3.2.1 双曲线及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2 3.2.1 双曲线及其标准方程 人教A版2019选择性必修第一册 目录 C A T A L O G 01.双曲线的定义 02.标准方程与焦点位置 03.由条件求标准方程 04.定义的应用与随堂检测 导入新知 把“和”改成“差”，图形会变成什么？ 上一讲：到两个定点的距离之和 等于常数的点的轨迹是椭圆。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　导入与目标　·　03/48　·　步 1/4 导入新知 把“和”改成“差”，图形会变成什么？ 上一讲：到两个定点的距离之和 等于常数的点的轨迹是椭圆。 取 、 ，描出使 与 的点 M。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　导入与目标　·　03/48　·　步 2/4 导入新知 把“和”改成“差”，图形会变成什么？ 上一讲：到两个定点的距离之和 等于常数的点的轨迹是椭圆。 取 、 ，描出使 与 的点 M。 所得图象分成左、右两支， 每一支从与 x 轴的交点处向两侧张开。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　导入与目标　·　03/48　·　步 3/4 导入新知 把“和”改成“差”，图形会变成什么？ 上一讲：到两个定点的距离之和 等于常数的点的轨迹是椭圆。 取 、 ，描出使 与 的点 M。 所得图象分成左、右两支， 每一支从与 x 轴的交点处向两侧张开。 差的绝对值为什么必须是 8？它和 |F₁F₂| 有什么关系？这就是本讲要回答的问题。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　导入与目标　·　03/48　·　步 4/4 学习目标 1．通过轨迹上点到两定点距离的计算，理解双曲线的定义，能说出焦点与焦距，会在给定条件下判断动点的轨迹是不是双曲线。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　导入与目标　·　04/48　·　步 1/4 学习目标 1．通过轨迹上点到两定点距离的计算，理解双曲线的定义，能说出焦点与焦距，会在给定条件下判断动点的轨迹是不是双曲线。 2．经历用坐标法推导双曲线标准方程的过程，掌握焦点在 x 轴、在 y 轴上的两种标准方程，能正确写出 a、b、c 三者之间的关系。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　导入与目标　·　04/48　·　步 2/4 学习目标 1．通过轨迹上点到两定点距离的计算，理解双曲线的定义，能说出焦点与焦距，会在给定条件下判断动点的轨迹是不是双曲线。 2．经历用坐标法推导双曲线标准方程的过程，掌握焦点在 x 轴、在 y 轴上的两种标准方程，能正确写出 a、b、c 三者之间的关系。 3．会由焦点位置与已知条件求双曲线的标准方程； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　导入与目标　·　04/48　·　步 3/4 学习目标 1．通过轨迹上点到两定点距离的计算，理解双曲线的定义，能说出焦点与焦距，会在给定条件下判断动点的轨迹是不是双曲线。 2．经历用坐标法推导双曲线标准方程的过程，掌握焦点在 x 轴、在 y 轴上的两种标准方程，能正确写出 a、b、c 三者之间的关系。 3．会由焦点位置与已知条件求双曲线的标准方程； 能利用定义求双曲线上点到焦点的距离，并解决简单的焦点三角形问题。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　导入与目标　·　04/48　·　步 4/4 3.2.1 双曲线及其标准方程 01 双曲线的定义 学习新知 在上述轨迹上取四个点，算一算它们到 F₁、F₂ 的距离： M 的坐标 |MF₁| |MF₂| 差的值 (4, 0) 9 1 8 (-4, 0) 1 9 -8 (8, 3√3) 14 6 8 (-8, 3√3) 6 14 -8 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　06/48　·　步 1/3 学习新知 在上述轨迹上取四个点，算一算它们到 F₁、F₂ 的距离： M 的坐标 |MF₁| |MF₂| 差的值 (4, 0) 9 1 8 (-4, 0) 1 9 -8 (8, 3√3) 14 6 8 (-8, 3√3) 6 14 -8 四个点的距离之差的绝对值都是 ，而 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　06/48　·　步 2/3 学习新知 在上述轨迹上取四个点，算一算它们到 F₁、F₂ 的距离： M 的坐标 |MF₁| |MF₂| 差的值 (4, 0) 9 1 8 (-4, 0) 1 9 -8 (8, 3√3) 14 6 8 (-8, 3√3) 6 14 -8 四个点的距离之差的绝对值都是 ，而 。 常数 8 小于焦距 10：差的绝对值能取到的范围，决定了轨迹的形状。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　06/48　·　步 3/3 学习新知 (1) 定义：平面内与两个定点 F₁、F₂ 的距离的差的 等于常数 （ ）的点的轨迹叫做双曲线。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　07/48　·　步 1/3 学习新知 (1) 定义：平面内与两个定点 F₁、F₂ 的距离的差的 绝对值 等于常数 （ 小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。 (2) 两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点之间的距离叫做 焦距 。 记 、常数为 ，则必须满足 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　07/48　·　步 2/3 学习新知 (1) 定义：平面内与两个定点 F₁、F₂ 的距离的差的 绝对值 等于常数 （ 小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。 (2) 两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点之间的距离叫做 焦距 。 记 、常数为 ，则必须满足 为什么常数要小于 |F₁F₂|？ M、F₁、F₂ 不共线时，在△MF₁F₂ 中，两边之差小于第三边，所以差的绝对值必小于 |F₁F₂|。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　07/48　·　步 3/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 到 、 的距离之差等于 8 的点的轨迹是双曲线。（　） (2) 双曲线上任一点到两焦点距离之差的绝对值是常数，且常数大于焦距。（　） 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　08/48　·　步 1/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 到 、 的距离之差等于 8 的点的轨迹是双曲线。（　） (2) 双曲线上任一点到两焦点距离之差的绝对值是常数，且常数大于焦距。（　） （1）×。 不取绝对值时只剩 一支；点 (-4,0) 的差是 -8，不在轨迹内。 （2）×。 定义要求常数小于焦距：本例常数是 8，焦距是 10。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　08/48　·　步 2/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 到 、 的距离之差等于 8 的点的轨迹是双曲线。（　） (2) 双曲线上任一点到两焦点距离之差的绝对值是常数，且常数大于焦距。（　） （1）×。 不取绝对值时只剩 一支；点 (-4,0) 的差是 -8，不在轨迹内。 （2）×。 定义要求常数小于焦距：本例常数是 8，焦距是 10。 只有取绝对值、且常数小于 |F₁F₂|，轨迹才是完整的双曲线。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　08/48　·　步 3/3 学习新知 以 、 为定点，此时 ： 动点 M 满足的条件 轨迹 说明 差的绝对值等于 4 双曲线 常数小于 6，图象有两支 差等于 4，不取绝对值 双曲线的一支 只剩靠近 F₂ 的右支 差的绝对值等于 6 两条射线 以 F₁、F₂ 为端点，背离原点 差的绝对值等于 8 无轨迹 差的绝对值取不到大于 6 的值 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　09/48　·　步 1/3 学习新知 以 、 为定点，此时 ： 动点 M 满足的条件 轨迹 说明 差的绝对值等于 4 双曲线 常数小于 6，图象有两支 差等于 4，不取绝对值 双曲线的一支 只剩靠近 F₂ 的右支 差的绝对值等于 6 两条射线 以 F₁、F₂ 为端点，背离原点 差的绝对值等于 8 无轨迹 差的绝对值取不到大于 6 的值 另外， 时，轨迹是线段 F₁F₂ 的垂直平分线（差为 0）。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　09/48　·　步 2/3 学习新知 以 、 为定点，此时 ： 动点 M 满足的条件 轨迹 说明 差的绝对值等于 4 双曲线 常数小于 6，图象有两支 差等于 4，不取绝对值 双曲线的一支 只剩靠近 F₂ 的右支 差的绝对值等于 6 两条射线 以 F₁、F₂ 为端点，背离原点 差的绝对值等于 8 无轨迹 差的绝对值取不到大于 6 的值 另外， 时，轨迹是线段 F₁F₂ 的垂直平分线（差为 0）。 求轨迹方程时，先用本表确认轨迹存在， 再看是一支还是两支，最后定 a 与 c。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　09/48　·　步 3/3 例题精讲 考点：由定义判断轨迹 例 1 已知 、 ，动点 P 满足 ，则 P 的轨迹是（　） A．双曲线的右支 B．双曲线的左支 C．一条射线 D．两条射线 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　10/48　·　步 1/4 例题精讲 考点：由定义判断轨迹 例 1 已知 、 ，动点 P 满足 ，则 P 的轨迹是（　） A．双曲线的右支 B．双曲线的左支 C．一条射线 D．两条射线 这里 ，差的绝对值恰好等于 ， 由对照表应是两条射线；条件不取绝对值，只留 |PF₁|>|PF₂| 的那一条。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　10/48　·　步 2/4 例题精讲 考点：由定义判断轨迹 例 1 已知 、 ，动点 P 满足 ，则 P 的轨迹是（　） A．双曲线的右支 B．双曲线的左支 C．一条射线 D．两条射线 这里 ，差的绝对值恰好等于 ， 由对照表应是两条射线；条件不取绝对值，只留 |PF₁|>|PF₂| 的那一条。 取 P(6,0)：|PF₁|-|PF₂|=11-1=10，成立。 答案　C 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　10/48　·　步 3/4 例题精讲 考点：由定义判断轨迹 例 1 已知 、 ，动点 P 满足 ，则 P 的轨迹是（　） A．双曲线的右支 B．双曲线的左支 C．一条射线 D．两条射线 这里 ，差的绝对值恰好等于 ， 由对照表应是两条射线；条件不取绝对值，只留 |PF₁|>|PF₂| 的那一条。 取 P(6,0)：|PF₁|-|PF₂|=11-1=10，成立。 答案　C 以 F₂ 为端点的射线。 点评：先比大小，再看绝对值。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　10/48　·　步 4/4 变式训练 考点：由定义判断轨迹 变式 1 已知 、 ，则动点 M 的轨迹是双曲线的是（　） A． B． C． D． 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　11/48　·　步 1/3 变式训练 考点：由定义判断轨迹 变式 1 已知 、 ，则动点 M 的轨迹是双曲线的是（　） A． B． C． D． 这里 |F₁F₂|=4。 A．常数 2<4，但不取绝对值，轨迹只有右支； B．常数等于 |F₁F₂|，轨迹是一条射线； C．3<4 且取绝对值，轨迹是双曲线；D．5>4，差的绝对值取不到，无轨迹。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　11/48　·　步 2/3 变式训练 考点：由定义判断轨迹 变式 1 已知 、 ，则动点 M 的轨迹是双曲线的是（　） A． B． C． D． 这里 |F₁F₂|=4。 A．常数 2<4，但不取绝对值，轨迹只有右支； B．常数等于 |F₁F₂|，轨迹是一条射线； C．3<4 且取绝对值，轨迹是双曲线；D．5>4，差的绝对值取不到，无轨迹。 答案　C 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　11/48　·　步 3/3 方法归纳 考点：由定义判断轨迹 ① 先看有没有绝对值：取绝对值时两支都在，不取时只剩一支； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　12/48　·　步 1/3 方法归纳 考点：由定义判断轨迹 ① 先看有没有绝对值：取绝对值时两支都在，不取时只剩一支； ② 再把常数与 |F₁F₂| 比大小：小于得双曲线，等于得两条射线，大于无轨迹； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　12/48　·　步 2/3 方法归纳 考点：由定义判断轨迹 ① 先看有没有绝对值：取绝对值时两支都在，不取时只剩一支； ② 再把常数与 |F₁F₂| 比大小：小于得双曲线，等于得两条射线，大于无轨迹； ③ 只剩一支时由差的符号定位置：差为正，说明到 F₁ 的距离大，点靠近 F₂。 定义的两个要素：差的绝对值是常数，且这个常数小于 |F₁F₂|。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　双曲线的定义　·　12/48　·　步 3/3 3.2.1 双曲线及其标准方程 02 标准方程与焦点位置 学习新知 沿用 3.1.1 的建系方法： 以 F₁F₂ 所在直线为 轴， 以线段 F₁F₂ 的垂直平分线为 轴。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　14/48　·　步 1/4 学习新知 沿用 3.1.1 的建系方法： 以 F₁F₂ 所在直线为 x 轴， 以线段 F₁F₂ 的垂直平分线为 y 轴。 设 （c>0）， 则 、 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　14/48　·　步 2/4 学习新知 沿用 3.1.1 的建系方法： 以 F₁F₂ 所在直线为 x 轴， 以线段 F₁F₂ 的垂直平分线为 y 轴。 设 （c>0）， 则 、 。 设 在曲线上，差的绝对值是常数 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　14/48　·　步 3/4 学习新知 沿用 3.1.1 的建系方法： 以 F₁F₂ 所在直线为 x 轴， 以线段 F₁F₂ 的垂直平分线为 y 轴。 设 （c>0）， 则 、 。 设 在曲线上，差的绝对值是常数 。 由两点间距离公式，把定义翻译成方程： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　14/48　·　步 4/4 学习新知 化简路线与椭圆完全相同：移项、平方、整理、再平方。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　15/48　·　步 1/4 学习新知 化简路线与椭圆完全相同：移项、平方、整理、再平方。 移项后两边平方，整理得： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　15/48　·　步 2/4 学习新知 化简路线与椭圆完全相同：移项、平方、整理、再平方。 移项后两边平方，整理得： 再平方一次，合并同类项： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　15/48　·　步 3/4 学习新知 化简路线与椭圆完全相同：移项、平方、整理、再平方。 移项后两边平方，整理得： 再平方一次，合并同类项： 为什么平方两次？ 两个根式在不同侧时才能消去：先移项使左边只剩一个根式，平方后仍含根式，故要再平方一次。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　15/48　·　步 4/4 学习新知 由 2a<2c 知 ，令 （b>0）， 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　16/48　·　步 1/5 学习新知 由 2a<2c 知 ，令 （b>0）， 两边同除以 ，得焦点在 x 轴上的标准方程： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　16/48　·　步 2/5 学习新知 由 2a<2c 知 ，令 （b>0）， 两边同除以 ，得焦点在 x 轴上的标准方程： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　16/48　·　步 3/5 学习新知 由 2a<2c 知 ，令 （b>0）， 两边同除以 ，得焦点在 x 轴上的标准方程： 焦点为 、 ，其中 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　16/48　·　步 4/5 学习新知 由 2a<2c 知 ，令 （b>0）， 两边同除以 ，得焦点在 x 轴上的标准方程： 焦点为 、 ，其中 。 读方程：减号前的分母是 a²，减号后的分母是 b²；a、b 只由方程本身确定。 与椭圆的区别：椭圆看两个分母谁大；双曲线只看取正号的是哪一项。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　16/48　·　步 5/5 应用新知 (1) 双曲线 的焦点坐标是 。（　） 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　17/48　·　步 1/3 应用新知 (1) 双曲线 的焦点坐标是 。（　） (2) 双曲线标准方程中 a、b、c 的关系与椭圆相同，都是 。（　） 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　17/48　·　步 2/3 应用新知 (1) 双曲线 的焦点坐标是 。（　） (2) 双曲线标准方程中 a、b、c 的关系与椭圆相同，都是 。（　） （1）×。c²=a²+b²=16+9=25，c=5，焦点是 (±5,0)；(±4,0) 是曲线与 x 轴的交点。 （2）×。双曲线中 c 最大。按椭圆关系会得到 c²=16-9=7，与 c=5 矛盾。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　17/48　·　步 3/3 学习新知 把 x 与 y 互换（焦点在 y 轴上），同法可得： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　18/48　·　步 1/4 学习新知 把 x 与 y 互换（焦点在 y 轴上），同法可得： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　18/48　·　步 2/4 学习新知 把 x 与 y 互换（焦点在 y 轴上），同法可得： 焦点 、 ，仍有 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　18/48　·　步 3/4 学习新知 把 x 与 y 互换（焦点在 y 轴上），同法可得： 焦点 、 ，仍有 。 两种形式对照： a² 总写在 取正号 的那一项下面； 与坐标轴的交点：焦点在 x 轴时为 ， 焦点在 y 轴时为 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　18/48　·　步 4/4 应用新知 (1) 方程 的焦点在 x 轴上。（　） 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　19/48　·　步 1/3 应用新知 (1) 方程 的焦点在 x 轴上。（　） (2) 方程 表示焦点在 y 轴上的双曲线。（　） 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　19/48　·　步 2/3 应用新知 (1) 方程 的焦点在 x 轴上。（　） (2) 方程 表示焦点在 y 轴上的双曲线。（　） （1）×。取正号的是 y² 项，焦点在 y 轴上；c²=9+16=25，焦点是 (0,±5)。 （2）√。 两边同除以 4 得 ，y² 项取正号，c²=1+4=5。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　19/48　·　步 3/3 例题精讲 考点：由方程读出 a、b、c 与焦点 例 2　求双曲线 9y²-4x²=36 的焦点坐标，并写出 a、b 的值。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　20/48　·　步 1/4 例题精讲 考点：由方程读出 a、b、c 与焦点 例 2　求双曲线 9y²-4x²=36 的焦点坐标，并写出 a、b 的值。 两边同除以 36，化成标准形式： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　20/48　·　步 2/4 例题精讲 考点：由方程读出 a、b、c 与焦点 例 2　求双曲线 9y²-4x²=36 的焦点坐标，并写出 a、b 的值。 两边同除以 36，化成标准形式： 取正号的是 y² 项，焦点在 y 轴上， 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　20/48　·　步 3/4 例题精讲 考点：由方程读出 a、b、c 与焦点 例 2　求双曲线 9y²-4x²=36 的焦点坐标，并写出 a、b 的值。 两边同除以 36，化成标准形式： 取正号的是 y² 项，焦点在 y 轴上， ，焦点 点评：9 虽大，却是 b²；焦点位置只由取正号的项决定。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　20/48　·　步 4/4 变式训练 变式 2　求双曲线 x²-4y²=4 的焦点坐标。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　21/48　·　步 1/3 变式训练 变式 2　求双曲线 x²-4y²=4 的焦点坐标。 两边同除以 4，把右边化成 1： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　21/48　·　步 2/3 变式训练 变式 2　求双曲线 x²-4y²=4 的焦点坐标。 两边同除以 4，把右边化成 1： x² 项取正号，焦点在 x 轴上， 焦点坐标为 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　21/48　·　步 3/3 方法归纳 考点：由方程读出 a、b、c 与焦点 ① 先把方程化成右边为 1、两项分母都为正的形式； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　22/48　·　步 1/3 方法归纳 考点：由方程读出 a、b、c 与焦点 ① 先把方程化成右边为 1、两项分母都为正的形式； ② 看取正号的项：含 x² 焦点在 x 轴，含 y² 焦点在 y 轴； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　22/48　·　步 2/3 方法归纳 考点：由方程读出 a、b、c 与焦点 ① 先把方程化成右边为 1、两项分母都为正的形式； ② 看取正号的项：含 x² 焦点在 x 轴，含 y² 焦点在 y 轴； ③ 正号项的分母是 a²，另一项的分母是 b²，再由 c²=a²+b² 求 c。 易错：把较大的分母当成 a²。双曲线里 a² 只看正负号，与分母大小无关。 如 中较大的 9 是 ，不是 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　22/48　·　步 3/3 例题精讲 考点：含参方程表示双曲线 例 3 已知方程 ： (1) 当它表示双曲线时，求 k 的取值范围； (2) 当它表示焦点在 y 轴上的双曲线时，求 k 的取值范围。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　23/48　·　步 1/3 例题精讲 考点：含参方程表示双曲线 例 3 已知方程 ： (1) 当它表示双曲线时，求 k 的取值范围； (2) 当它表示焦点在 y 轴上的双曲线时，求 k 的取值范围。 (1) 两项分母异号： 即 解得 或 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　23/48　·　步 2/3 例题精讲 考点：含参方程表示双曲线 例 3 已知方程 ： (1) 当它表示双曲线时，求 k 的取值范围； (2) 当它表示焦点在 y 轴上的双曲线时，求 k 的取值范围。 (1) 两项分母异号： 即 解得 或 。 (2) 须 y² 项分母为正、x² 项分母为负： 且 取交集得 。 点评：第 (2) 问在第 (1) 问的范围内再限定正号项，两个条件要同时成立。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　23/48　·　步 3/3 变式训练 考点：含参方程表示双曲线 变式 3　求满足下列条件的 k（或 m）的取值范围。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　24/48　·　步 1/5 变式训练 考点：含参方程表示双曲线 变式 3　求满足下列条件的 k（或 m）的取值范围。 (1) 方程 表示焦点在 y 轴上的双曲线； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　24/48　·　步 2/5 变式训练 考点：含参方程表示双曲线 变式 3　求满足下列条件的 k（或 m）的取值范围。 (1) 方程 表示焦点在 y 轴上的双曲线； (2) 方程 表示双曲线。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　24/48　·　步 3/5 变式训练 考点：含参方程表示双曲线 变式 3　求满足下列条件的 k（或 m）的取值范围。 (1) 方程 表示焦点在 y 轴上的双曲线； (2) 方程 表示双曲线。 (1) 且 ，得 。 此时方程可写成 ，两个分母都为正。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　24/48　·　步 4/5 变式训练 考点：含参方程表示双曲线 变式 3　求满足下列条件的 k（或 m）的取值范围。 (1) 方程 表示焦点在 y 轴上的双曲线； (2) 方程 表示双曲线。 (1) 且 ，得 。 此时方程可写成 ，两个分母都为正。 (2) 须 ，得 ；此时表示焦点在 x 轴上的双曲线。 点评：“是双曲线”只要异号；“焦点在哪条轴”还要指定正号项。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　24/48　·　步 5/5 方法归纳 考点：含参方程表示双曲线 ① 分母含字母时，先判两项分母的符号：异号才是双曲线； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　25/48　·　步 1/3 方法归纳 考点：含参方程表示双曲线 ① 分母含字母时，先判两项分母的符号：异号才是双曲线； ② 写成标准形式时，把负的分母提出负号，让两个分母都为正； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　25/48　·　步 2/3 方法归纳 考点：含参方程表示双曲线 ① 分母含字母时，先判两项分母的符号：异号才是双曲线； ② 写成标准形式时，把负的分母提出负号，让两个分母都为正； ③ 要求焦点在某条轴上，就把“含哪个字母的分母为正”列成不等式组。 提醒：两个分母同号时图形变成椭圆或不存在，所以异号条件不能松。 如 表示双曲线 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　标准方程与焦点位置　·　25/48　·　步 3/3 3.2.1 双曲线及其标准方程 03 由条件求标准方程 学习新知 路线一　定义法 由差的绝对值得 2a： 定 b²，再写方程。 路线二　待定系数法 按焦点位置设出标准方程， 代入已知点与 a、b、c 关系。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　27/48　·　步 1/3 学习新知 路线一　定义法 由差的绝对值得 2a： 定 b²，再写方程。 路线二　待定系数法 按焦点位置设出标准方程， 代入已知点与 a、b、c 关系。 提醒：焦点位置没有指明时，必须分焦点在 x 轴、在 y 轴两种情形讨论，或把已知点代入后检验哪一种成立。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　27/48　·　步 2/3 学习新知 路线一　定义法 由差的绝对值得 2a： 定 b²，再写方程。 路线二　待定系数法 按焦点位置设出标准方程， 代入已知点与 a、b、c 关系。 提醒：焦点位置没有指明时，必须分焦点在 x 轴、在 y 轴两种情形讨论，或把已知点代入后检验哪一种成立。 曲线过 y 轴上的点时，焦点只能在 y 轴上：焦点在 x 轴时曲线与 y 轴无公共点。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　27/48　·　步 3/3 例题精讲 考点：用定义求标准方程 例 4 已知双曲线的两个焦点为 、 ， 双曲线上任意一点 P 到 、 的距离的差的绝对值等于 8，求双曲线的标准方程。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　28/48　·　步 1/5 例题精讲 考点：用定义求标准方程 例 4 已知双曲线的两个焦点为 、 ， 双曲线上任意一点 P 到 、 的距离的差的绝对值等于 8，求双曲线的标准方程。 焦点在 x 轴上，且 c=5；由定义 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　28/48　·　步 2/5 例题精讲 考点：用定义求标准方程 例 4 已知双曲线的两个焦点为 、 ， 双曲线上任意一点 P 到 、 的距离的差的绝对值等于 8，求双曲线的标准方程。 焦点在 x 轴上，且 c=5；由定义 ，即 b=3。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　28/48　·　步 3/5 例题精讲 考点：用定义求标准方程 例 4 已知双曲线的两个焦点为 、 ， 双曲线上任意一点 P 到 、 的距离的差的绝对值等于 8，求双曲线的标准方程。 焦点在 x 轴上，且 c=5；由定义 ，即 b=3。 所求方程为 检验： ，焦点 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　28/48　·　步 4/5 例题精讲 考点：用定义求标准方程 例 4 已知双曲线的两个焦点为 、 ， 双曲线上任意一点 P 到 、 的距离的差的绝对值等于 8，求双曲线的标准方程。 焦点在 x 轴上，且 c=5；由定义 ，即 b=3。 所求方程为 检验： ，焦点 。 点评：给距离差的绝对值就直接用定义取 2a，比代点解方程组快。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　28/48　·　步 5/5 变式训练 考点：用定义求标准方程 变式 4 已知两点 、 ， 求与它们的距离的差的绝对值等于 4 的点的轨迹方程。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　29/48　·　步 1/4 变式训练 考点：用定义求标准方程 变式 4 已知两点 、 ， 求与它们的距离的差的绝对值等于 4 的点的轨迹方程。 且取绝对值，轨迹是双曲线， 常数 4 即 2a，焦点在 x 轴上。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　29/48　·　步 2/4 变式训练 考点：用定义求标准方程 变式 4 已知两点 、 ， 求与它们的距离的差的绝对值等于 4 的点的轨迹方程。 且取绝对值，轨迹是双曲线， 常数 4 即 2a，焦点在 x 轴上。 轨迹方程为 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　29/48　·　步 3/4 变式训练 考点：用定义求标准方程 变式 4 已知两点 、 ， 求与它们的距离的差的绝对值等于 4 的点的轨迹方程。 且取绝对值，轨迹是双曲线， 常数 4 即 2a，焦点在 x 轴上。 轨迹方程为 。 板演：按知识点 2 推导：移项、平方两次，得 5x²-4y²=20。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　29/48　·　步 4/4 例题精讲 考点：由焦点与已知点求方程 例 5 已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且经过点 (2,3)， 则双曲线的标准方程为（　） A． B． C． D． 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　30/48　·　步 1/4 例题精讲 考点：由焦点与已知点求方程 例 5 已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且经过点 (2,3)， 则双曲线的标准方程为（　） A． B． C． D． 椭圆中 ，焦点 ，故双曲线焦点在 x 轴上，设 P(2,3)。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　30/48　·　步 2/4 例题精讲 考点：由焦点与已知点求方程 例 5 已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且经过点 (2,3)， 则双曲线的标准方程为（　） A． B． C． D． 椭圆中 ，焦点 ，故双曲线焦点在 x 轴上，设 P(2,3)。 所求方程 ，答案 D。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　30/48　·　步 3/4 例题精讲 考点：由焦点与已知点求方程 例 5 已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且经过点 (2,3)， 则双曲线的标准方程为（　） A． B． C． D． 椭圆中 ，焦点 ，故双曲线焦点在 x 轴上，设 P(2,3)。 所求方程 ，答案 D。 点评：共焦点先定 c 与焦点轴；过已知点时可用定义直接算 2a，避免解方程组。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　30/48　·　步 4/4 变式训练 考点：由焦点与已知点求方程 变式 5　求适合下列条件的双曲线的标准方程。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　31/48　·　步 1/5 变式训练 考点：由焦点与已知点求方程 变式 5　求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1) 与椭圆 有相同的焦点，且经过点 (4,6)； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　31/48　·　步 2/5 变式训练 考点：由焦点与已知点求方程 变式 5　求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1) 与椭圆 有相同的焦点，且经过点 (4,6)； (2) 经过点 与点 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　31/48　·　步 3/5 变式训练 考点：由焦点与已知点求方程 变式 5　求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1) 与椭圆 有相同的焦点，且经过点 (4,6)； (2) 经过点 与点 。 (1) 焦点 ；设 P(4,6)，则 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　31/48　·　步 4/5 变式训练 考点：由焦点与已知点求方程 变式 5　求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1) 与椭圆 有相同的焦点，且经过点 (4,6)； (2) 经过点 与点 。 (1) 焦点 ；设 P(4,6)，则 (2) 曲线过 y 轴上的点 (0,-2)，焦点只能在 y 轴上，且 点评：(2) 中先由公共点定轴，再定 a²，最后一个未知数由代入点求出。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　31/48　·　步 5/5 方法归纳 考点：由焦点与已知点求方程 ① 由焦点坐标或已知点位置定形式，把 a² 写在取正号的项下面； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　32/48　·　步 1/3 方法归纳 考点：由焦点与已知点求方程 ① 由焦点坐标或已知点位置定形式，把 a² 写在取正号的项下面； ② 用 b²=c²-a² 把两个未知数变成一个，再代入已知点； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　32/48　·　步 2/3 方法归纳 考点：由焦点与已知点求方程 ① 由焦点坐标或已知点位置定形式，把 a² 写在取正号的项下面； ② 用 b²=c²-a² 把两个未知数变成一个，再代入已知点； ③ 焦点位置未指明时先判断：曲线与某轴有公共点，焦点就在该轴上。 检验两步： 已知点代入方程要成立； 要等于已知 。 共焦点问题时，椭圆的 c²=a²-b² 与双曲线的 c²=a²+b² 不要混用。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　由条件求标准方程　·　32/48　·　步 3/3 3.2.1 双曲线及其标准方程 04 定义的应用与随堂检测 学习新知 P 在双曲线上，定义给出的是 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　34/48　·　步 1/4 学习新知 P 在双曲线上，定义给出的是 已知 求 时， 两个候选值都要写出。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　34/48　·　步 2/4 学习新知 P 在双曲线上，定义给出的是 已知 求 时， 两个候选值都要写出。 候选值要检验： 交点 (a,0) 到同侧焦点的距离是 ，到另一焦点的距离是 。 所以点到焦点的距离不小于 ，小于它的候选值要舍去。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　34/48　·　步 3/4 学习新知 P 在双曲线上，定义给出的是 已知 求 时， 两个候选值都要写出。 候选值要检验： 交点 (a,0) 到同侧焦点的距离是 ，到另一焦点的距离是 。 所以点到焦点的距离不小于 ，小于它的候选值要舍去。 两个候选值都合格时，答案有两解： P 在靠近 F₂ 的一支上时 ；反之在另一支上。 条件里指明 P 在哪一支，就只保留一个值。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　34/48　·　步 4/4 例题精讲 考点：用定义求点到焦点的距离 例 6 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，则 =（　） A．2 B．14 C．2 或 14 D．4 或 16 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　35/48　·　步 1/5 例题精讲 考点：用定义求点到焦点的距离 例 6 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，则 =（　） A．2 B．14 C．2 或 14 D．4 或 16 或 候选值两个。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　35/48　·　步 2/5 例题精讲 考点：用定义求点到焦点的距离 例 6 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，则 =（　） A．2 B．14 C．2 或 14 D．4 或 16 或 候选值两个。 检验： ，两个候选值都不小于 2，都符合。 答案 或 ，选 C。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　35/48　·　步 3/5 例题精讲 考点：用定义求点到焦点的距离 例 6 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，则 =（　） A．2 B．14 C．2 或 14 D．4 或 16 或 候选值两个。 检验： ，两个候选值都不小于 2，都符合。 答案 或 ，选 C。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　35/48　·　步 4/5 例题精讲 考点：用定义求点到焦点的距离 例 6 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，则 =（　） A．2 B．14 C．2 或 14 D．4 或 16 或 候选值两个。 检验： ，两个候选值都不小于 2，都符合。 答案 或 ，选 C。 点评：绝对值带来两解：2 对应 P 在右支，14 对应 P 在左支。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　35/48　·　步 5/5 变式训练 考点：用定义求点到焦点的距离 变式 6　双曲线 上一点 P 到一个焦点的距离为 10， 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　36/48　·　步 1/5 变式训练 考点：用定义求点到焦点的距离 变式 6　双曲线 上一点 P 到一个焦点的距离为 10， 则它到另一个焦点的距离是＿＿＿＿。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　36/48　·　步 2/5 变式训练 考点：用定义求点到焦点的距离 变式 6　双曲线 上一点 P 到一个焦点的距离为 10， 则它到另一个焦点的距离是＿＿＿＿。 ， 或 这里 ，4 与 16 都不小于 2，两个值都保留。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　36/48　·　步 3/5 变式训练 考点：用定义求点到焦点的距离 变式 6　双曲线 上一点 P 到一个焦点的距离为 10， 则它到另一个焦点的距离是＿＿＿＿。 ， 或 这里 ，4 与 16 都不小于 2，两个值都保留。 所以它到另一个焦点的距离是 或 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　36/48　·　步 4/5 变式训练 考点：用定义求点到焦点的距离 变式 6　双曲线 上一点 P 到一个焦点的距离为 10， 则它到另一个焦点的距离是＿＿＿＿。 ， 或 这里 ，4 与 16 都不小于 2，两个值都保留。 所以它到另一个焦点的距离是 或 。 焦点在 y 轴上不影响方法：先定 a 与 c，再写两个候选值并检验。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　36/48　·　步 5/5 方法归纳 考点：用定义求点到焦点的距离 ① 由定义写出差的绝对值等于 2a，得到两个候选值； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　37/48　·　步 1/3 方法归纳 考点：用定义求点到焦点的距离 ① 由定义写出差的绝对值等于 2a，得到两个候选值； ② 用距离不小于 c-a 检验候选值，再按 P 所在支取舍； 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　37/48　·　步 2/3 方法归纳 考点：用定义求点到焦点的距离 ① 由定义写出差的绝对值等于 2a，得到两个候选值； ② 用距离不小于 c-a 检验候选值，再按 P 所在支取舍； ③ 焦点三角形问题把 |PF₁|、|PF₂| 当作两个未知数，用定义与勾股联立，不必求点 P。 常用变形： 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　37/48　·　步 3/3 例题精讲 考点：焦点三角形 例 7 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，求 的面积。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　38/48　·　步 1/5 例题精讲 考点：焦点三角形 例 7 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，求 的面积。 垂直条件用勾股： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　38/48　·　步 2/5 例题精讲 考点：焦点三角形 例 7 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，求 的面积。 垂直条件用勾股： 由定义 ，两边平方： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　38/48　·　步 3/5 例题精讲 考点：焦点三角形 例 7 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，求 的面积。 垂直条件用勾股： 由定义 ，两边平方： 代入 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　38/48　·　步 4/5 例题精讲 考点：焦点三角形 例 7 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，求 的面积。 垂直条件用勾股： 由定义 ，两边平方： 代入 点评：把两个距离设为未知数，联立求积，不必求 P。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　38/48　·　步 5/5 变式训练 考点：焦点三角形 变式 7 已知双曲线 的上、下焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，求 的面积。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　39/48　·　步 1/4 变式训练 考点：焦点三角形 变式 7 已知双曲线 的上、下焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，求 的面积。 与例 7 同一模型： ，只是焦点改在 y 轴上。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　39/48　·　步 2/4 变式训练 考点：焦点三角形 变式 7 已知双曲线 的上、下焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，求 的面积。 与例 7 同一模型： ，只是焦点改在 y 轴上。 面积 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　39/48　·　步 3/4 变式训练 考点：焦点三角形 变式 7 已知双曲线 的上、下焦点分别为 、 ， 点 P 在双曲线上，且 ，求 的面积。 与例 7 同一模型： ，只是焦点改在 y 轴上。 面积 。 焦点位置改变不影响“定义＋勾股”的结构；面积只由 a 与 c 决定。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　39/48　·　步 4/4 课堂小结 定义三要素 差的绝对值是常数，且 两定点是焦点，焦距 2c； 不取绝对值只剩一支，不小于焦距无轨迹。 方程两种形式 a² 写在取正号的项下面； 关系都是 ，c 最大。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　40/48　·　步 1/3 课堂小结 定义三要素 差的绝对值是常数，且 两定点是焦点，焦距 2c； 不取绝对值只剩一支，不小于焦距无轨迹。 方程两种形式 a² 写在取正号的项下面； 关系都是 ，c 最大。 与椭圆对照：和改差并加绝对值，加号改减号，闭合的一圈变成张开的两支。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　40/48　·　步 2/3 课堂小结 定义三要素 差的绝对值是常数，且 两定点是焦点，焦距 2c； 不取绝对值只剩一支，不小于焦距无轨迹。 方程两种形式 a² 写在取正号的项下面； 关系都是 ，c 最大。 与椭圆对照：和改差并加绝对值，加号改减号，闭合的一圈变成张开的两支。 同一 a=4、b=3：椭圆闭合，双曲线张开两支。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　40/48　·　步 3/3 课堂小结 求方程两条路 定义法：先定 ，再算 ； 待定系数法：先定焦点轴， 焦点未指明时要分情形。 定义的两次使用 距离问题： ， 用 c-a 检验后取舍； 焦点三角形：定义给差， 勾股给平方和，联立求积。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　41/48　·　步 1/2 课堂小结 求方程两条路 定义法：先定 ，再算 ； 待定系数法：先定焦点轴， 焦点未指明时要分情形。 定义的两次使用 距离问题： ， 用 c-a 检验后取舍； 焦点三角形：定义给差， 勾股给平方和，联立求积。 判断焦点位置：双曲线看取正号的项，椭圆看较大的分母，这两条规则不要互换。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　41/48　·　步 2/2 题后反思 ● 把 |PF₁|-|PF₂|=2a 当成定义，漏掉绝对值，于是少了一支。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　42/48　·　步 1/5 题后反思 ● 把 |PF₁|-|PF₂|=2a 当成定义，漏掉绝对值，于是少了一支。 ● 由方程读 a、b 时仍按椭圆找较大分母：9y²-4x²=36 中 a²=4，不是 9。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　42/48　·　步 2/5 题后反思 ● 把 |PF₁|-|PF₂|=2a 当成定义，漏掉绝对值，于是少了一支。 ● 由方程读 a、b 时仍按椭圆找较大分母：9y²-4x²=36 中 a²=4，不是 9。 ● 求距离只写一个候选值，忘了 2a 可加可减，或忘了用 c-a 检验。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　42/48　·　步 3/5 题后反思 ● 把 |PF₁|-|PF₂|=2a 当成定义，漏掉绝对值，于是少了一支。 ● 由方程读 a、b 时仍按椭圆找较大分母：9y²-4x²=36 中 a²=4，不是 9。 ● 求距离只写一个候选值，忘了 2a 可加可减，或忘了用 c-a 检验。 ● 含参方程只列异号条件，漏掉“焦点在哪条轴”对应的正负号限制。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　42/48　·　步 4/5 题后反思 ● 把 |PF₁|-|PF₂|=2a 当成定义，漏掉绝对值，于是少了一支。 ● 由方程读 a、b 时仍按椭圆找较大分母：9y²-4x²=36 中 a²=4，不是 9。 ● 求距离只写一个候选值，忘了 2a 可加可减，或忘了用 c-a 检验。 ● 含参方程只列异号条件，漏掉“焦点在哪条轴”对应的正负号限制。 椭圆与双曲线的 a、b、c 关系不同：椭圆 a²=b²+c²，双曲线 c²=a²+b²。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　42/48　·　步 5/5 当堂检测 检测 1 双曲线 的焦点坐标是（　） A． B． C． D． 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　43/48　·　步 1/2 当堂检测 检测 1 双曲线 的焦点坐标是（　） A． B． C． D． 答案 B。 ，x² 项取正号，焦点在 x 轴上，为 。 C 把 a²=2 当成了 c²，A 把 b² 当成了 c²。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　43/48　·　步 2/2 当堂检测 检测 2　双曲线 的焦点坐标是＿＿＿＿。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　44/48　·　步 1/2 当堂检测 检测 2　双曲线 的焦点坐标是＿＿＿＿。 两边同除以 8，化成的标准形式为 焦点在 x 轴上，为 。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　44/48　·　步 2/2 当堂检测 检测 3　求 的双曲线的标准方程。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　45/48　·　步 1/3 当堂检测 检测 3　求 的双曲线的标准方程。 ；焦点位置没有指明，须分两种情形。 曲线与坐标轴的交点位置未知，两种形式都可能。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　45/48　·　步 2/3 当堂检测 检测 3　求 的双曲线的标准方程。 ；焦点位置没有指明，须分两种情形。 曲线与坐标轴的交点位置未知，两种形式都可能。 焦点在 x 轴上： ； 焦点在 y 轴上： 。 注意：只写一个答案就漏解；两式的 a² 都写在取正号的项下面。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　45/48　·　步 3/3 当堂检测 检测 4（多选） 下列说法正确的是（　） 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　46/48　·　步 1/3 当堂检测 检测 4（多选） 下列说法正确的是（　） A．双曲线 的焦点坐标是 B．双曲线 与 有相同的焦点 C．以 为焦点且经过 (0,3) 的双曲线，方程为 D．方程 表示双曲线的充要条件是 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　46/48　·　步 2/3 当堂检测 检测 4（多选） 下列说法正确的是（　） A．双曲线 的焦点坐标是 B．双曲线 与 有相同的焦点 C．以 为焦点且经过 (0,3) 的双曲线，方程为 D．方程 表示双曲线的充要条件是 答案 ACD。 B 错：取正号的项依次是 y² 项与 x² 项， 都等于 13。 焦点依次为 与 ，位置不同。 D 对：须 ，此条件同时保证两个分母都不为 0。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　46/48　·　步 3/3 当堂检测 考点：定义与两圆位置关系 检测 5 已知圆 与圆 ， 动圆 P 与 外切、与 内切（动圆 P 包含 ），求圆心 P 的轨迹方程。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　47/48　·　步 1/4 当堂检测 考点：定义与两圆位置关系 检测 5 已知圆 与圆 ， 动圆 P 与 外切、与 内切（动圆 P 包含 ），求圆心 P 的轨迹方程。 设动圆半径为 r，两定圆半径都是 1： 两式相减： 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　47/48　·　步 2/4 当堂检测 考点：定义与两圆位置关系 检测 5 已知圆 与圆 ， 动圆 P 与 外切、与 内切（动圆 P 包含 ），求圆心 P 的轨迹方程。 设动圆半径为 r，两定圆半径都是 1： 两式相减： 且不取绝对值，故轨迹是右支， 方程为 （ ）。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　47/48　·　步 3/4 当堂检测 考点：定义与两圆位置关系 检测 5 已知圆 与圆 ， 动圆 P 与 外切、与 内切（动圆 P 包含 ），求圆心 P 的轨迹方程。 设动圆半径为 r，两定圆半径都是 1： 两式相减： 且不取绝对值，故轨迹是右支， 方程为 （ ）。 3.2.1 双曲线及其标准方程　·　定义的应用与随堂检测　·　47/48　·　步 4/4 本节课到此结束 下节预告　3.2.2 双曲线的简单几何性质 人教A版2019选择性必修第一册 $