精品解析：陕西咸阳渭城中学2026-2027学年高二第一学期第一次质量检测数学试题

陕西咸阳渭城中学2026-2027学年高二第一学期第一次质量检测数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 2. 已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A. B. C. D. 不存在 5. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，点M满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列叙述中正确的有（ ） A. 若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B. 若直线斜率，则它的倾斜角为 C. 已知点，，则直线的倾斜角为 D. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 11. 如图，在四棱锥中，，平面，取棱的中点为，连接，则下列说法正确的是（） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 不存在点，使得 D. 线段的长度恒为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 13. 在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜率． 16. 已知直线经过，，直线经过点，. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 17. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 18. 如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西咸阳渭城中学2026-2027学年高二第一学期第一次质量检测数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点在Oyz平面上的射影坐标特征是不变，变为0， 所以点在平面上的射影坐标为． 3. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 4. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A. B. C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 5. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 6. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 7. 已知正方体的棱长为2，点M满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合共面向量定理得四点共面，则的最小值为点到平面的距离，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式可得答案． 【详解】由，且， 结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，取，则，， 所以点到平面的距离. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列叙述中正确的有（ ） A. 若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B. 若直线斜率，则它的倾斜角为 C. 已知点，，则直线的倾斜角为 D. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断各选项即可. 【详解】对于A，当时，斜率不存在，故A错误； 对于B，当直线斜率时，它的倾斜角为，故B正确； 对于C，由，，则直线轴，倾斜角为，故C正确； 对于D，因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为1， 由于，因此这条直线必过点，故D正确. 故选：BCD 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 11. 如图，在四棱锥中，，平面，取棱的中点为，连接，则下列说法正确的是（） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 不存在点，使得 D. 线段的长度恒为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直性质与勾股定理建系，A、C选项利用数量积为建立方程，结合约束条件判断是否存在满足条件的解；B选项通过数量积恒为非零常数判断；D选项利用两点间距离公式，整体代入约束条件消参，证明线段长度为定值. 【详解】由可知，，， 因为 平面，且平面，所以： 且 ， 在中，，可得：， 以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则：，，， 因为，是等边三角形，计算得点的坐标：， 由于点在平面内，设，由，可得约束条件：， 因为是的中点，由中点坐标公式可得：； A选项：，， 若 ，则，解得， 代入，得，此时存在点或满足题意，故A选项正确； B选项：，， ，无论点在何处，数量积恒为，不可能为，所以不可能垂直于，故B选项错误； C选项：， 若 ，则，解得，代入约束条件，得， 解得，此时点的坐标为，此时、、三点共线，无法构成四棱锥，因此，在四棱锥中，不存在这样的点，故C正确； D选项：，， 将代入，得：，所以恒成立，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 13. 在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出的平分线的倾斜角，得到斜率. 【详解】因为，所以， 因为点在第一象限，且，所以， 所以直线的倾斜角为，所以， 设的平分线为直线，则直线的倾斜角为， 所以， 即的平分线所在直线的斜率为. 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【小问1详解】 由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为． 【小问2详解】 由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为． 16. 已知直线经过，，直线经过点，. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【小问1详解】 直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. 【小问2详解】 由得,由(1)可得，所以. 17. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由可得， 故； 【小问2详解】 易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； 【小问3详解】 因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 18. 如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为，分别是，的三等分点（靠近点）， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，利用线面平行的判定定理推得平面，再由线面平行的性质定理即可证明； （2）根据条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为菱形的对角线和交于点， 所以为的中点，且，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 故可以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因，则点为的中点，故， 又是的三等分点，则， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点到平面的距离为. 19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】（1）因为，，，易得，所以，即， 又因为平面，平面，所以， ，平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理证明，再通过线线垂直证明线面垂直. （2）通过二面角的定义找出二面角所对应的夹角，并通过勾股定理求解线段长度，进而求解余弦值. （3）通过建立空间直角坐标系求解平面法向量，利用法向量表示出二面角余弦值并求解范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接如图所示， 因为，，，平面，所以平面， 又因为，所以，为二面角的平面角. ，得，， 因为平面，所以，，. 【小问3详解】 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， ，，，，， 设，，，， 设平面法向量，满足，解得. 因为平面，所以平面法向量， ， 所以时，，时，， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $