宁夏育才中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

宁夏育才中学2026-2027学年第一学期高二年级期中考试 数 学 试 卷 (试卷满分 150分,考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．答卷前,考生务必将信息填写在答题卡上,并将条形码贴在答题卡指定位置。 2．作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后,将答题卡交回,试卷保留。 一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 1．经过点且与直线垂直的直线的方程为（  ） A． B． C． D． 2．已知圆与圆，则与的位置关系为（  ） A． 内切 B．相交 C．外切 D．外离 3．如图，在三棱柱 中，设 , ，是的中点，则可表示为（  ） A. B. C. D. 4．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 5．一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（  ） A． B． C． D． 6．赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是米，若一艘宽米，水面以上高米的货轮恰好能通过，则拱顶到水面的距离至少为（  ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7．直线与圆截得的弦长为，则的最小值是（  ） A. B. C. D. 8．数学美的表现形式不像自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线对于曲线，下列说法错误的是（  ） A. 曲线上任意两点间距离的最大值为 B. 若点在曲线的内部不含边界，则 C. 若曲线与直线有公共点，则 D. 若曲线与圆有公共点，则 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线与圆相交于，两点，则（  ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．直线截圆的弦长为 10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（  ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 11．已知正四面体，棱长为，是的中心，则下列说法正确的是（  ） A. B. 与平面所成角正弦值为 C. 平面与平面所成角余弦值为 D. 到平面距离为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．直线与直线之间的距离为 13.已知圆：，则过点与圆相切的切线方程为           ． 14．在棱长为3的正方体中，点E，F分别在棱AB，BC上，，点G，H为棱上的动点．若平面， ，则＝____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分)分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点； (2)椭圆经过，两点； (3)焦距等于，且椭圆经过点． 16.(本小题15分)已知圆C的圆心为点C，其在直线 上，且与轴交于两点 (1)求圆C的标准方程； (2)已知,点在圆C上运动，求线段中点的轨迹方程． 17.(本小题15分)已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 18.(本小题17分)已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． 证明：； 已知点在线段上含端点位置，点在线段上含端点位置． (ⅰ)若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值 (ⅱ)探究：是否存在点，，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19.(本小题17分)若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． 若圆：是集合，的包络圆． 求，满足的关系式； 若，求的取值范围； 若集合， ，的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 第5页 共2页 ◎ 第6页 共2页 第 2 页 /共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2026-2027学年第一学期高二年级期中考试 数学参考答案 1、 单选题、多选题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D A A A B B D BD BC ABD 三、填空题 12、 13、 14、 四、解答题 15.（13分） (1)；--------4分 (2)；--------4分 (3)或--------5分（注意：写对一种得3分） 16.（15分） 解：（1）因为圆与轴交于两点、，则线段的中点为， 由垂径定理可知轴，则点的横坐标为， 将代入，得，解得，得圆心，--------4分 圆的半径为，--------6分 圆C的标准方程为．--------7分（注意：本题有多种方法，只要答案正确，有过程给满分） （2）设、，由中点坐标公式得，即．--------9分 将点的坐标代入圆C的方程得，--------10分 即，即，--------12分 化简得，--------14分 线段中点的轨迹方程为．--------15分 17.（15分） 解：(1)证明：由直线整理可得： ，即，--------2分 则由，即，--------3分 故直线过定点；--------4分 (2) 当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则；--------6分 因为，故，解得；--------8分 （3）由可得： 当时，；当时，；--------10分 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得；--------11分 此时三角形面积为，--------12分 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值，--------14分 此时直线方程为，即．--------15分 18. （17分） 解：证明：因为平面平面，， 平面平面，平面， 所以平面，--------2分 而平面，故CD；--------4分 由题意知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，--------5分 不妨设，则，--------6分（设BC的长度不一样，导致后面几条线段的数据不一样） 由坐标系可知，，，，，， 故，，--------7分 设为平面的法向量， 则，即 令，得，， 则为平面的一个法向量，--------8分 而， 记直线与平面所成的角为， 则；--------10分 由题意知， 设 ，，--------11分 故F，，--------12分 设，， 所以，--------13分 而，， 若平面，则 --------14分 即，解得 --------15分 故当，重合，点的坐标为时，--------16分 平面，此时 --------17分 19.（17分） 解：因为圆：是集合的包络圆，所以圆心到直线的距离为，即，化简得，即，满足的关系式为．--------4分 由及， 可得圆与直线有公共点，所以，--------6分 解得，故的取值范围是．--------8分 设，由题意可知点到直线的距离为与无关的定值， 即为与无关的定值，--------9分 所以，，即，此时．--------10分 所以的方程为，--------11分 设，则， 即，--------12分 假设轴上存在定点，，使得，设，， 则--------13分 ，--------14分 所以--------15分 解得或--------16分 所以，存在，即，或，．--------17分 学科网（北京）股份有限公司 $