弧是等弧．正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，已知四边形内接于，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的值可能是（ ） A. B. C. D. 1 10. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 12. 若是一元二次方程的解，则m的值__________________． 13. 如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 14. 点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 15. 如图，在矩形中，，点在边上，，动点，分别在边和上，且，点在上，则的面积的最大值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； （2）将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； （3）若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 19. 如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 阅读材料： 信息一 美的风扇灯是风扇和灯一体的双功能家用电器，既可以照明又可以降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档是800转/分，三档是1152转/分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进购这种商品，进货价为250元/件，售价为290元/件，每天可售80件．当每降价1元时，可多售8件． 根据以上材料，解决下列问题： （1）求一档至三档转速的平均增长率； （2）该商店要尽快清理该电风扇库存，且使该电器每天的利润达到4800元，应降价多少元？ 21. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 1 4 … … 2 3 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是________（填序号）； ①； ②； ③当时，有最大值3； ④当时，随的增大而增大． （3）将二次函数的图象向上平移4个单位长度得到新函数的图象，当时，求的取值范围． 22. 综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）【建立模型】求抛物线的解析式． （2）【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 23. 根据题目条件，解答下列各题 （1）【感知】如图①，在平行四边形纸片中，，，对角线，则________； （2）【操作一】如图②，将图①中的平行四边形纸片沿剪开得到两个全等的三角形，将绕点D逆时针旋转得到．当点在的延长线上时，的长为________； （3）【操作二】在图②的旋转过程中，连接，如图③，当点在的延长线上时，求证：四边形是矩形； （4）【应用】在图②的旋转过程中（旋转角小于），连接，，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $