精品解析：黑龙江省绥化市望奎县三校联考2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年度第一学期期中考试 初四数学 学本卷满分120分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 若是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 2024 B. 2026 C. 2028 D. 2030 2. 若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（ ） A. 最小值2 B. 最大值 C. 最小值3 D. 最大值 3. 下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（     ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 7. 下列命题正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C. 不在同一直线上的三点确定一个圆 D. 相等的圆心角所对的弧相等 8. 在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1.5 9. 已知点P在外，且的半径为5，则的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 10. 如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，是弦，，的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 14. 已知二次函数，当________时，取得最大值________． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，则矩形的面积是_______． 16. 已知点、都在反比例函数的图象上，则__________（填“”“”或“”）． 17. 如图，在 中，，，将绕点逆时针旋转得到 ，点，的对应点分别为 ，，若点恰好落在中点，则线段的长为______． 18. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 19. 如图，圆锥的母线长是6，底面圆的半径是3，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短路线的长是______． 20. 如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 21. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 22. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为_____． 三、作图题（4分） 23. 如图，平面直角坐标系内，网格中小正方形的边长均为 个单位长度，， 的顶点均在格点上．画出关于原点的中心对称图形； 四、解答题（50分） 24. （1）计算：； （2）若函数是反比例函数，求的值． 25. 已知抛物线（m为常数）的对称轴是直线求此抛物线的解析式． 26. （1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求，的值． 27. 如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． （1）求的度数； （2）求证：四边形是平行四边形． 28. 将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． （1）如图1，求证：是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）． （2）如图2，连接交于点，求证：． （3）如图3，点在线段上，，连接．若，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试 初四数学 学本卷满分120分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 若是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 2024 B. 2026 C. 2028 D. 2030 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程根的定义求的值，整体代入计算． 【详解】解：是一元二次方程的根． ． ． ． 2. 若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（ ） A. 最小值2 B. 最大值 C. 最小值3 D. 最大值 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 3. 下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断． 【详解】解：、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意． 4. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据轴，可得出与的面积相等，可推出，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得k的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵轴， ∴与的面积相等，即， 又∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（     ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为，在第一象限. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C. 不在同一直线上的三点确定一个圆 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据等弧，垂径定理，圆的确定条件，圆心角的性质，解答即可． 【详解】解：A. 等弧是完全重合的弧,长度相等的弧半径可能不同,不一定重合,错误． B. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,缺少弦非直径的条件,错误． C. 不在同一直线上的三点确定一个圆,正确． D. 同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,缺少前提条件,错误． 8. 在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1.5 【答案】A 【解析】 【分析】由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，过点作，交于点，连接、，得出，由等腰三角形三线合一，得出，结合勾股定理先算出的长度，再算出的长度；添加适当的辅助线，证明出，确定点的运动轨迹，判断出当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，利用勾股定理计算出该情况下、的长度，最终得到长度的最小值． 【详解】解：翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆， ∵，， ∴，， 过点作，交于点，连接、，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴点为中点， ∵， ∴， ∵圆的半径为5， 故， ∴， ∵， 由勾股定理得， ， 连接、、，如下图所示： ∵， ∴，故为等腰三角形， 又∵为中点， ∴，即， ∴点运动在以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，连接，，如下图所示： ∵，，为直角三角形， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故的最小值为． 9. 已知点P在外，且的半径为5，则的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内，由此即可判断． 【详解】解：点在外，的半径为5， ， 的长可能是6． 10. 如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、、，根据圆周角定理推出，，进而解题． 【详解】解：连接、、、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，在中，是弦，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等边对等角得到的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 12. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式大于0的性质，代入方程对应系数建立关于的不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 14. 已知二次函数，当________时，取得最大值________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的开口方向与顶点坐标性质，确定取最大值时的自变量值与最大值． 【详解】解：∵函数解析式为，二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点为函数的最高点， ∵该函数为顶点式，对应顶点坐标为， ∴当时，取得最大值． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，则矩形的面积是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积． 16. 已知点、都在反比例函数的图象上，则__________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【解析】 【分析】根据点在函数图象上，点的坐标就满足函数表达式，直接代入求值再比较大小即可． 【详解】解：把代入，得； 把代入，得； ∵， ∴． 17. 如图，在 中，，，将绕点逆时针旋转得到 ，点，的对应点分别为 ，，若点恰好落在中点，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，由旋转的性质得出，得出是等边三角形，旋转角，由勾股定理求出，再证明是等边三角形，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， 由旋转得， ∴是等边三角形，旋转角， 在 中，． 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴． 18. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知点的坐标，结合平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标变化规律计算对应对称点的坐标. 【详解】解：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横、纵坐标都分别互为相反数. ∵点的坐标为 ∴ 对称点的横坐标为的相反数，纵坐标为的相反数 ∴ 所求对称点的坐标为． 19. 如图，圆锥的母线长是6，底面圆的半径是3，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短路线的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】把圆锥的侧面展开，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可计算出扇形的圆心角，然后利用两点之间线段最短得到从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长． 【详解】解：把圆锥的侧面展开，如图，连接，设， 根据题意得， 解得 ， ∴， ∴从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长为． 20. 如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 【详解】解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 21. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，半径为，过点作于，连接，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，半径为 过点作于点，连接 ，过点作交的延长线于点 ， ，   ， ，   ，  ， 四边形为矩形 ，  ， 设，则 ， 在中，， 即 ， 在中，， 即，   ， 解得 ，  ，  ， 故圆弧所在圆的半径的长度为米． 22. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，先由得出，，，即可得，过作于，连接，，，再根据圆的性质得，再由垂径定理得，再由的弦心距为得，进而可得点P的坐标，由勾股定理得，再由列等式方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C， ∴，，， ∴， 如图，过作于，连接，，， ∵（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点， ∴， ∴， ∵的弦心距为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：或． 三、作图题（4分） 23. 如图，平面直角坐标系内，网格中小正方形的边长均为 个单位长度，， 的顶点均在格点上．画出关于原点的中心对称图形； 【答案】如图所示，即为所求 【解析】 【分析】关于原点中心对称的两点，横、纵坐标都互为相反数；由网格读出 、、 的坐标后分别取相反数，即可确定 、、 的位置． 【详解】略 四、解答题（50分） 24. （1）计算：； （2）若函数是反比例函数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，反比例函数的概念，掌握负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值的计算及反比例函数的概念是关键． （1）分别算出乘方，负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）由反比例函数概念可得，再解方程即可． 【详解】解:（1）原式 ； （2）由题意，知， 解得． 25. 已知抛物线（m为常数）的对称轴是直线求此抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】先代入二次函数一般式的对称轴公式，求出参数，再代回原表达式即得到原抛物线解析式． 【详解】解：抛物线的对称轴公式为， 在抛物线中，，，， 将，代入中， 得， 解得， 将代入原抛物线表达式， 得抛物线解析式为． 26. （1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求，的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，关于原点对称的点的坐标特征， （1）将原方程转化为，然后将方程的左边进行因式分解，再转化为两个一元一次方程进行求解即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， 解得：，； （2）∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：． 27. 如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． （1）求的度数； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得：是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴：四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由圆内接四边形的性质可得，从而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 28. 将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． （1）如图1，求证：是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）． （2）如图2，连接交于点，求证：． （3）如图3，点在线段上，，连接．若，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵正方形的边绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）证明：由（1）证得， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即① ， 如图：过 作 于 ， 则， ∵， ∴， ∴，即② ， ∵，， ∴， ∴ 由①②两式得， ，即． （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正方形的性质证明可得，，再证明，即可证明结论； （2）由（1）证得， ，证明可得，即① ；如图：过 作 于 ， 则，证明可得，即② ；利用等腰三角形的性质可得，即，最后结合①②即可证明结论； （3）如图：取 中点 ， 连接 ． 即，可证得；再说明 点在以 为 圆心， 为半径的圆上运动， 当 点运动到 上时， 即 、、 三点共线时， 取得最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：取 中点 ， 连接 ． 即，由（1）可得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作与的垂直平分线交于点，作，连接，， ∴ 点在以 圆心， 为半径的圆上运动， 当 点运动到 上时， 即 、、 三点共线时， 取得最小值． 如图：过 作 于 ， 交 于 ，在圆O优弧上取一点N，连接，则四边形是圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形，其中， ∵四边形为正方形， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $