精品解析：辽宁阜新市实验中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试卷

九年级数学学科限时作业 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共10小题） 1. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义以及看不到的用虚线表示成为解题的关键．根据从上面看到的形状图是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看到的图形为：． 故选：D． 2. 如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性质等知识，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．首先根据位似图形的概念可得，，结合题意可得，然后根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴，， ∴， ∴的面积与的面积之比． 故选：D． 3. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，进而可求解． 【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成， ， 即， 解得：， 故选：C 4. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（ ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A. 0.423 B. 0.410 C. 0.413 D. 0.400 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是掌握：当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用稳定的频率估计概率. 【详解】解：∵在大量重复试验中，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值. 观察表格可知，随着累计抽测学生数增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在. ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是. 6. 小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图1所示）．若的长度为，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，利用直角三角形的性质求出高，利用菱形的面积公式可求解． 【详解】解：如图所示，菱形中，，， 过点A作于点E，则， ∴， 由勾股定理得， ∴菱形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练运用直角三角形的性质以及菱形的面积公式是本题的关键． 7. 如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当与相似时，长为（ ） A. 4 B. 1 C. 1或4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．根据点是边的中点可得，然后根据相似三角形的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：，由题意可得：， 根据题意，当△△时， ， ， ． 当△△时， ， ， ． 故选：C． 9. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【详解】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 10. 如图，直线l经过正方形的中心O，分别与和相交于点E和点F，并与的延长线相交于点G．若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；根据正方形的性质，结合三角形全等，得到，证明，得到，从而得到结果． 【详解】解：连接， 是正方形的中心， 在上，且，， ， ，， ， 在和中， ， ， 四边形是正方形，则， ， ， 解得：， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共5小题） 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由可得，将其代入所求表达式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是________． 【答案】0.4 【解析】 【分析】此题考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 【详解】解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为0.4． 13. 如图，正方形中，对角线，相交于点，为边中点，正方形的周长为16，则的长等于___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，中位线的性质．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质． 由题意知是的中位线，则有，根据正方形的周长求边长，进而可求的长． 【详解】解：由题意知是的中位线 ∴ ∵正方形ABCD的周长为16 ∴ ∴ 故答案为；2． 14. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握的两根满足是解题的关键．首先求出，，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算． 【详解】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴，即， 解得OE=60cm． 答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方． 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 17. 有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； （1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； （2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，根据概率公式求解概率，熟练掌握概率公式为解题关键． （1）直接根据概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2， 所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所作图形； （2） 如图点即为所求． 点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解，连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和是位似图形，点为所求位似中心， 可以看作的正方形的对角线，可以看作的矩形的对角线，两直线交于一点，该点即为，并在网格点上， ∴点坐标为． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围，根据根与系数的关系得出，把字母和数代入求出的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； ∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴（舍去）． ∴． 20. 如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接． （1）求证：． （2）若四边形的周长为，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为正方形 ， 在和中， ， ； （2）的长为6 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． （1）正方形的性质，得到，，结合，即可证明； （2）连接交于点O，根据正方形的性质结合中垂线的性质，推出，，由，可得：，根据周长求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点O， 四边形为正方形，， 垂直平分，， ，， 由（1）知， ， 四边形的周长为， 在中， ， ； 答：的长为6． 21. 一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）40元 （2） 【解析】 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“连根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“连根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“连根方程”，试求的最大值． 【答案】（1） 方程是“连根方程”； 解方程， 因式分解得， 解得，， ∵，满足“连根方程”的定义， ∴该方程是“连根方程”； （2） 的值为或 （3） 的最大值为 【解析】 【分析】（1）求解方程得到两根，验证两根差是否为，结合定义判断； （2）因式分解得到方程的两根，根据两根差为列方程求解； （3）利用根与系数的关系，结合两根差为的条件得到与的关系式，代入所求式后用配方法求最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对， 因式分解得， 解得，， ∵方程是“连根方程”， ∴， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：设方程的两根为，，且， ∵方程是“连根方程”， ∴， ∴， 即， 根据根与系数的关系，，， 代入得， 整理得， 即， 将代入，得 ， ∵，， ∴当时，取得最大值， 即的最大值为． 23. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）【特例感知】 如图1，当时，点在延长线上，求证：； （2）【问题探究】 在（1）的条件下，若，，求的长； （3）【拓展延伸】 如图2，当时，点在边上，若，直接写出的值，的值． 【答案】（1）由轴对称的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由轴对称的性质得：，再根据，可得； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， 设， ∵，， ∴，， ∴，， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科限时作业 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共10小题） 1. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比是（　　） A. B. C. D. 3. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（ ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A. 0.423 B. 0.410 C. 0.413 D. 0.400 6. 小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图1所示）．若的长度为，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当与相似时，长为（ ） A. 4 B. 1 C. 1或4 D. 2 9. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 10. 如图，直线l经过正方形的中心O，分别与和相交于点E和点F，并与的延长线相交于点G．若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共5小题） 11. 若，则的值为______． 12. 已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是________． 13. 如图，正方形中，对角线，相交于点，为边中点，正方形的周长为16，则的长等于___________． 14. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为____________． 15. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2） 17. 有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； （1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； （2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．方程的两个实数根为，，且，求的值． 20. 如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接． （1）求证：． （2）若四边形的周长为，求的长． 21. 一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“连根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“连根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“连根方程”，试求的最大值． 23. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）【特例感知】 如图1，当时，点在延长线上，求证：； （2）【问题探究】 在（1）的条件下，若，，求的长； （3）【拓展延伸】 如图2，当时，点在边上，若，直接写出的值，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $