精品解析：江苏省南京市雨花台中学岱山分校2026-2027学年高一上学期10月学情调研数学试卷

2026-2027学年江苏省南京市雨花台中学岱山分校高一（上）学情调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 命题：“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，即可得出答案. 【详解】解：由全称命题的否定为特称命题得“，”的否定为：，. 故选：C 2. 已知全集，集合， 则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式不等式求出集合，由二次函数的值域确定集合，再求出集合在全集下的补集，结合韦恩图可知阴影部分为与的交集，计算交集即可得到结果． 【详解】由，得，所以， 因为函数的值域为，所以， 所以， 图中阴影部分所表示的集合为． 3. 下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ） A. （） B. C. （） D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，（），故D错误． 故选：C． 4. “关于x的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果. 【详解】关于x的不等式对恒成立，即对恒成立， 又，当且仅当时，即，取等号，则， A.真包含于，是充分不必要条件； B.与无包含关系，是既不充分也不必要条件； C.真包含，是必要不充分条件； D.与无交集，是既不充分也不必要条件. 5. 某实验室培养细菌，细菌数量每周按的增长率增长．经过8周，细菌总数为最初的倍．若继续培养4周，细菌总数大约是最初的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数增长模型，由周后细菌总数为最初的倍求出周的增长倍数，再将周的倍数与周的增长倍数相乘，得到继续培养周后细菌总数相对最初的倍数，化简后即可选出答案． 【详解】设最初的细菌数量为m，经过8周，细菌总数为最初的倍，即， 故，所以， 所以，若继续培养4周，细菌总数大约是最初的倍． 6. 已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D. 【详解】因为且，所以或， 对A：若，则，若，则，A错误； 对B：∵，，∴，B错误； 对C：由或，知且，∴，C正确； 对D：当时，有，从而 当，则且，∴，D错误. 故选：C 7. 对满足的任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为任意正实数满足， 所以， 当且仅当，时取等号，即有最小值3， 要想任意正实数，不等式恒成立， 只需. 故选：C 8. 若关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先因式分解不等式，分析a的符号确定解的区间形式，结合整数解的个数限定根的范围，进而求得a的取值范围． 【详解】根据题意，， 若关于x的不等式恰有2个整数解，则， 方程的两根为3和， 若，则， 此时不等式的解集为，此时有，解可得， 若，则， 此时不等式的解集为，此时有，解可得， 综合可得：或，即a的取值范围为 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由一元二次不等式的解法分析a、b、c的关系，由此分析选项可得答案． 【详解】对于A，若不等式的解集为，则有，A正确， 对于B，不等式的解集为， 则方程两根为和2，则有， 则有，， 此时，B正确； 对于C，由B的结论，，则不等式，即 ， 又由，则不等式为，其解集为，C错误； 对于D，不等式，即， 由于，不等式为，解可得或，D错误． 10. 已知实数a满足，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误． 【详解】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】二次项系数进行分类讨论，结合方程的根的性质计算即可得. 【详解】当时，，解得，故A中元素只有1个，符合要求； 当时，对，需，即； 故答案为：或. 13. 已知函数在内有两个零点，则实数m的取值范围是______  . 【答案】 【解析】 【分析】由开口向上的二次函数零点分布规律，通过判别式大于 0、对称轴落在区间内、区间端点函数值为正三个条件列不等式组，联立求解参数范围. 【详解】因为函数在内有两个零点， 所以，解得， 所以实数m的取值范围是 14. 已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为__________. 【答案】288 【解析】 【分析】由知有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和即可得解. 【详解】当时，， 由是的非空子集，且时，，得中有偶数个元素， 当中有两个元素时，集合可以为，，，，元素总和为：； 当中有四个元素时，集合可以为集合，，，中任取两个的并集， 集合共有6种情况，元素总和为：； 当中有六个元素时，集合可以为集合，，，中任取三个的并集，集合共有4种情况，元素总和为：； 当中有八个元素时，，元素之和为：，所以所有满足条件的集合的元素和为：. 故答案为：288. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【详解】 ； 因为，所以， 所以 16. 已知集合，集合. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围； （3）若集合为非空集合，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，根据并集和交集、补集的定义求解即可； （2）由，讨论和，列出满足条件的不等式组，求解即可； （3）由是的充分不必要条件，得是的真子集，再根据，由此列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 当时，， 因为，所以或， 所以；. 【小问2详解】 若， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得或，即或， 所以时，实数的取值范围是或. 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，则，即， 又（且两等号不能同时取），解得， 又，所以， 综上，实数的取值范围是. 17. 设 （1）若命题“，使不等式”为假命题，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式 【答案】（1）； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）先将命题转化为恒成立问题，再对二次项系数分类讨论，即可求出参数的取值范围； （2）整理不等式得，再按，，，分别讨论两根大小，写出解集即可. 【小问1详解】 因为命题“，使不等式”为假命题，所以“，”为真命题， 即对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 当时，则需满足， 解得， 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 由，可得， ①当时，可得，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为， 解集为； ④当时，即，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为； 综上可得，的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18. 大型仓库内有互相垂直的两个墙面OA、现拉一根直线型挡板AB，两个端点A、B分别落在这两面墙面上.为了合理利用仓库，准备在区域内建造一个矩形储物区OMPN，要求点M在墙面OA上，点N在墙面OB上，且挡板AB恰好经过点P，设OB的长度为x米. （1）若挡板AB总长20米，当x取何值时，的面积最大？ （2）已知米，米. ①若区域的面积不低于48平方米，则x的取值范围为多少？ ②若在两块三角形区域和内铺上防滑地砖，则x取何值时，地砖用料最省？ 【答案】（1） （2）① （单位：米）②时，用料最省． 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式求解； （2）①结合已知面积表达式求解取值范围； ②记防滑地砖的面积为y平方米．得出关于x的表达式进而求解． 【小问1详解】 由题意，， ，， 的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 当米时，的面积最大，最大值为100平方米． 【小问2详解】 由题意NB为米，其中， 为矩形， ， ，，则， 故 ， 整理得 ，又，则或， 故x的取值范围是 （单位：米）. ②由题意NB为米，其中， 记防滑地砖的面积为y平方米． ， 令，可得 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，地砖用料最省． 19. 如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． （1）分别判断与是否为集（直接写出结论）； （2）当时，对于集，设，求证：； （3）当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 【答案】（1）不是集，是集. （2） 证明：因为是集，且. 因为是集合中最大的元素，且，所以，即. 又因为，所以，即. 同理，.相加可得， 即， 因为，所以，所以. （3）17 【解析】 【分析】（1）根据集的定义可判断； （2）根据集的特征得出，求和整理可证； （3）根据推理出所有的集，求出最小值即可. 【小问1详解】 不是集，是集. 因为A的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，所以A不是集； 由于，符合集定义，所以B是集. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，且是集，所以7可以表示为集合中其他两个元素的和. 由于，所以集合中至少有4个元素. 由，且7是最大元素，； 若集合中含有元素6，则必有3，若有3，则必有2，此时； 若集合中含有元素5，则必有2和3，此时； 若集合中含有元素4，则必有2和3，此时； 所以集合中所有元素的和的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省南京市雨花台中学岱山分校高一（上）学情调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 命题：“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，集合， 则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ） A. （） B. C. （） D. （） 4. “关于x的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 某实验室培养细菌，细菌数量每周按的增长率增长．经过8周，细菌总数为最初的倍．若继续培养4周，细菌总数大约是最初的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 6. 已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对满足的任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 10. 已知实数a满足，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是______________． 13. 已知函数在内有两个零点，则实数m的取值范围是______  . 14. 已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2） 16. 已知集合，集合. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围； （3）若集合为非空集合，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 设 （1）若命题“，使不等式”为假命题，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式 18. 大型仓库内有互相垂直的两个墙面OA、现拉一根直线型挡板AB，两个端点A、B分别落在这两面墙面上.为了合理利用仓库，准备在区域内建造一个矩形储物区OMPN，要求点M在墙面OA上，点N在墙面OB上，且挡板AB恰好经过点P，设OB的长度为x米. （1）若挡板AB总长20米，当x取何值时，的面积最大？ （2）已知米，米. ①若区域的面积不低于48平方米，则x的取值范围为多少？ ②若在两块三角形区域和内铺上防滑地砖，则x取何值时，地砖用料最省？ 19. 如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． （1）分别判断与是否为集（直接写出结论）； （2）当时，对于集，设，求证：； （3）当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $