精品解析：黑龙江牡丹江市初中课改联盟第三子联盟2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

牡丹江市初中课改联盟第三子联盟 2026－2027学年度第一学期九年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是的内接四边形，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到△，点与点对应，点恰好落在上，过作∥交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点．下列结论：①；②；③：④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 二次函数的最大值是__________． 10. 的两根分别为、，则________． 11. 科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流________A． 12. 如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径为________． 13. 扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角为__________度． 14. 黑龙江雪乡国家森林公园内的太平沟林场素有“深山明珠”的美誉．研学小组发现景区内落玉盘瀑布旁的一座拱桥可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为________米． 15. 的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______． 16. 如图，直线交双曲线于点，过点作交轴于点；过点作，交双曲线于点，过点作，交轴于点；…，依次作下去，得到等腰直角三角形，，，…，，且点都在双曲线的图象上，斜边，，，…，都在轴上，则点的坐标为________． 三、解答题（满分72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长． 19. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 20. 已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，． （1）求的长． （2）求四边形的面积． 21. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象，若时，直接写出的取值范围． 22. 在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． （1）如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________； （2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明． 23. 为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？ 24. 综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系 （1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． （3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市初中课改联盟第三子联盟 2026－2027学年度第一学期九年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形，轴对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，找出中心对称点，对称轴是解题的关键． 中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解． 【详解】解：A、在图形中能找到对称中心和对称轴，故该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、在图形中不能找到对称中心，但能找到对称轴，故该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、在图形中不能找到对称中心和对称轴，故该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D、在图形中不能找到对称中心，但能找到对称轴，故该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 2. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α， ∴﹣1+α＝﹣1， ∴α＝0， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型． 3. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 4. 如图，四边形是的内接四边形，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、平行线的性质，熟知圆周角定理是解答的关键．先根据圆周角定理求得，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图： 则 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B 【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质． 6. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设点C的坐标为，再结合题意表示出点A，B的坐标，即可得出，由点D是的中点，可得点D的坐标，求出点D到的距离，代入三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：设点C的坐标为， ∵轴， ∴点A的横坐标为m，点B的横坐标为m． ∵点A在的图象上， ∴点A的坐标是． ∵点B在的图象上， ∴点B的坐标是， ∴． ∵点D是的中点， ∴点D的坐标是， 即点D的坐标是， ∴点D到的距离是， ∴． 7. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，故，故①正确，符合题意； ②抛物线和轴的交点为个，故，即②正确，符合题意； ③抛物线的对称轴为直线，则，即故③正确，符合题意； ④， ∵和都大于， 故， 则方程有两个不相等的实数根． 故④正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到△，点与点对应，点恰好落在上，过作∥交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点．下列结论：①；②；③：④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；根据勾股定理证明④的准确性． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 故②正确； 设交于O， ∵是等腰直角三角形，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形旋转综合，根据等腰直角三角形性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算即可得解，熟练掌握等腰直角三角形性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 二次函数的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式： 二次函数开口向下， 顶点处取最大值， 即当时，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点． 10. 的两根分别为、，则________． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，由根与系数的关系得，，，再由进而代入可以得解． 【详解】解：由题意，根据根与系数的关系可得， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键． 11. 科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流________A． 【答案】4 【解析】 【分析】由表格数据得到定值V，代入电阻值即可求解； 【详解】解：∵ ∴V ∴当电阻时，A， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查变量间的关系，根据表格得到电压的值是解题的关键． 12. 如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作、的垂线、，连接，，证明四边形是正方形，利用垂径定理求出，利用正方形的性质求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点分别作、的垂线、，连接，． ∵，，， ∴四边形是矩形，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， 矩形是正方形． ，， ， ， ∴， ∴在正方形中，， ∴在中，． 13. 扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角为__________度． 【答案】45 【解析】 【分析】设该扇形的圆心角为n度，半径为rcm，根据题意可得，再由弧长公式，即可求解． 【详解】解：设该扇形的圆心角为n度，半径为rcm， ∵扇形的面积为，弧长为， ∴，解得：， ∴ ，解得：， 故答案为：45 【点睛】本题主要考查了求扇形的半径和圆心角，熟练掌握扇形的面积公式和弧长公式是解题的关键． 14. 黑龙江雪乡国家森林公园内的太平沟林场素有“深山明珠”的美誉．研学小组发现景区内落玉盘瀑布旁的一座拱桥可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质．由题意可知抛物线经过点，，对称轴为，则顶点式中的，进而求出的值，最高点与其在水中的倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意可知，抛物线经过点，， 、两点关于抛物线对称轴对称， 因此对称轴为直线，即顶点式中的． 将点，代入抛物线解析式， 可得，， 解得， 抛物线顶点坐标为，水中倒影， 桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米． 15. 的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在线段上时，连接， 的直径， ， ， ， ， ， ； ②如图，当点在线段上时，连接， 同理可得：， ， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键． 16. 如图，直线交双曲线于点，过点作交轴于点；过点作，交双曲线于点，过点作，交轴于点；…，依次作下去，得到等腰直角三角形，，，…，，且点都在双曲线的图象上，斜边，，，…，都在轴上，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题意可知，，再设，则，求出，即可得，然后求出点；再同理求出点的坐标即可． 【详解】解：由题意可知，，设，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 三、解答题（满分72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， 解得：． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长． 【答案】（1）如图，即为所求，； （2）如图，即为所求，； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用勾股定理求出，再利用弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴由勾股定理，得． ∴． ∴点旋转到点的过程中所经过的路径长为． 19. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式． （2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴， 将代入得，， ∴， 又∵B（2，-3）， ∴BC//x轴， ∴到线段的距离为1，， ∴， ∴， 设，由题意可知点P在直线BC上方， 则， 整理得，， 解得，或， ∴，， ∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20. 已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，． （1）求的长． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设圆的半径为，根据已知条件和垂径定理求出，再根据勾股定理在和中，列出关于的二元一次方程，求出半径，从而求出直径即可； （2）在中，根据勾股定理求出，再由垂径定理求出，，然后根据三角形中位线定理求出，最后根据四边形的面积进行计算即可． 【小问1详解】 解：设圆的半径为， ．， ，为半径， ，， ， 在和中：， ， 解得：，（舍）， ， ； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， ， ， 为中点，为中点， 为中位线， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的中位线，解题关键是正确识别图形，找出线段与线段之间的关系． 21. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象，若时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为 （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意代入求值即可； （2）利用分割法将大三角形面积分割成2个小三角形面积，即可求解； （3）根据函数图象得出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴， 又∵反比例函数的图象过， ∴， ∵一次函数的图象过和两点， ∴， 解得： ∴． 【小问2详解】 解：把代入得， 解得：， ∴， ∴， 过点M作轴于点C，过点N作轴于点D，如图所示： ∴． 【小问3详解】 解：根据函数图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象下面， ∴当时，的取值范围为或． 22. 在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． （1）如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________； （2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明． 【答案】（1） （2）当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，故，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，即可得出； （2）当点在的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，故，即可得出；当点在的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，推得，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，故，即可得出； 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故， 在中，， 即． 故答案为：． 【小问2详解】 解：当点在的延长线上时，； 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 故， 即． 当点在的延长线上时，， 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， 故， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 故， 即． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？ 【答案】（1）w=-2x2+280x-8000（40<x<100） （2）当售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元 （3）少获得1000元的销售利润，销售价应 【解析】 【分析】（1）根据总利润=销售量×单件利润，列出函数关系式； （2）将（1）的函数关系式化为配方式，利用二次函数的性质求最大值； （3）把w=1000代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，即可求出x的取值范围． 【小问1详解】 由题意得，，解得：40＜x＜100， ∴w =（-2x+200）•（x-40）， ∴w与x之间的函数关系式是w=-2x2+280x-8000（40＜x＜100）； 【小问2详解】 由①可知， w=-2x²+280x-8000=-2（x-70）²+1800， 当x=70时，w=1800， 答：当售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元； 【小问3详解】 当w=-2x²+280x-8000=-2（x-70）²+18001000， 解得 ∴时 ∴至少获得1000元的销售利润，销售价应． 【点睛】本题考查了二次函数的运用和一元二次方程的应用．根据题意列出函数关系式是解决问题的关键． 24. 综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系 （1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． （3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 【答案】（1）①3；② （2）， （3）①4；② 【解析】 【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【小问1详解】 解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； 【小问3详解】 解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， 故答案为：4； ②由（3）①可得， ∵， ∴， ∴， ∴． . 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $