精品解析：北京市第十四中学2025-2026学年第一学期期中检测高一数学试卷

2025北京十四中高一（上）期中 数 学 一、选择题：共12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 对于实数下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. {或} 6. 函数在下列哪个区间存在零点（ ） A. B. C. D. 7. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义域为的偶函数在上单调递减，且，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，，若对，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 13. 函数的定义域为______. 14. 函数的最小值是 _______，此时_____． 15. 设是定义在上的奇函数，且时，，则_____；当时，___________． 16. 写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值：_______． 17. 设函数.给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②，有； ③，使得； ④若互不相等的实数满足，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题：共6小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 18. 已知全集，集合，，． （1）集合 _____； _____；_____；_____； （2）若，求a的取值范围； （3）若，求a的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 20. 已知函数为二次函数，的零点为−1和2，且 （1）求的解析式，并写出的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）求在区间上的最小值. 21. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）当时，求函数的最大值和最小值. 22. 某公司生产一类电子芯片，该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？最大年利润是多少？ 23. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合具有可分性. （1）分别判断集合是否具有可分性； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由； （3）若集合具有可分性，求集合中元素个数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京十四中高一（上）期中 数 学 一、选择题：共12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集的定义可求出集合，然后利用交集的定义可求出集合. 【详解】因为，，所以， 因此. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3. 对于实数下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质确定C正确，举反例得到ABD错误，得到答案. 【详解】对选项A：取，，满足，，错误； 对选项B：当时，，错误； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：取，，满足， 此时，，，错误； 故选：C. 4. 下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数特征逐一判断即可. 【详解】对于A，在和单调递减，不是定义域的减函数，故A错误； 对于B，定义域，又因为，所以在定义域内是奇函数，结合一次函数特征可知，为减函数，故B正确； 对于C，定义域，又因为，所以在定义域内是偶函数，故C错误； 对于D，定义域，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：B 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. {或} 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得 ，解得，即解集为， 6. 函数在下列哪个区间存在零点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首项判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】函数定义域为, 当时恒成立，当时单调递增，单调递增且大于零恒成立，单调递增， 根据复合函数的单调性可知在上单调递增， 又，， 即，所以的零点位于区间内. 故选：C 7. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】设命题为：；设命题为：， 先解不等式：由，移项得，即， 该不等式等价于，解得； 再解不等式：由，解得， 因为命题和命题的解集完全相同，即， 所以“”是“”的充分必要条件. 8. 关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式解集可求，代入求解即可. 【详解】由题意知：，则有， ∴，解之得， 故选：B 9. 已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到关于的不等式组，求解即可. 【详解】设， 因为二次函数的两个零点都在区间内， 所以，则，即， 故实数的取值范围是：. 故选：C. 10. 已知定义域为的偶函数在上单调递减，且，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性与奇偶性直接求解. 【详解】∵定义域为的偶函数在上单调递减，且， ，且在上单调递增， ，可得或或， 即或或，即. 故选：D. 11. 若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各段单调递增且在断点处左侧的函数值不超过右侧的函数值得到不等式组. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 12. 已知函数，，若对，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数的取值范围． 【详解】解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称， ∴时，的最小值为，最大值为， 可得值域为， 又∵，， ∴为单调增函数，值域为， 即， ∵，，使得， ∴，解得：． 故选：D． 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 13. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【详解】要求，故定义域为 . 14. 函数的最小值是 _______，此时_____． 【答案】 ①. 12 ②. 4 【解析】 【分析】当时，，结合基本不等式即可求解． 【详解】当时， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：12；4． 15. 设是定义在上的奇函数，且时，，则_____；当时，___________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出以及当时的解析式即可． 【详解】是定义在上的奇函数，则， 则， 令，则， 故， 故当时，，又，故时也成立， 所以当时，. 故答案为：2；． 16. 写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】对进行分类讨论，根据一元二次不等式恒成立的知识求得正确答案. 【详解】依题意，“恒成立”是假命题， 当时，恒成立，不符合题意. 当时，可以为负数，符合题意. 当时，，解得. 综上所述，或. 故答案为：（答案不唯一） 17. 设函数.给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②，有； ③，使得； ④若互不相等的实数满足，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1，结合图像即可判断； 对于②，举反例排除即可； 对于③，将问题转化为与有交点，作出图2即可判断； 对于④，结合图1对进行分析即可. 【详解】对于①，因为， 所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1， 由的图像易知的值域是，故①正确； 对于②，易得，，显然在上并不单调递增，所以②说法不成立，故②错误； 对于③，假设存在，，则，即， 即与有交点，作出图像，如图2，显然假设成立，故③正确； 对于④，由图1易知，则， 因为，所以，即，解得， 所以，即的取值范围是，故④正确； 综上：①③④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题：共6小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 18. 已知全集，集合，，． （1）集合 _____； _____；_____；_____； （2）若，求a的取值范围； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1），，，或； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解； （2）由可得，分和两种情况讨论，分别求出a的取值范围，最后取并集即可； （3）先求出时a的取值范围，再取补集即可． 【小问1详解】 集合，， ∴，或， ∴或. 【小问2详解】 ∵，∴， ①当时，，∴， ②当时，则， 解得， 综上所述，a的取值范围为. 【小问3详解】 若， ①当时，，∴， ②当时，或， ∴或， 综上所述，若，则a的取值范围为， 故，则a的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）； （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）把代入，再解一元二次不等式. （2）利用一元二次型不等式恒成立，求出的范围. （3）分类求解含参的不等式即得. 【小问1详解】 当时，函数，由，得，解得， 所以的解集为. 【小问2详解】 对于任意，不等式恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，不等式， 当时，解得；当时，解得或；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 20. 已知函数为二次函数，的零点为−1和2，且 （1）求的解析式，并写出的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）求在区间上的最小值. 【答案】（1）；递减区间 ，递增区间 （2）最大值为、最小值 为. （3）在区间上的最小值. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用二次函数的两根式设出解析式，进而求出解析式及单调区间； （2）利用二次函数的性质求出最值； （3）分，，三种情况讨论，结合二次函数性质求结论. 【小问1详解】 由二次函数的零点为和，设， 由，得，解得， 则， 所以的解析式，递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，，的图象对称轴为，， 当时，；当时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 设区间 上的最小值为 ： 若 （即 ），函数在区间上单调递减， 当时，函数取最小值，最小值； 若 ，函数在区间上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值； 若 ，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值； 综上在区间上的最小值. 21. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）当时，求函数的最大值和最小值. 【答案】（1）为奇函数，证明如下. 函数的定义域为，关于原点对称， 对任意，有， 因此是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下. 任取，且， ， 由，可得，，即，分母， 因此，即， 故在上单调递减. （3）最大值为；最小值为. 【解析】 【分析】（1）先确认定义域关于原点对称，再验证，即可判定函数为奇函数； （2）在区间内任取，作差并通分因式分解，通过判断差的符号确定单调性； （3）利用奇函数在对称区间上单调性一致的性质，得到上的单调性，代入端点计算最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知是奇函数；由（2）知在上单调递减； 根据奇函数的性质，奇函数在对称区间上单调性相同，可得在上也单调递减， 因此在上单调递减， 最大值为；最小值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 22. 某公司生产一类电子芯片，该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？最大年利润是多少？ 【答案】（1）， （2）20，最大年利润10万元 【解析】 【分析】（1）结合所给的年利润的计算方法可得函数解析式. （2）利用基本（均值）不等式，求和的最小值. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 因为，所以 当且仅当，即时，等号成立 故 答：为使公司获得的年利润最大，每年应生产20万件该芯片，最大年利润是10万元． 23. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合具有可分性. （1）分别判断集合是否具有可分性； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由； （3）若集合具有可分性，求集合中元素个数的最小值. 【答案】（1）不具有，也不具有 （2）不存在五元可分集，证明如下. 设集合总和为，对任意元素，由可分性，去掉后剩余元素可拆分为两个和相等的子集，因此剩余元素和必为偶数. 对任意两个元素，有为偶数，即所有元素同奇偶. 若集合全为偶数，将所有元素同时除以2，可分性保持不变；重复该操作，最终可归约为全奇数的集合，因此下文不妨设集合中所有元素均为奇数. 假设存在五元可分集，不妨设，且均为奇数， 去掉任意一个元素后剩余4个元素，要拆分为和相等的两个不交子集，仅有两类拆分方式： 型：两个元素为一组，两组和相等； 型：单个元素的和等于另外三个元素的和（只能是最大元素等于另外三数之和，其余单个元素均小于三数之和）. 下面分两大类、四种子情形完整讨论所有拆分可能： 情形一：去掉最大元时，剩余集合为型拆分. 去掉，剩余，由元素大小关系，仅存在一种等分可能：最小配最大、次小配次大，即. 子情形1.1：去掉最小元时，剩余集合也为型拆分. 去掉，剩余，同理等分只能是， 将代入上式，化简得 去掉，剩余，代入检验， 若为拆分：所有配对均不成立，例如与相等会推出，与元素互异矛盾；其余配对均存在大小矛盾； 若为拆分：只能是最大元，代入化简得，与正整数前提矛盾， 因此去掉时无法平分，与可分性矛盾. 子情形1.2：去掉最小元时，剩余集合为型拆分. 去掉，剩余，拆分只能是最大元等于其余三数之和，即， 将代入上式，得. 去掉，剩余，代入检验， 若为拆分：，代入化简得，与元素互异矛盾； 若为拆分：所有配对中，与相等会推出，与正整数矛盾；其余配对均存在明显大小差距，无法相等， 因此去掉时无法平分，矛盾. 情形二：去掉最大元时，剩余集合为型拆分. 去掉，剩余，拆分只能是最大元等于其余三数之和，即. 子情形2.1：去掉最小元时，剩余集合为型拆分. 去掉，剩余，等分只能是， 将代入上式，得， 去掉，剩余，代入检验， 若为拆分：，代入化简得，与正整数矛盾； 若为拆分：与相等会推出，矛盾；另一配对与相等会推出，但，故，矛盾， 因此去掉时无法平分，矛盾. 子情形2.2：去掉最小元时，剩余集合也为型拆分. 去掉，剩余，拆分得， 将代入上式，得， 去掉，剩余，代入检验， 若为拆分：，代入化简得，与元素互异矛盾； 若为拆分：所有配对均无法相等，例如与相等会推出，与正整数矛盾；其余配对均存在大小差距， 因此去掉时无法平分，矛盾. 所有拆分组合情形均推出矛盾，因此不存在五个元素的集合具有可分性. （3） 【解析】 【分析】（1）利用“可平分则剩余和必为偶数”的必要条件，通过反例快速判断两个集合均不满足可分性； （2）先由同奇偶性简化为全奇五元集，再结合递增排序与两种平分模式推导矛盾，证明五元可分集不存在。 （3）逐一排除的所有情形，再构造出满足条件的7元集合，从而确定元素个数的最小值为7. 【小问1详解】 设集合的元素总和为.若具有可分性，则对任意，去掉后剩余元素的和必为偶数（能平分为两个和相等的子集）. 由此可推：对任意，与均为偶数，故为偶数，即集合中所有元素同奇偶. ①集合，该集合元素奇偶混杂，不满足“所有元素同奇偶”的必要条件，去掉元素后，剩余集合的和为，是奇数，无法平分为两个和相等的子集，因此不具有可分性； ②集合，该集合元素同样奇偶混杂，去掉元素后，剩余集合的和为，是奇数，无法平分为两个和相等的子集，因此不具有可分性. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设集合元素总和为，由可分性定义，去掉任意元素后，剩余元素和必须能被2整除，即为偶数， 由此可知，与所有奇偶性相同，因此集合中的元素必全部同奇或全部同偶。若全为偶数，可不断将所有元素除以2直到出现奇数，且可分性保持不变，因此我们总可以假设集合中的元素全为奇数， 基于“元素全为奇数”的假设， 若为偶数，去掉1个奇数后，剩余个（奇数个）奇数，其和必为奇数，无法拆分为两个和相等的整数集合（和需为偶数）， 因此不能为偶数，直接排除， ，去掉任意一个元素后剩余2个互异正整数，和相等当且仅当两数相等，与集合元素互异性矛盾，不存在， ，第（2）问已证不存在五元可分集， 取集合，元素总和，逐一验证去掉每个元素后的可分性， 去掉元素 剩余元素和 平分目标值 合法拆分（两不交集合和相等） 1 48 24 与 3 46 23 与 5 44 22 与 7 42 21 与 9 40 20 与 11 38 19 与 13 36 18 与 所有情形均满足可分性，因此是可行的， 综上，集合元素个数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $