精品解析：江苏省南京市第二十七高级中学2026-2027学年高一上学期10月学情调研数学试卷

2026-2027学年江苏省南京市第二十七高级中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 集合的子集的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的元素个数，即可求得集合的子集个数，进而求解. 【详解】由题意有：集合中有2个元素，所以集合的子集个数为， 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】，的否定是，． 故选：A． 3. 函数的零点为（ ）. A. B. C. 和5 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得或， 所以函数的零点为和5. 故选：C. 4. 已知a，b为实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可得结论. 【详解】由，可得且， 则由“”可得“”， 但是不能由“”得到“”，因为b可能为0， 则“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的转化求解即可. 【详解】. 故选：D 6. 已知集合，，若，则a的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0，1或 【答案】D 【解析】 【分析】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可. 【详解】，， 由题意，当Q为空集时，，满足； 当Q不是空集时，， 由得或，解得或． 综上，a的值是0，1或. 故选：D 7. 若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助基本不等式“1”的应用可得的最小值，再解出对应不等式即可得. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 则，即，解得. 故选：D. 8. 若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照分类列举出所有的分拆，即得答案. 【详解】若，则 ； 若 则 或 ； 若，则或 ； 若，则或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若则 或 或 或 或 ，或或 或 ； 所以集合的不同分拆种数为27. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 设全集，集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. ⫋ C. D. 的真子集共有7个 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出集合中的不等式的解集，然后根据元素与集合的关系、集合与集合的关系和运算逐项判断即可. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 在集合中，因为，所以. 因为，所以，解得. 在集合中，因为，所以. 对于A： 1是集合的元素，所以，所以A正确； 对于B： 因为，所以，B正确； 对于C： 因为，所以C错误； 对于D： 因为，所以. 所以. 所以的真子集有共7个，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知集合，则（ ） A. 若，则 B. 若，则A有两个子集 C. A不可能为 D. 若A中至多有一个元素，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题可根据集合与元素的关系、子集的定义以及一元二次方程根的判别式来逐一分析选项． 【详解】对于A，若，则是方程的根，所以有，即，解得，故A正确； 对于B，若，则方程变为，解得，所以， 此时A的子集个数为，子集为、，故B正确； 对于C，当时，方程是一元二次方程，其判别式，当，即，解得，此时方程无实数根，，故C错误； 对于D，若中至多有一个元素，分两种情况， 当时，原方程变为，有一个实数根，满足中至多有一个元素； 当时，原方程是一元二次方程，要使中至多有一个元素，则，即，解得； 综上，或，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若（其中），则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用一元二次不等式的解集为，得，即可求解；对于B，利用一元二次不等式的解集为，得，即可求解；对于C，根据条件，利用一元二次不等式的解法得，即可求解；对于D，根据条件得，即可求解. 【详解】对于选项A，若，即不等式的解集为， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，所以不等式的解集为时，，故A正确， 对于选项B，若，即不等式的解集为， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，所以不等式的解集为时，，故B错误， 对于选项C，若，即不等式的解集中有且仅有一个元素， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，此时不等式为， 其解集为时，所以，故C错误， 对于选项D，若（其中），则方程的两根为，且， 所以，又，得到，所以，故D正确， 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】，所以， ，所以， 所以. 故答案为：. 13. 设集合，，且，则值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，建立元素关系即可得到结论，注意验证集合中元素的互异性是否成立． 【详解】∵， ∴或， 即或， 即或， 当时，，与元素互异性矛盾，故舍去， 当时，，，且，满足条件． 故， 故答案为：． 14. 已知集合的子集不超过4个，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，依题意集合的元素不超过个，显然，则方程有个实根或无实数根或有两个相等的实数根（不为），分别求出参数的值，即可得解. 【详解】解：令， 因为集合的子集不超过个，所以集合的元素不超过个， 显然，则方程有1个实根或无实数根或有两个相等的实数根（不为）， 当有1个实根时，，解得， 此时，解得或，此时集合，符合题意； 当方程无实数根，则，解得，此时，符合题意； 当方程有两个相等的实数根（不为），则，解得， 此时，解得，此时，符合题意； 综上可得； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算法则，即可求得答案； （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 . 16. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 【小问2详解】 因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 19. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. （1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】（1） （2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【解析】 【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省南京市第二十七高级中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 集合的子集的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的零点为（ ）. A. B. C. 和5 D. 和 4. 已知a，b为实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，若，则a的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0，1或 7. 若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 设全集，集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. ⫋ C. D. 的真子集共有7个 10. 已知集合，则（ ） A. 若，则 B. 若，则A有两个子集 C. A不可能为 D. 若A中至多有一个元素，则 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若（其中），则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数满足，则的取值范围为__________. 13. 设集合，，且，则值是_________． 14. 已知集合的子集不超过4个，则实数a的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1） （2） 16. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. （1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $