上海音乐学院附属黄浦比乐中学2026-2027学年高三第一学期期中质量监控数学试卷

2026学年第一学期期中质量监控试卷 高三年级数学试卷 (满分150分,考试时间120分钟) 一、填空题(满分54分,1-6题每题4分,7-12题每题5分) 1. 已知全集U={1,23,4},集合A={1,3},则A= 2.若复数z 5 (其中i表示虚数单位),则Imz= 1+2i 3. 设xeR,则方程2x-1=x+x-1的解集为 4. 己知Sn是等差数列{a,}的前n项和,若a,=2n-3,则满足Sn=24的正整数m 的值为 5.已知向量a=(3,4),向量b=(-1,0),则向量a在向量b上的投影为 6.设a、b为常数,若a>1,b<-1,则函数y=a+b的图像必定不经过第象限 7. 已知圆锥的母线与底面所成的角为了,体积为3x,则圆锥的底面半径为 8.在复平面x0y内,复数,2所对应的点分别为乙,乙2,对于下列四个式子: ①=:②la2=4: 0z=0z;④0z-0z-0 0z,其中 恒成立的是 (写出所有恒成立式子的序号) 9.若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线,则a= 10.如图,已知函数y=Asin(@x+)(A>0,0>0,0<p<)的 2 p 图像与y轴的交点为(0,),并已知其在y轴右侧的第一个最高点 和第一个最低点的坐标分别为(,2)和(+2元,-2).记y=f(x), 《菊10愿图) 则 1已知函数了闪-++1,正项等比数列a)满足ame则星feo)- 202 12.设aeR,若关于x的方程2xx-(a-2)x+-a+1=0有3个不同的实数解,则 实数a的取值范围为 二、选择题:(共4小题,13、14题每题4分,15、16题每题5分) 13.如果a>0>b,则下列不等式中一定成立的是( ). A Va>b B a2>b2 C.a2<ab D.a'>b 14下列不等式中,与不等式,x+8 <2解集相同的是(). x2+2x+3 (A)(x+8Xx2+2x+3)<2 (B)x+8<2(x2+2x+3) 1 2 (0)子+2x+3x+8 (D)+2x+3、1 x+822 15.已知z是复数,z是其共轭复数,则下列命题中正确的是() A.z2=4 B.若z=1,则z-1-的最大值为√2+1 C.若z=(1-2),则复平面内z对应的点位于第一象限 D,若1-3i是关于x的方程x2+px+g=0(p、q∈R)的一个根,则9=-8 16.对于函数y=f(x)和y=g(x),及区间D,若存在实数kb,使得 f(x)≥c+b2g(x)对任意xED恒成立,则称y=fx)在区间D上“优 于”y=g(x).有以下两个结论: ①f(x)=1og2x在区间D=[1,2]上优于g(x)=x2-2x+1; ②当m≤-2时,f(x)=x在区间D=[-1,1]上优于g(x)=e+m. 那么(). A.①、②均正确B.①正确,②错误C.①错误,②正确D.①、②均错误 三、解答题:(本大题共有5题,满分78分) 17.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分) 已知函数y=间,其中兰ee则, (1)是否存在实数k,使函数y=f(x)是奇函数?若存在,请写出证明. (2)当k=1时,若关于x的不等式f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围, 18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,DP⊥底面ABCD,AB∥CD,∠ADC=90 , DP=3,CD=2,AB=AD=1,点F为PD中点. (1)求证:直线AF//平面PBC; (2)求点D到平面PBC的距离. (第18题图) D B 19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图,AO、OB为直线岸线,OA=1000米, 0B=150米,∠A0B=号,该承包水域的水面边界是莱圆的一段弧?B,过孤4B 上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱,已知∠APB=2匹 3 (1)求岸线上点A与点B之间的直线距离; (2)如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益, B 线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益,记 ∠PAB=B,则这两段网箱获得的经济总收益最高为多 少?(精确到元) 3 20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8 分) 如图,棱长为2的正方体ABCD-ABCD中,从、NP分别是CD、CC、AA 的中点 D M (1)证明:从、N、A、B四点共面; (2)求异面直线PD与MW所成角的大小;(结果用反三角 B 函数值表示); (3)求三棱锥P-MNB的体积. "D 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8 分) 设y=f(x)是定义在R上的函数,若存在区间a,b和x,∈(a,b),使得y=f(x)在 [a,x]上严格减,在[x,b]上严格增,则称y=f(x)为“含谷函数”,,为“谷点”, [a,]称为y=f(x)的一个“含谷区间”. (1)判断下列函数中,哪些是含谷函数?若是,请指出谷点;若不是,请说明 理由: ①y=2,②y=x+cosx; (2)已知实数m>0,y=x2-2x-mln(x-1)是含谷函数,且[2,4]是它的一个含 谷区间,求m的取值范围; (3)设p,9∈R,(x)=-x+px3+9gx2+(4-3p-2g)x.设函数y=h(x)是含谷 函数,[a,b)]是它的一个含谷区间,并记b-a的最大值为L(p,g).若h()≤h(2), 且h(1)≤0,求L(p,q的最小值. 4