精品解析：陕西咸阳渭城中学2025-2026学年高二第二学期第三次质量检测数学试题

高二年级第二学期第三次质量检测 数学考试试题 命题人：赵瑜 审核人：王红娟 谈静 注意事项： 1、本试卷满分150分，考试时间150分钟． 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需或动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法将复数转化为复数的代数形式，结合复数的几何意义得到复数对应的点坐标后即可判断. 【详解】依题意，， 所以复数对应的点为， 所以复数对应的点位于第二象限； 故选：B. 2. 已知平面向量与的夹角为，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件求出，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由题意，，，与的夹角为， 故， 则. 故选：C. 3. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关， 故； 第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中， 故，且，故， 综合可得，即， 故选：C 4. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在“疯狂动物城2”、“长安的荔枝”、“得闲谨制”及“开心岭”的四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ） A. 64 B. 62 C. 63 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，计算三人独立选择电影的选法乘积即可得到结果. 【详解】计算三人选择电影的总选法，分三步完成： 第一步，甲从4部电影中任选1部，共有4种不同的选法； 第二步，乙从4部电影中任选1部，共有4种不同的选法； 第三步，丙从4部电影中任选1部，共有4种不同的选法. 根据分步乘法计数原理，不同的选法总种数为. 5. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，且过点，所以，解得. 6. 已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. 7. 已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论不正确的是（ ） A. 当、独立时， B. 当、互斥时， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式、独立事件、互斥事件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若、独立，则， 由条件概率公式可得，A对； 对于B选项，若、互斥，则， 所以，，此时，B对； 对于CD选项，，C错D对. 8. 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围. 【详解】由方程变形为， 所以或， 当时，，所以当时，；当时，. 所以函数在上有极大值也是最大值，此时. 画出图像如下： 由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点. 所以，解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列是首项为1的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 由已知构造出数列是等比数列，可求出数列的通项公式以及前项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】，∴，∴数列是等比数列 又∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：AB. 10. 某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ） A. 该知识竞赛的及格率为60% B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求得这次知识竞赛的及格率.分析得到随机变量服从二项分布，即可求得. 【详解】选项A：因为学生成绩，根据正态分布的对称性得：， 所以，即该知识竞赛的及格率为80%，故选项A错误； 选项B、C、D：因为，由题意可得， 所以，，. 故选项B、D正确，选项C错误. 故选：BD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，为正方形的中心，为棱上的动点.则下列说法正确的是（ ） A. 点为中点时， B. 当点运动时，折线段长度的最小值是 C. 当点运动时，三棱锥外接球的球心总在直线上 D. 当为的中点时，正方体表面到点距离为的轨迹的总长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点为棱上的动点，则根据对应点在不同位置，对各项进行分析即可. 【详解】对于A，根据题意得为的中位线，所以，又面， 所以面，面，则，故A正确； 对于B，将平面沿翻折到平面，如图， 折线段的长度最小为，故B错误； 对于C，体对角线过的中心且垂直于平面， 故以为底的三棱锥，球心在上，故C正确； 对于D，在平面和平面上轨迹是以为圆心，为半径， 圆心角为的两段弧，在平面和平面上，轨迹是以为半径， 圆心角为的两段弧，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据正方体的性质及线线、线面关系判断线线位置、线段长的最值，分析锥体外接球球心位置. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆的圆心为，且圆与直线相切，则圆的方程为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程． 【详解】圆的圆心为，与直线相切， 圆心到直线的距离等于半径，即， 圆的方程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切关系的应用，是基础题． 13. 若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为________.. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比中项的定义得到，变形即可求出离心率. 【详解】设双曲线的焦距为，由题意得，即， 所以，两边同除以， 得，解得，又，所以. 故答案为： 14. 被6除所得的余数为______． 【答案】 【解析】 【分析】把用二项式定理展开，把问题转化为被的余数. 【详解】， 展开式的前项都能被整除，只有最后一项不能被整除，所以问题转化为被的余数， 而，被除的余数为，所以被除的余数为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，M、N分别是的中点，． （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，用向量法即可求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 连接，如下图所示， 由于是直三棱柱，易知， 又因为，且，平面， 所以平面. 因M、N分别是的中点，所以，因此平面； 又平面，所以； 易知，所以， 满足，由勾股定理可知，， 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以，. 【小问2详解】 由（1）可知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 易得， ； 设平面的一个法向量为， 则，令得， 即平面的一个法向量为， 易知，平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角（锐角）为， 则， 所以，平面与平面所成角的余弦值为. 16. 已知为等比数列，为等差数列，满足且，，． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式计算基本量，从而可得通项公式； （2）直接根据错位相减法求数列的前n项和可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 因为，，所以，， 得，解得或， 当时，；当时，， 因为，所以，故舍去. 则，. 故，. 【小问2详解】 设，则，① 所以②， 得 即. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并分类讨论参数，即可得出的单调性； （2）根据（1）中的结论得出极大值的表达式，解不等式即可得的取值范围． 【小问1详解】 ， ①当时，在上单调递增，无递减区间， ②当时，，可得，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 因为有极大值，且极大值大于， 故，且在处取极大值， ，即， 令， 恒成立，在上单调递增， 又，当且仅当时成立， 故，当且仅当时成立， 因此的取值范围是． 18. 现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表． （1）求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数； （2）若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列； （3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望． 【答案】（1）a＝0.0250，4人；（2）答案见解析；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图先求a，进一步求出一级运动员的概率，从而求出篮球运动员代表中一级运动员的人数； （2）由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，分别算出概率，写出X的分布列；（3）根据公式求出期望为. 【详解】（1）由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250. 其中为一级运动员的概率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25， ∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人． （2）由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3）由已知得Y～B， ∴E(Y)＝np＝3×＝， ∴含有一级运动员人数Y的期望为. 【点睛】求X的分布列要将X的可能取值全部列出来，分别求出概率，计算完之后最后验证一下正确与否，可以通过概率和为1验证. 19. 已知椭圆的离心率是，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，最小值为，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由得，又得，由在椭圆上，利用待定系数法即可求解； （2）（i）由题意可得直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理得，利用弦长公式即可求解； （ii）可设，与椭圆方程联立，由韦达定理得，由为定值得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，得， 又，所以， 又，两式联立，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设； （i）由题意可得直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以； （ii）存在点，使得为定值，的最小值为； 由题意，可设，联立， 得， 则， 且， 因为， 所以 ， 因为为定值， 所以，得， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第二学期第三次质量检测 数学考试试题 命题人：赵瑜 审核人：王红娟 谈静 注意事项： 1、本试卷满分150分，考试时间150分钟． 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需或动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量与的夹角为，，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在“疯狂动物城2”、“长安的荔枝”、“得闲谨制”及“开心岭”的四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ） A. 64 B. 62 C. 63 D. 24 5. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论不正确的是（ ） A. 当、独立时， B. 当、互斥时， C. D. 8. 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列是首项为1的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 10. 某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ） A. 该知识竞赛的及格率为60% B. C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，为正方形的中心，为棱上的动点.则下列说法正确的是（ ） A. 点为中点时， B. 当点运动时，折线段长度的最小值是 C. 当点运动时，三棱锥外接球的球心总在直线上 D. 当为的中点时，正方体表面到点距离为的轨迹的总长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆的圆心为，且圆与直线相切，则圆的方程为_________________. 13. 若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为________.. 14. 被6除所得的余数为______． 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，M、N分别是的中点，． （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 16. 已知为等比数列，为等差数列，满足且，，． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围． 18. 现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表． （1）求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数； （2）若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列； （3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望． 19. 已知椭圆的离心率是，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $