江苏省南京市第二十七高级中学2026-2027学年高一上学期10月学情调研数学试卷

2026-2027学年江苏省南京市第二十七高级中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.集合的子集的个数为(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.函数的零点为(    ) A. B. C. 和5 D. 和 4.已知a，b为实数，“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.(    ) A. B. C. D. 6.已知集合，集合，若，那么a的值是(    ) A. 1 B. C. 1或 D. 0，1或 7.若正实数x，y满足，若不等式有解，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.若集合，满足，则称为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为(    ) A. 8 B. 16 C. 20 D. 27 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.设全集，集合，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 的真子集共有7个 10.已知集合，(    ) A. 若，则 B. 若，则A有两个子集 C. A不可能为 D. 若A中至多有一个元素，则或 11.已知关于x的不等式的解集为M，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若实数a，b满足，，则的取值范围为      . 13.设集合，，且，则a值是      . 14.已知集合的子集不超过4个，则实数a的取值范围为       ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 求下列各式的值： 16.本小题15分 已知集合， 若，求； 若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围. 17.本小题15分 解答下列各题. 若，求的最小值. 若正数x，y满足， ①求xy的最小值. ②求的最小值. 18.本小题17分 已知函数 若的解集为，求a，b的值； 若，求不等式的解集； 在的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 19.本小题17分 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季其中B，C区域的形状、大小完全相同设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为 用含有x的代数式表示a，并写出x的取值范围； 当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省南京市第二十七高级中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.集合的子集的个数为(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D  【解析】解：集合的子集有，，，共4个． 故选： 根据子集的定义即可得解． 本题考查子集的定义，属于基础题． 2.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】解：根据题意，命题“，”是全称量词命题， 其否定是：， 故选： 根据题意，全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定，即可得答案． 本题考查命题的否定，注意全称量词命题与存在量词命题的关系，属于基础题． 3.函数的零点为(    ) A. B. C. 和5 D. 和 【答案】C  【解析】解：解方程，得或， 所以函数的零点为和 故选： 先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点． 本题主要考查了函数零点的定义，属于基础题． 4.已知a，b为实数，“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】解：已知a，b为实数，若，则不能推出，则充分性不成立； 若，则能推出，则必要性成立， 则“”是“”的必要不充分条件． 故选： 根据充分条件，必要条件相关知识可解． 本题考查充分条件，必要条件相关知识，属于基础题． 5.(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据根式的意义可得， 故选： 根据根式与指数幂的转化求解即可． 本题主要考查了根式的化简，属于基础题． 6.已知集合，集合，若，那么a的值是(    ) A. 1 B. C. 1或 D. 0，1或 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是根据包含关系的定义对集合Q的情况进行正确分类，本题求解中有一易错点，就是忘记讨论Q是空集的情况，分类讨论时一定注意不要漏掉情况．先化简P，再根据分情况对参数的取值进行讨论，即可求出参数a的取值集合． 【解答】 解：，，， 当Q是空集时，有显然成立； 当时，有，符合题意； 当时，有，符合题意； 故满足条件的a的值为1，， 故选 7.若正实数x，y满足，若不等式有解，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由，则， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 则，解得或 故选： 借助基本不等式“1”的应用可得的最小值，再解出对应不等式即可得． 本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题． 8.若集合，满足，则称为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为(    ) A. 8 B. 16 C. 20 D. 27 【答案】D  【解析】解：由题知，集合，满足，则称为集合A的一个分拆， 且时，与为同一种分拆，又集合， 若，则； 若，则或； 若，则或； 若，则或； 若，则或或或； 若，则或或或； 若，则或或或； 若，则或或或或或或或； 所以集合的不同分拆种数 故选： 根据条件，对集合分类讨论即可求解． 本题考查了并集和分拆的定义，是基础题． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.设全集，集合，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 的真子集共有7个 【答案】ABD  【解析】解：，， 所以，，，AB都正确，C错误； ，，所以的真子集共有个，D正确． 故选： 先求出集合P，Q中的不等式的解集，然后根据元素与集合的关系、集合与集合的关系和运算逐项判断即可． 本题考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，交集、并集和补集的运算，真子集个数的计算公式，是基础题． 10.已知集合，(    ) A. 若，则 B. 若，则A有两个子集 C. A不可能为 D. 若A中至多有一个元素，则或 【答案】ABD  【解析】解：对于A，若，则是方程的根， 所以，解得，故A正确； 对于B，若，则方程化为， 解得，所以， 此时A的子集个数为个，故B正确； 对于C，当时，方程是一元二次方程， 当，即时， 此时方程无实数根，此时，故C错误； 对于D，若A中至多有一个元素，分两种情况， 当时，原方程变为，有一个实数根，满足A中至多有一个元素； 当时，原方程是一元二次方程， 要使A中至多有一个元素，则，即，解得； 综上，或，故D正确． 故选： 根据集合与元素的关系、子集的定义以及一元二次方程根的判别式来逐一分析选项． 本题考查元素与集合间的关系应用，属中档题． 11.已知关于x的不等式的解集为M，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若其中，则 【答案】AD  【解析】解：关于x的不等式的解集为M， 对于选项A，若，即不等式的解集为， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，故A正确， 对于选项B，若，即不等式的解集为R， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，故B错误， 对于选项C，若，即不等式的解集中有且仅有一个元素， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，此时不等式为， 其解集为时，所以，故C错误， 对于选项D，若其中，则方程的两根为m，n，且， 所以，又，得到，所以，故D正确． 故选： 对于A，利用一元二次不等式的解集为，得，即可求解；对于B，利用一元二次不等式的解集为R，得，即可求解；对于C，根据条件，利用一元二次不等式的解法得，即可求解；对于D，根据条件得，即可求解． 本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，还考查了元素与集合关系的应用，属于中档题、 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若实数a，b满足，，则的取值范围为      . 【答案】  【解析】解：，，所以，， 所以 故答案为： 利用不等式的性质即可求解． 本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 13.设集合，，且，则a值是      . 【答案】  【解析】解：集合，，， 或， 解得或， 当时，，不成立； 当时，，，成立． 综上， 故答案为： 由交集定义得或，解得或，利用集合中元素的互异性求解． 本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.已知集合的子集不超过4个，则实数a的取值范围为       ． 【答案】 【解析】解：因为集合的子集不超过4个， 则集合中最多有2个元素， ①当集合中只有一个元素时，即集合， 即无解，则，即， ②当集合中有且只有两个元素且有一个解时， 此时， ③当集合中有且只有两个元素且有且只有一个解时，即集合， 则，此时， 故a的取值范围为 根据题意可得，集合的子集不超过4个，则集合中最多有2个元素，再分集合中只有一个元素或两个元素解决． 本题考查元素与集合的关系，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 求下列各式的值： 【答案】解：原式 ； 原式   【解析】利用指数的运算性质即解； 利用对数的运算性质即解． 本题考查了指数和对数的运算性质，属于基础题． 16.本小题15分 已知集合， 若，求； 若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】解：已知集合， 当时，，或 又， ； 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又 或， ①当时，，所以； ②当时，， 所以； 当时，是Q的真子集；当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：  【解析】将代入集合求解，利用集合间的关系可求； 利用充要条件的定义，分类讨论集合可求实数a的取值范围． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 17.本小题15分 解答下列各题. 若，求的最小值. 若正数x，y满足， ①求xy的最小值. ②求的最小值. 【答案】解：由题 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为7； ①由结合基本不等式可得： ， 又x，y为正数， 则，当且仅当，即，时取等号， 故xy的最小值为36； ②由可得， 则 当且仅当，又， 即时取等号， 故的最小值为  【解析】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 将变形为，后由基本不等式可得答案； ①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案． 18.本小题17分 已知函数 若的解集为，求a，b的值； 若，求不等式的解集； 在的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】；   当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；    【解析】因为关于x的不等式的解集为， 所以关于x的方程的两根为1，2， 所以，即， 解得； 因为，所以， 即， ①当时，不等式为，解得，故解集为； ②当时，不等式可化为，解得或，故解集为或； ③当时，，不等式可化为，解得，故解集为； ④当时，，不等式可化为，解得，故解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解得，故解集为； 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 由知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需 因为，且， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 即， 解得， 故实数k的取值范围为 根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； 变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； 只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案． 本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论思想、转化思想及基本不等式的应用，属于中档题． 19.本小题17分 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季其中B，C区域的形状、大小完全相同设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为 用含有x的代数式表示a，并写出x的取值范围； 当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】解：设矩形花园的长为ym， 因为矩形花园的总面积为，所以，解得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，解得， 即a关于x的关系式为； 由知，， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为  【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，利用一次、二次、分式函数模型解决实际问题，属于中档题． 设矩形花园的长为ym，结合，进而求得a关于x的关系式； 由知，得到，利用基本不等式求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $