精品解析：宁夏回族自治区银川市唐徕中学2026-2027学年高二上学期10月期中考试数学试题

银川市唐徕中学2026—2027学年高二上学期期中考试 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则复数z的模为（ ） A. B. C. D. 3. 关于以下这组数据：22，24，26，26，28，30，下列说法错误的是（    ） A. 极差为8 B. 平均数为26 C. 众数为26 D. 分位数为27 4. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A. （x＞0） B. C. D. 5. 在 中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 是的一个零点 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为90° B. C. 直线平面 D. 三棱锥的体积为1 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A､的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为5 C. 在上存在点，使得 D. 上的点到直线的最大距离为9 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上． 12. 某市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级1000人中按男、女采用比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，且样本中男生人数比女生人数多20人，则这1000人中女生有______人. 13. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则____________． 14. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱,若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面的高为 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂为了检验一批新产品的质量，随机抽取了件产品进行检测，得到产品质量指标值的频率分布直方图如图所示： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这批产品质量指标值的平均数和中位数； （3）若质量指标值落在区间内的产品为合格产品，其中为平均数，为标准差，已知这批产品的标准差，估计这批产品的合格率. 16. 已知在中，角的对边分别是，且有. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 17. 已知圆C： （1）已知直线的方程为，证明：直线与圆C恒有两个交点； （2）已知直线经过点，当直线与圆C相交于A，B两点，且时，求直线的一般式方程. 18. 已知椭圆的离心率为，是上一点． （1）求的方程； （2）已知斜率为1的直线与交于，两点； （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）令、的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求锐二面角的正切值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学2026—2027学年高二上学期期中考试 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为且，所以， 因为，所以且，所以. 2. 复数满足，则复数z的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数等式变形求出，分母实数化化简得到代数形式，再利用复数模的计算公式算出模． 【详解】由，得， 所以． 3. 关于以下这组数据：22，24，26，26，28，30，下列说法错误的是（    ） A. 极差为8 B. 平均数为26 C. 众数为26 D. 分位数为27 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中数据结合极差、平均数、众数和百分位数的定义运算求解. 【详解】因为数据：22，24，26，26，28，30， 对于选项A：极差为，故A正确； 对于选项B：平均数为，故B正确； 对于选项C：众数为26，故C正确； 对于选项D：因为，所以分位数为第五个数28，故D错误； 故选：D. 4. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A. （x＞0） B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质即可作出判断. 【详解】（x＞0）在其定义域内是增函数，但不是奇函数，故A不满足条件； 是奇函数，但在定义域内不是增函数，故B不满足条件； 在其定义域内增函数，但不是奇函数，故C不满足条件； 在其定义域内既是增函数又是奇函数，故D满足条件. 故选：D 【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，是函数图象和性质的综合应用，熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解答的关键． 5. 在 中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】由，有，所以. 6. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若两直线平行，则，解得或， 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行； 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行 所以“”是“”的充分不必要条件. 7. 在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，构造直角三角形，可求得外接球的半径，从而得到表面积. 【详解】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点， 直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为, 故选：C 8. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数在区间上的函数性质确定单调性、值域，画出的图象，由题设与有两个不同的交点，即可求的范围. 【详解】在上单调递增，值域为. 在上单调递增，值域为R. ∴的图象如下图示，要使关于的方程有两个不同实数根，即与有两个交点. ∴如图，. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 是的一个零点 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为对,，故的值域为，即A正确； ，故不是的对称轴，故B错误； 的最小正周期为，故C正确； 因，故D正确. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为90° B. C. 直线平面 D. 三棱锥的体积为1 【答案】AC 【解析】 【详解】A：由正方体的性质可知：平面， 因为平面， 所以，因此直线与直线所成角为90°，所以本选项结论正确； B：由正方体性质可知：，所以有， 因为，所以不成立，因此本选项结论不正确； C：连接，由正方体的性质可得：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面，故本选项结论正确； D：由正方体的性质可得：平面 三棱锥的体积为，故本选项结论不正确； 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A､的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为5 C. 在上存在点，使得 D. 上的点到直线的最大距离为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，由及两点间的距离公式化简判断A；由A结论知表示圆心为，半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点的距离的范围判断B；设，由及距离公式可得方程，在曲线上得到一个方程，两方程联立求解判断C；由曲线，求出圆心到直线的距离减去圆的半径判断D. 【详解】由题意可设点，由，得，化简得，即， A正确； 曲线的方程表示圆心为，半径为4的圆，点与圆心的距离为，与圆上的点的距离的最小值为，最大值为，而 ，B正确； 设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，C错误； 的圆心到直线的距离为，且曲线的半径为4，则上的点到直线的最大距离，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上． 12. 某市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级1000人中按男、女采用比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，且样本中男生人数比女生人数多20人，则这1000人中女生有______人. 【答案】300 【解析】 【分析】根据比例分配的分层随机抽样可得答案. 【详解】设样本中男生为x人，则女生为人， 所以，解得，设总体中女生人数为n， 则，解得. 故答案为：300. 13. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出的值，由此可求得的值. 【详解】由题意得，则椭圆的焦点在轴上， 过的直线交于、两点， 可得的周长为，则， 故. 故答案为： 14. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱,若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面的高为 【答案】3 【解析】 【分析】设的面积为S,则，则.再利用体积相等可得结果. 【详解】当侧面水平放置时,水的形状为四棱柱形,底面ABFE为梯形. 设的面积为S,则 . 当底面ABC水平放置时,水的形状为三棱柱形,设水面高为h, 则有, , . 故当底面ABC水平放置时,液面高为3. 故答案为3. 【点睛】本题主要考查棱柱的体积公式，考查了空间想象能力，属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂为了检验一批新产品的质量，随机抽取了件产品进行检测，得到产品质量指标值的频率分布直方图如图所示： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这批产品质量指标值的平均数和中位数； （3）若质量指标值落在区间内的产品为合格产品，其中为平均数，为标准差，已知这批产品的标准差，估计这批产品的合格率. 【答案】（1） （2）平均数；中位数 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可求解； （2）根据频率分布直方图，结合平均数和中位数的计算公式即可求解； （3）根据题意，得到合格区间，计算合格区间的频率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，， 中位数为，则. 【小问3详解】 由（2）可知，，由于，根据题意，合格区间为，所以合格率. 16. 已知在中，角的对边分别是，且有. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，结合不为求出的值，即可确定出的度数； （2）利用余弦定理列出关系式，结合不等式可得，进而求得面积的最大值. 【小问1详解】 ∵在中，，∴. 已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：， 即， ，，. 【小问2详解】 由余弦定理可得：，可得， ，当且仅当时取等号， ∴面积的最大值. 17. 已知圆C： （1）已知直线的方程为，证明：直线与圆C恒有两个交点； （2）已知直线经过点，当直线与圆C相交于A，B两点，且时，求直线的一般式方程. 【答案】（1）证明见解析； （2）或者. 【解析】 【分析】（1）首先判断直线所过的定点，再代入圆的方程，即可判断点与圆的位置关系，即可证明； （2）根据垂径定理，求得圆心到直线的距离，讨论直线的斜率是否存在，再分别求直线. 【小问1详解】 直线：，所以直线恒过点， , 所以在圆C内，从而直线与圆C恒有两个交点； 【小问2详解】 ， ， 因为，则圆心C到直线的距离为1； 当直线的斜率不存在时，方程为与距离为1，满足题意； 当直线的斜率存在时，方程设为，，所以， 综上，直线的方程为或者. 18. 已知椭圆的离心率为，是上一点． （1）求的方程； （2）已知斜率为1的直线与交于，两点； （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）令、的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）或； （ⅱ）设的中点为，由中点坐标公式，得， ， 因此直线的斜率， 已知直线的斜率，故斜率之积为， 因此直线与直线的斜率之积为定值，得证. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆右顶点坐标得长半轴，结合离心率求出，再由算出，写出椭圆方程； （2）(i) 设出直线方程并代入椭圆方程消掉，再借助韦达定理和弦长公式列方程求出参数，验证即可得到直线方程；（2）(ii) 利用韦达定理求出中点坐标，算出斜率，再和直线的斜率相乘，验证结果是常数. 【小问1详解】 已知椭圆，点在椭圆上，因此，即， 由离心率，代入得， 根据椭圆关系，得， 因此椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的方程为，设，， 将代入椭圆方程，整理得， 由直线与椭圆有两个交点，判别式，解得， 由韦达定理得， 由， 化简得， 均满足，因此直线的方程为或； （ⅱ）略 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求锐二面角的正切值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，．则， ，．设平面的法向量是，则， 即令，则，．于是． ，． 又平面，平面． （2） （3）存在满足题意的点，且的值为，理由如下. 假设存在满足题意的点，且，设点的坐标为， 可得，由对应坐标相等可得， 故，由于平面的一个法向量， 设与平面所成的角为，由与平面所成角的正弦值为， 得，解得， 可得存在满足题意的点，且的值为． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明直线方向向量与平面法向量垂直，结合线在面外，完成线面平行的证明； （2）分别求出两个半平面的法向量，通过法向量夹角公式计算二面角的余弦值，再转化为正切值；（3）用参数设出线段上动点坐标，利用线面角与方向向量、法向量的夹角关系列方程，求解参数并验证范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为．则，即， 据此可得平面的一个法向量， 设锐二面角的平面角大小为，为锐角， 则，即， 所以．锐二面角的正切值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $