精品解析：陕西省咸阳市渭城中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性测试数学试卷

2024~2025学年度咸阳渭城中学高二上学期第一次阶段性测试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ） A. 150 B. 110 C. 70 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质和抽样比计算即可. 【详解】由于分层抽样比为，则200个人中，中卷录取人数为. 故选：D. 2. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 3. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 4. 函数的导数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除. 【详解】因为，所以， 令，，则， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 又，故B错误. 故选：D. 5. 如图，在长方体中，，点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点到平面距离转化为三棱锥的高，然后利用等体积的方法求距离即可. 【详解】 由题意得点到平面距离为三棱锥的高， 设点到平面距离为，取中点，连接， 因为为长方体，所以，所以， ，，， 所以，，解得. 故选：C. 6. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 7. 已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合条件即得. 【详解】椭圆，，，， 设，，则， ，， ， ， ，即． 故选：A． 8. 如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可． 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时， 当，时，则，此时， 综上， 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（ ） A. A包含C B. A与B相互独立 C. B与C互为对立事件 D. B与C互斥但不对立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题得，，，对于A，由包含事件定义即可得解；对于B，由相互独立事件的乘法公式去计算和即可判断；对于C和D，由互斥事件和对立事件的定义即可判断. 【详解】由题意可知，，， 且，，， 对于A，由上可知A包含C，故A正确； 对于B，，，故，故B正确； 对于C和D，设事件“抛掷质地均匀的骰子两次”，则， 故由和知B与C互斥但不对立，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：先明确与“抛掷质地均匀的骰子两次”有关的各事件所包含的可能情况，再根据包含事件、互斥事件以及对立事件的概念和概率乘法公式去计算相关概率即可判断得解. 10. 已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果． 【详解】对于A：， 与不是共线向量，故A错误； 对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确； 对于C：， ∴，故C错误； 对于D：， 设平面的法向量为， 则，取，得，故D正确． 故选：AC． 11. 在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B. 的面积最大值为1 C. 若原点始终在动弦上，则不是定值 D. 若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为，正确； 对于B，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以， 当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设， 则，， 综上，恒为定值，错误； 对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以， 化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 其周长为长度为，正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若椭圆的一个焦点为，则p的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用椭圆标准方程概念求解 【详解】因为焦点为，所以焦点在y轴上，所以 故答案为：3 13. 总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为______ 8 44 2 17 8 31 57 4 55 6 88 8 31 47 7 21 76 33 50 63 【答案】31 【解析】 【分析】根据题意，结合随机数表选取的规则，结合题意，即可求解. 【详解】根据随机数表的选取的规则是选出的样本编号为1~100范围内的整数， 且与前面重复的数据不再出现，所以前5个个体编号为：8 44 2 17 31， 所以选出来的第5个个体的编号为31. 故答案为：31. 14. 已知函数在上是增函数，且，则的取值的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，由函数在上是增函数可得，然后对的取值逐一验证，然后可得取值. 【详解】由可知，，得， 所以， 又函数在上是增函数， 所以，即，所以， 所以，的可能取值为. 当时，由解得， 经检验，时不满足题意； 当时，由解得， 经检验，时满足题意. 所以，的可能取值为. 故答案为： 【点睛】本题综合考查了三角函数的单调性、最值、周期之间的关系，关键在于能从已知中发现周期的所满足的条件，然后根据周期确定的可能取值，再通过验证即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答． （条件①：； 条件②：； 条件③：.） 选择条件　　　　和　　　　　． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，并求数列的前项的和 【答案】（1） （2）当时，当时 【解析】 【分析】（1）根据可知数列是以公差的等差数列，然后求出首项，即可得通项. （2）由，分情况讨论即可得 【小问1详解】 选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故 选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知， 选①③，无法确定数列. 【小问2详解】 ，其中, 当，时， 当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列. 16. 如图，直三棱柱中，是边长为2的正三角形，O为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 是正三角形，为的中点，， 又是直三棱柱，平面， 又平面，， 又平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）依题意，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，再利用二面角的坐标公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，建立空间直角坐标系，如图， 是边长为2的正三角形，则， 则，，，，． ，，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，故， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，故， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点. （1）求点到直线的距离； （2）求证：面. 【答案】（1） （2） 由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 【解析】 【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得； （2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直. 【小问1详解】 如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. 【小问2详解】 略 18. 已知数列满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） 当时，，解得， 当时，，，两式相减得，即， 即有，而，则，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合推理判断作答. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，于是， 则， 于是， 两式相减得， 所以. 19. 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计） （1）如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？ （2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为,由得答案; （2）设甲位于圆 上的点处, 直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到. 过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角，,其中，表示点和点构成的直线的斜率，根据直线与圆的位置关系即可求解. 【小问1详解】 如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为，m. 因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m. 从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得，则. 【小问2详解】 如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到. 过点正下方的地面点向作垂线，垂足为. 当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角. 题意得：, 其中，表示点和点构成的直线的斜率， 当直线的斜率取得最小值时，取最大值. 因为点在单位圆上， 所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值. 设过点的直线方程为：， 由相切可得，解得， 则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是. 【点睛】方法点睛： 求的最值时，可转化为求点与连线斜率的最值， 设出过点的直线方程，由点在单位圆上，根据直线与圆相切即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度咸阳渭城中学高二上学期第一次阶段性测试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ） A. 150 B. 110 C. 70 D. 20 2. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 3. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 4. 函数的导数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方体中，，点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 7. 已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（ ） A. A包含C B. A与B相互独立 C. B与C互为对立事件 D. B与C互斥但不对立 10. 已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 11. 在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B. 的面积最大值为1 C. 若原点始终在动弦上，则不是定值 D. 若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若椭圆的一个焦点为，则p的值为______． 13. 总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为______ 8 44 2 17 8 31 57 4 55 6 88 8 31 47 7 21 76 33 50 63 14. 已知函数在上是增函数，且，则的取值的集合为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答． （条件①：； 条件②：； 条件③：.） 选择条件　　　　和　　　　　． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，并求数列的前项的和 16. 如图，直三棱柱中，是边长为2的正三角形，O为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点. （1）求点到直线的距离； （2）求证：面. 18. 已知数列满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 19. 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计） （1）如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？ （2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $